第1章 任意角的三角函数（学生用书）

第1课时 任意角 【知识结构】 的角推广到任意角 【学习目标】 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 2. 掌握所有与 角终边相同的角（包括 角）、象限角、终边在坐标轴上的角的示方法； 3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念； 【预学评价】 1. 一条射线由原来的位置，_________________，形成的图形为角α．则____________叫做角α的始边，_______________叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的__ _____. 2. 正角， 负角. 3. 任何一个与角(终边相同的角，都可以表示_____________. 【经典范例一】 例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 例2 写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）. 探究：怎么将二者写成统一表达式？ 【随堂练习一】 1．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？ (1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°． 2. 写出所有轴上角的集合. 【经典范例二】 例3 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界) 例4 已知(是第二象限角，问 是第几象限角？2(是第几象限角？分别加以说明 例5 已知角(的终边与角-690°的终边关于y轴对称,求(. 【随堂练习二】 1. 为第四象限角，则2 在第几象限，说出理由。 2. 角 ＝45°＋ ·90°的终边在第哪一象限.？ 【分层练习】 1. 下列命题正确的是（ ） A、第一象限角一定不是负角 B、小于900的角一定是锐角 C、钝角一定是第二象限角 D、第一象限角一定是锐角 2. 若 是第四象限角，则 是第（ ）象限角. A、一 B、二 C、三 D、四 3. 若 是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ） A． B． C． D． 4. 集合 则有（ ） A． B． C． D． 5. 若 是第一象限角，则 为第___ __象限角. 6. 若 的终边关于y=x对称，且 =600， 集合为_________________.. 7. 若 ，则 的范围是___ _ 的范围是______. 8. 试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角： （1） （2） （3） （4） 9. 写出终边落在第一、三象限的角的区间. 【拓展延伸】 ： 10．设 是第一象限角，试探究： （1） 一定不是第几象限角？ （2） 是第几象限角？ 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第2课时：弧度制 【知识结构】 1．弧度制定义 2. 角度制与弧度制的互化 3. 用弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式 【学习目标】 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算. 3.熟记特殊角的弧度数 4.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式. 【预习评价】 1.定义： 叫做弧度制. 2. 叫做1弧度角. 3． 1°= 4．弧长公式： 扇形面积公式 【经典范例一】 例1 把 化成弧度 例2 把 化成度 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad ， sin(表示(rad角的正弦； 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 例3 已知扇形 的周长是8cm，该扇形的中心角 是2弧度，求该扇形的面积 【随堂练习一】 1．把下列各角从度化为弧度 （1）180° （2）90° （3）45° （4）30°　（５）１２０° （６）－２１０°　（７）１３５° 2．把下列各角从弧度化为度 （１）２ 　（２） 　（３） 　（４）－１２ 3．已知扇形的半径为10cm,圆心角为60°，求该扇形的弧长和面积。 【经典范例二】 例4 已知扇形的周长为40，试问当它的半径和圆心角各取多少时，其面积最大？ 例5 角 、 终边关于 对称，且 ，则 . 【随堂练习二】 1.下列各对角中终边相同的角是( ) A. （ｋ∈Ｚ） B.－ 和 π C.－ 和 D. 2.若α＝－3，则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 5.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A．扇形的面积不变 B扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D 扇形的圆心角增大到原来的2倍 【分层训练】 1．在与210°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_________ 2．4弧度角的终边在第 象限 3．－ eq \f(23,12) πrad化为角度应为 . 4．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦 的长度为 ， 所对的圆心角 的弧度数为　　 　 5．圆的半径变为原来的 ，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　 倍。 6．若2弧度的圆心角所对的弧长是 ，则这个圆心角所在的扇形面积是　　　　 　． 7．已知扇形 的面积是 ，它的周长是 ，求扇形的中心角及弦 的长。 8．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度？ 9．计算： ； 10.将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是 . 【师生互动】 学生质疑： 老师释疑： 第3课时 任意角的三角函数（一） 【知识结构】 1：三角函数线的概念 2：正弦，余弦，正切的三角函数线 3：能够利用三角函数线比较大小，求值 【学习目标】 1.理解并掌握任意角三角函数的定义. 2.理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【预习评价】 1.设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的） 一点P（x,y） 则P与原点的距离 比值 叫做 的正弦 记作： 比值 叫做 的余弦 记作： 比值 叫做 的正切 记作： 以上三种函数，统称为三角函数. 