2.2.2_协整的JJ检验

JJ协整检验 在本§2.5中，已经介绍了协整理论。协整理论是动态计量经济学模型的理论基础，正是由于变量之间可能存在的协整关系，才可能将自回归分布滞后模型变换为具有误差修正机制的误差修正模型。 在§2.5中已经介绍了单整的DF检验和ADF检验，以及检验两个同阶单整变量之间是否存在协整的EG检验（Engle和Granger于1987年提出两步检验法）。这里着重介绍多重协整检验，即检验多个具有同阶单整变量之间是否存在协整关系。 也可以用EG检验法检验多个具有同阶单整变量之间是否存在协整关系。在其第一阶段，需要许多线性模型进行OLS估计，应用很不方便。Johansen于1988年，以及与Juselius一起于1990年提出了一种用向量自回归模型进行检验的方法，通常称为Johansen检验，或JJ检验，是一种进行多重协整检验的较好方法。 ⒈ JJ检验的原理 §2.5中(6.2.27)所示的没有移动平均项的向量自回归模型表示为： (6.4.7) 其中 为了简便，改写为： (6.4.8) 如果 表示M个 过程构成的向量，对(6.4.8)进行差分变换可以得到下式表示的模型： (6.4.9) 由于 过程经过差分变换将变成 过程，即(6.4.9)中的 、 都是 变量构成的向量，那么只有 是 变量构成的向量，即 之间具有协整关系，才能保证新生误差是平稳过程。 如果 ，显然只有 都是 变量，才能保证新生误差是平稳过程。而这与已知的 为 过程相矛盾。所以必然存在 。 如果 ，意味着 ，因此(6.4.9)仅仅是个差分方程，各项都是 变量，不需要讨论 之间是否具有协整关系。 如果 ，表示存在 个协整组合，其余 个关系仍为 关系。在这种情况下， 可以分解成两个 阶矩阵 和 的乘积： (6.4.10) 其中 ， 。将(6.4.10)代入(6.4.9)，得到： (6.4.11) 该式要求 为一个 向量，其每一行都是一个 组合变量，即每一行所表示的 的线性组合都是一种协整形式。所以矩阵 了 之间协整向量的个数与形式。所以 称为协整向量矩阵，r为系统中协整向量的个数。矩阵 的每一行 是出现在第j个方程中的 个协整组合的一组权重，故称为调整参数矩阵。当然容易发现， 和 并不是唯一的。 于是，将 中的协整检验变成对矩阵 的分析问题。这就是JJ检验的基本原理。 ⒉ JJ检验的预备工作 Johansen于1988年提出的检验方法必须进行如下步骤的预备工作： 第一步：用OLS分别估计 (6.4.12) 中的每一个方程，计算残差，得到残差矩阵 ，为一个 阶矩阵。 第二步：用OLS分别估计 (6.4.13) 中的每一个方程，计算残差，得到残差矩阵 ， 也为一个 阶矩阵。 第三步：构造上述残差矩阵的积矩阵： (6.4.14) 第四步：计算 关于 的有序特征值和特征向量。特征值即为特征方程 (6.4.15) 的解， ，构成对角矩阵 ；对应的特征向量构成的矩阵为 ，则有 (6.4.16) 其中 由下式正规化： 第五步：设定似然函数。当 无约束时，(6.4.15)的M个特征值都保留，其对数似然函数依赖于： (6.4.17) 但当 时，对数似然函数是r个最大的特征值的函数： (6.4.18) ⒊ JJ检验之一—特征值轨迹检验 如果r个最大的特征值给出了协整向量，对其余 个非协整组合来说， 应该为0。于是设零假设为： ：有 个单位根，即有r个协整关系。备择假设为无约束。 检验统计量为： (6.4.19) 服从Johansen分布。当 时可以得到一系列统计量值： 。 依次检验这一系列统计量的显著性。 当 不显著时（即 值小于某显著性水平下的Johansen分布临界值），不拒绝 （即不拒绝r=0），说明有0个协整向量（即不存在协整关系）；当 显著时（ 值大于某显著性水平下的Johansen分布临界值），拒绝 而接受 ，此时至少有1个协整向量，必须接着检验 的显著性。 当 不显著时（即 值小于某显著性水平下的Johansen分布临界值），不拒绝 （即不拒绝r=1），说明有1个协整向量（即存在1种协整关系）；当 显著时（ 值大于某显著性水平下的Johansen分布临界值），拒绝 而接受 ，此时至少有2个协整向量，必须接着检验 的显著性。 …，一直检验下去，直到出现第一个不显著的 为止，说明存在r个协整向量。这r个协整向量就是对应于最大的r个特征值的经过正规化的特征向量。 (6.4.19)的检验统计量被称为特征值轨迹统计量，于是上述检验被称为特征值轨迹检验。特征值轨迹检验临界值见表6.4.1。 ⒋ JJ检验之一—最大特征值检验 另外一个类似的检验的零假设为： ：有 个单位根，即有r个协整关系。备择假设为有 个单位根。检验统计量为基于最大的特征值 的： (6.4.20) 该统计量被称为最大特征值统计量。