第十四章 超静定结构（1）

nullnull 王 培 荣 *教学要求教学要求1.掌握应用单位载荷法(图形互乘法)分析静不定结构的基本方法。 2.掌握利用对称性与反对称性简化静不定结构的过程。第十四章 超静定结构 第十四章 超静定结构 indeterminate structure analysis§14．1 超静定结构概述§14．1 超静定结构概述null 本节应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统，特别是对桁架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效。 求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为外力静不定系统和内力静不定系统。nullnullnull所有节点 为铰节点静不定次数§14．2 用力法解超静定结构 §14．2 用力法解超静定结构 一、外力静不定系统一、外力静不定系统 由于外部的多余约束而构成的静不定系统, 一般称为外力静不定系统。 求解外力静不定系统的基本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。 解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不定系统的静定基本系统，或相当系统。解静不定梁的一般步骤解静不定梁的一般步骤(1)首先选定多余约束，并把多余约束解除，使静不定梁变成静定梁——基本静定梁（几何不变）。 本图可有多种选择， 尽量利用对称性 解静不定梁的一般步骤解静不定梁的一般步骤(2)把解除的约束用未知的多余约束反力来代替。这时基本静定梁上除了作用着原来的荷载外，还作用着未知的多余约束反力。 (3)列出基本静定梁在多余约束反力作用处梁变形θ或υ的计算式，并与原静不定梁在该约束处的变形进行比较，建立变形谐调方程，求出多余约束反力。解静不定梁的一般步骤解静不定梁的一般步骤(4)在求出多余约束反力的基础上，根据静力平衡条件，解出静不定梁的其它所有支座反力。 (5)按通常的方法（已知外力求内力、应力、变形的方法）进行所需的强度和刚度计算。null例：作图示梁的弯矩图 。null解：变形协调条件为即解得nullnull另解：变形协调条件为解得即null二、内力静不定系统二、内力静不定系统 有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，这类结构称为内力静不定系统。 求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。例：求A、B两点间的相对线位移 ΔAB。例：求A、B两点间的相对线位移 ΔAB。null力法正则方程 (Canonical equation of force method)力法：把多余未知力的计算问题当作静不定问题的关键，把多余未知力当作处于关键地位的未知力，这样求解静不定问题的方法称为力法。多余未知力为力法的基本未知量。null例:已知均布载荷集度为q，梁的刚度为EI，求铰B的支反力。lnulll回顾null变形协调方程：一次静不定问题的力法正则方程nullX1——多余未知量；一次静不定问题的力法正则方程d11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；D1P——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向的位移；nullBnull二次静不定问题的力法正则方程null例 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。a解：①刚架有两个多余约束。②选取并去除多余约束，代以多余约束反力。③建立力法正则方程null④计算系数dij和自由项DiP用莫尔定理求得null⑤求多余约束反力将上述结果代入力法正则方程可得null⑥求其它支反力 由平衡方程得其它支反力，全部示于图中。null对于有n个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：nulldij：柔度系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移； DiP：自由项，表示在基本静定系上， 由原载荷引起的在Xi 作用点沿Xi 方向的位移。null主系数：副系数：§14．3 对称与反对称性质的利用 §14．3 对称与反对称性质的利用 Application of symmetry and antisymmetrynull结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。绕对称轴对折后，左右两部分载荷彼此重合（作用点相对应、数值相等、方向相同）。null绕对称轴对折后，左右两部分载荷正好相反（作用点相对应、数值相等、方向相反）。null在内力中，轴力和弯矩是对称内力，剪力、扭矩为反对称内力。对称结构在对称载荷作用下，变形对称，对称面上位移对称，内力对称；对称结构在反对称载荷作用下，变形对反称，对称面上位移反对称，内力反对称。null特例：在对称轴上某些位移、内力为零，可简化计算。对称结构在对称载荷作用下，对称轴上值为零的位移、内力为：转角、轴向位移，剪力、扭矩。对称结构在反对称载荷作用下，对称轴上值为零的位移、内力为：扭转角、垂直轴向的位移，轴力、弯矩。根据变形及内力对称（或反对称）、位移连续、作用力 与反作用力性质，推得：null例：在等截面圆环直径AB的两端，沿直径方向作用一对方向相反的力P。试求直径AB的长度变化。 PPABCD解：利用对称性，该三次静不定问题可转化为©图。(a)anull正则方程：null上面两式代入正则方程：null求出X1后，可得图（C）任意截面的弯矩：在AB两端作用单位力时的弯矩：利用莫尔积分可求AB两点的位移：null 例：图示小曲率杆在力偶m与均匀分布剪流q作用下处于平衡状态，已知q、R与EI=常数，试求A截面的剪力、弯矩和轴力。nullnull 例：平面框架受切向分布载荷q作用，求A截面的剪力、弯矩和轴力。nullnull 例：图示刚架 EI为常量，画出刚架的弯矩图。null解：变形协调条件为即:解之得null例：求图示圆环的最大弯矩Mmax。EI为常量。例：求图示圆环的最大弯矩Mmax。EI为常量。null由对称性知： A、B截面上剪力为零null变形协调条件:nullnullnull例：作图示梁的弯矩图 。null解：变形协调条件为即解得nullnull例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。null解：变形协调条件为即解得null例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。null解：变形协调条件为即解得null例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。null解：变形协调条件为即解之得nullM图14．4 连续梁及三弯矩方程 14．4 连续梁及三弯矩方程 自 学 作 业作 业14．4 (a) 、（c) 14．5 (c) 14．6 14．14 14．15null一、对称结构上作用对称载荷null11null于是正则方程可简化为 ： 由此可得出普遍性结论：对称结构受对称载荷作用，其内力和位移分布对称。在对称面上平行于对称面的内力分量（剪力、扭矩）和垂直对称面对位移分量（轴向位移、弯曲的转角）等于零。 null二、对称结构上作用反对称载荷mmX1X2X2X3X1X3null1111对称轴11mm 基本静定系统分别受外载荷和三个单位约束力单独作用时的弯矩 和 是对称的，而是 和 反对称的，可以证明：null于是正则方程可简化为 ： 于是可得到普遍性结论：对称结构受反对称载荷作用，其内力和位移分布反对称。在对称面上，垂直对称面的内力分量（轴力、弯矩）和平行于对称面的位移分量（挠度、扭转角）等于零。 对称静不定结构对称静不定结构几何形状对称：若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。 对称结构： 1. 几何形状对称； 2. 材料对称； 3. 约束对称。null（正）对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。null反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。nullnull对称结构在（正）对称载荷作用下：约束反力、内力及变形对称于对称轴。nullnull对称结构在反对称载荷作用下：约束力、内力及变形反对称于对称轴。nullnull位于对称轴上的截面C的内力 QC=0对称结构 在（正） 对称载荷 作用下：？1.内力对称；2. 作用力 与反作用力。null对称结构 在（正） 对称载荷 作用下：？1. 变形对称；2.变形连续位于对称轴上的截面C的变形θC=0、ΔCx=0null对称结构在 反对称载荷 作用下：位于对称轴上的截面C的内力 NC=0， MC=0 1.内力反对称;2. 作用力 与反作用力null对称结构在 反对称载荷 作用下：1. 变形反对称;2.变形连续位于对称轴上的截面C的变形υC=0例：求A、B两点间的相对线位移 ΔAB。例：求A、B两点间的相对线位移 ΔAB。null由对称性知:null变形协调条件:nullnull