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向量的应用
(一)基本知识点
向量在函数、三角、数列、不等式及几何等各方面都有广泛的应用
(二)经典例题
1、(1)如图,O、A、B是平面上三点,向量
,在平面AOB上,P是线段AB的垂直平分线上任意向量
,且
,则
=
(2)如图, 四边形ABCD中,,
则的值为 ( )
A.2 B.
C.4 D.
(3)已知
是定义在R上的单调函数,实数
,
,若
,则( )
A.
B.
C.
D.
(4)(2011年数学理(辽宁))若
,
,
均为单位向量,且
,
,则
的最大值为( )
(A)
(B)1
(C)
(D)2
(5)(2010年高考福建卷理科7)若点O和点
分别是双曲线
的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则
的取值范围为 ( )
A.
B.
C.
D.
(6)设点P是
内一点(不包括边界),且
,则
的取值范围是______
(7)在平行四边形
中,
是
与
的交点,
分别是线段
的中点.在
中任取一点记为
,在
中任取一点记为
。设
为满足向量
的点,则在上述的点
组成的集合中的点,落在平行四边形
外(不含边界)的概率为________.
2、(1)已知
是不相等的正实数,求证:
(2)已知
是正实数,且
,求证:
(3)已知
,且
,求证:
(4)解方程
。
(5)求函数
的最大值和最小值。
3、(1)已知
是定点,在
轴的正半轴上求一点C,使
最大,并求出最大值。
(2)在
中,点D和点E分别在BC和AC上,且
,AD与BE交于R,求证:
(3)(2011年数学理(天津))已知直角梯形
中,
//
,
,
,
是腰
上的动点,则
的最小值为____________.
4、已知
的面积为S,
①若
,求
与
的夹角
的取值范围
②设
,若以O为中心,A为焦点的椭园经过点B,当
取得最小值时,求此椭园的方程。
5、已知
,若
。
(1)求
的解析式;
(2)若点
在曲线上运动,求
在
条件下的最小值;
(3)把
的图像按向量
平移得到曲线
,过坐标原点
作
分别交
于
两点,直线
交
轴于点
,当
为锐角时,求
的取值范围。
6、(2010年上海市春季高考22)在平面上,给定非零向量
,对任意向量
,定义
。
(1)若
,求
;
(2)若
,证明:若位置向量
的终点在直线
上,则位置向量
的终点也在一条直线上;
(3)已知存在单位向量
,当位置向量
的终点在抛物线
上时,位置向量
的终点总在抛物线
上,曲线
与
关于直线
对称,问直线
与向量
满足什么关系?
7、设边长为1的正三角形
的边
上有
等分点,从点
到点
的方向依次为
。
(1)若
,求
(2)若
,求
(3)接(1)(2),是否存在
,使得
,如果存在,求出
,如果不存在,说明理由。
8、在直角坐标平面中,已知点
,其中
是正整数,对平面上任一点
,记
为
关于点
的对称点,
为
关于点
的对称点,
,
为
关于点
的对称点。
(1)求向量
的坐标;
(2)当点
在曲线
上移动时,点
的轨迹是函数
的图像,其中
是以3为周期的周期函数,且当
时,
,求以曲线
为图像的函数在
上解析式;
(3)对任意偶数
,用
示向量
的坐标
9、(1)设
是空间不共面的四点,且满足
,
,
,则
是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定
(2)在空间直角坐标系中,有点
,则
的面积是___
(3)如图,已知在四面体
中,
平面
。证明
为
的重心的充要条件是
10、如图直角梯形
中,
⊥平面
,
,以
分别为
轴、
轴、
轴建立直角坐标系
.
(1)求
的大小(用反三角函数表示);
(2)设
①
;②
与平面
的夹角
(用反三角函数表示);;③
到平面
的距离.
(3)设
①
________.
②异面直线
的距离为_______。
11、如图,在底面是菱形的四棱锥
中,
,
,
点
是
的中点,
(1)
;
(2)
12、已知四棱锥
的底面
是正方形,且
底面
,其中
.
(1)求二面角
的大小;
(2)在线段
上是否存在一点
,使
平面
?若存在,试确定
点的位置;若不存在,请说明理由.
13、如图,四面体
中,
分别是
的中点,
(1)求证:
平面
;
(2)求异面直线
与
所成角的余弦;
(3)求点
到平面
的距离.
14、(2011年高考广东卷理)如图,在椎体
中,
是边长为1的棱形,且
,
分别是
的中点。
(1)证明:
平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
15、(2011年数学理(湖北))如图,已知正三棱柱的各棱长都是4,是的中点,动点在侧棱上,且不与点重合.
(1)当=1时,求证:⊥;
(2)设二面角的大小为,求的最小值.
16、如图,正方体
的棱长为2,
为棱
的中点,过顶点
作圆
,设
是圆
上的任意一点,求线段
的最小值。
(三)巩固与提高
1、(1)已知直角梯形
中,
//
,
,
,
是腰
上的动点,则
的最小值为_______
(2)设向量
,定义一种向量:
.已知
点
在
的图像上运动,点
在
的图像上运动,且满足
(其中
为坐标原点),则
的最大值及最小正周期分别是( )
A.
B.
C.
D.
(3)如图,梯形
中,
是
上的一个动点,当
最小时,
的值为______。
2、(1)设为坐标原点,动点满足的最小值是_________.
(2)已知向量
EMBED Equation.DSMT4 则
与
夹角的范围是___】
(3)求函数
的最大值。
(4)求函数
的最大值。
(5)(2009高考(安徽理))给定两个长度为1的平面向量
和
,它们的夹角为
.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若
其中
,则
的最大值是=________.
3、(1)已知正方体
的棱长是
,则直线
与
间的距离为 。
(2)在空间四边形
中,
,
,求OA与BC夹角的余弦值。
(3)正三棱柱
的底面边长为
,侧棱长为
,求
与侧面
所成的角。
(4)已知正方形ABCD的边长为1,
平面ABCD,且PD,E、F分别为AB、BC的中点。
①求点D到平面PEF的距离;
②求直线AC到平面PEF的距离。
4、已知是△ABC的两个内角,(其中是互相垂直的单位向量),若。
(1)试问
是否为定值,若是定值,请求出,否则说明理由;
(2)求的最大值,并判断此时三角形的形状。
5、如图,在三棱锥
中,
,
.
(1)求证:
;
(2)试在
上找一点
,使得
,并证明你的结论.
6、(2011年数学文(重庆))如题(20)图,在四面体中,平面ABC⊥平面,
(1)求四面体
的体积;
(2)求二面角
的平面角的正切值.
高考数学140分专题训练
-向量的应用
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题;在立体几何中会用空间向量的方法求异面直线的夹角和距离、直线与平面的夹角、两个平面的夹角以及点到平面的距离等问题。
S
D
C
B
A
2012
李老师数学辅导室 TEL:15874967191;QQ:1374783065
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