于是该检验被称为最大特征值检验。 检验从下往上进行，即首先检验统计量 。如果统计量 不显著，即 值小于某显著性水平下的Johansen分布临界值，则不拒绝 （即不拒绝r=0），说明有0个协整向量（即不存在协整关系）；如果统计量 显著，即 值大于某显著性水平下的Johansen分布临界值，则拒绝有0个协整向量的 ，接受至少有1个协整向量的备择假设，必须接着检验 的显著性。 如果统计量 不显著，即 值小于某显著性水平下的Johansen分布临界值，则不拒绝 （即不拒绝r=1），说明有1个协整向量；如果统计量 显著，即 值大于某显著性水平下的Johansen分布临界值，则拒绝有1个协整向量的 ，接受至少有2个协整向量的备择假设，必须接着检验 的显著性。 …，一直检验下去，直到出现第一个不显著的 为止，说明存在（r－1）个协整向量，拒绝至少有r个协整向量的备择假设。这（r－1）个协整向量就是对应于最大的（r－1）个特征值的经过正规化的特征向量。 最大特征值检验临界值见表6.4.1。注意临界值的选取与M、r有关。例如，如果M=2，即变量数为2；T=40。求得到的两个特征值（按照从大到小的顺序排列）为： 。由(6.4.20)求出的最大统计量为： 首先检验统计量 ，此时应该选择对应于M－0=2的临界值14.595（给定显著性水平为95%）。因为27.73>14.595，所以统计量 显著，则拒绝有0个协整向量的 ，接受至少有1个协整向量的备择假设，必须接着检验 的显著性。选择对应于M－1=1的临界值8.083（给定显著性水平为95%），因为4.21<8.083，表示统计量 不显著，则不拒绝 （即不拒绝r=1），说明有1个协整向量。 如果M=3，即变量数为3，则在进行统计量 显著性检验时，应该选择对应于M－0=3的临界值21.279（给定显著性水平为95%）。 表6.4.1由 Johansen和Juselius于1990年计算得到。 表6.4.1 Johansen分布临界值表 统计量 50% 80% 90% 95% 97.5% 99% 均值 方差 最 大 特 征 值 1 2.415 4.905 6.691 8.083 9.658 11.576 3.030 7.024 2 7.474 10.666 12.783 14.595 16.403 18.782 8.030 12.568 3 12.707 16.521 18.959 21.279 23.362 26.154 13.278 18.518 4 17.875 22.341 24.917 27.341 29.599 32.616 18.451 24.163 5 23.132 27.953 30.818 33.262 35.700 38.858 23.680 29.000 特 征 值 轨 迹 2.415 4.095 6.691 8.083 9.658 11.576 3.030 7.024 9.335 13.038 15.583 17.844 19.611 21.962 9.879 18.017 20.188 24.445 28.436 31.256 34.062 37.291 20.809 34.159 34.873 41.623 45.248 48.419 51.801 55.551 35.475 56.880 53.373 61.566 65.956 69.977 73.031 77.911 53.949 84.092 1 1 _1003604335.unknown _1003770287.unknown _1003774339.unknown _1003779223.unknown _1003819119.unknown _1003822861.unknown _1003824234.unknown _1003824455.unknown _1003823175.unknown _1003823186.unknown _1003823201.unknown _1003823159.unknown _1003819261.unknown _1003819334.unknown _1003818912.unknown _1003819071.unknown _1003818255.unknown _1003818306.unknown _1003817711.unknown _1003780284.unknown _1003780388.unknown _1003777990.unknown _1003778541.unknown _1003778781.unknown _1003778827.unknown _1003778927.unknown 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