2 已知角 的终边经过点P(2，－3)，求 的三个三角函数值. 【经典范例一】 例1．已知角(的终边经过P(4,(3),求2sin(+cos( 例2. 若 ，判断 的取值范围。 例3．求下列各角的三个三角函数值. (1)0 (2)π (3) (4) 【随堂练习一】 1． 2．tan690°的值为 3．填表： ( 0( 30( 45( 60( 90( 120( 135( 150( 180( 270( 360( 弧度 【经典范例二】 例4．若点P(－3，ｙ)是角α终边上一点，且 ，则ｙ的值是 . 例5 已知角(的终边经过P(4a,(3a),(a(0)求sin(+cos(的值 【随堂练习二】 1．角 是第二象限角，P 为其终边上一点，且 ，则 2．已知 ，则 = ． 3．角 的终边上一个点P的坐标为(5a,-12a)(a≠0)，求sin +2cos 的值. 【分层训练】： 1．角 的终边经过点P ，则 2． 的值是 3．已知角 的终边经过点 且 ，求a的取值范围 4．已知角 的终边上一点P的坐标为 ，则 5．函数 的值域为 6．角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）且cosα=－ ，则m的值是 7．已知角 的终边落在直线 上，若 ，且 ，求实数 的值 8．已知sinθ= ，cosθ= ，若θ是第二象限角，则实数a 9．设 是三角形的一个内角，在 中，有可能取负值的是 10． 是第四象限角， ，则 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第4课时 任意角的三角函数（二） 【知识结构】： 1：三角函数线的概念 2：正弦，余弦，正切的三角函数线 3：能够利用三角函数线比较大小，求值 【学习目标】: 1：了解三角函数线的有向性. 2：能用三角函数线表示个三角函数值. 3、能用三角函数线来比较两个三角函数值的大小、表示角范围 【预习评价】 1： 利用单位圆比较大小： (1)sin25° sin150° (2)cos cos (3)tan tan (4)tan tan 2： = 【经典范例一】 例题1：作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 (1) (2) (3) (4) 例题2：利用三角函数线求 的 的取值范围。 例题3.（1）若 ，确定 的范围 （2）若30°≤θ≤120°，确定tanθ的范围 【随堂练习一】 1：利用三角函数线求 的 的取值范围。 2：角 的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，那么 的值为 3：利用单位圆写出满足条件的x的取值范围： (1) tanx< , x ) (2) sinx< 【经典范例二】 例4.若 是第三象限角,且 ,判断 是象限角 例5． 是第四象限角， ，则 ． 【随堂练习二】 1：已知 ，则 = ． 2：tan690°的值为 3：α是第二象限角，P（x, eq \r(5) ） 为其终边上一点，且cosα= x，则sinα的值 【分层训练】 1：函数 有意义，求 的取值范围。 2：求满足 （ ）的 取值范围。 3：求函数 的定义域 4：设 ，则下列各不等式中成立的个数是 A．sin >cos >tan B． cos >tan >sin C．tan >sin >cos D．sin >tan >cos 5：求 角的正弦、余弦和正切值． 6：(1)已知角 的终边经过点P(4,－3)，求2sin +cos 的值； （2）已知角 的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sin +cos 的值； （3）已知角 终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin +cos 的值． 7：函数 的定义域 8：角α的终边上有一点P（m，5），且 ，则sinα+cosα=______ 9：已知sinαtanα≥0，则α的取值集合为 10：已知sinα= ，且α是第二象限角，那么tanα的值 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第5 课时 同角三角函数关系 【知识结构】 1.公式 ， 的推导。 2.公式的应用：(1)已知角的正弦、余弦、正切值的一个，求出其余两个， (2)化简三角函数式， (3)证明简单的三角恒等式。 【学习目标】 掌握同角三角函数的基本关系式 ， ，并学会用它们进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式证明。 【预习评价】 1.计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【经典范例一】 例1. 已知 ， 是第二象限角，求 ， 的值。 例2. 化简 ，其中 是第二象限角。 【经典范例二】 例3. 求证： (至少两种方法) 【随堂练习一】 1．已知 ，求 ， 的值。 2．化简 3. 求证： . 4. 已知 ，则求 的值。 【随堂练习二】 1.化简 2.已知 ，求 【分层训练】 1.已知 ，且 为第三象限角，则 = ， = 。 2.化简 的结果 3.已知 ，则 = 4.化简 的结果 5.化简 的值 6.若 ，则 = 7.已知 ，求 8.化简 ，其中 为第四象限角。 9.已知 ，且 ，则 的值。 10.证明： ，其中 是第四象限角。 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第6课时 三角函数的诱导公式（一） 【知识结构】 【学习目标】： 1.借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式（二）至公式（四） 2．使学生明确公式（一）至公式（四）可将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数 【预学评价】： 1. 由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同名三角函数值​​_____，即有： （公式一） 2. 角 与角 的终边关于_______对称，由单位圆性质可以推得： （公式二） 3. 角 与角 的终边关于______对称，故有 （公式三） 4. 角 与角 的终边关于________对称，故有 （公式四） 【注意】：（1）公式中的 指任意角； (2)在角度制和弧度制下，公式都成立； (3)记忆方法：“函数名不变，符号看象限”； (4)用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为 内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。 【经典范例一】 例1. 求值：（1） ；（2） ；（3） 例2．判断下列函数的奇偶性：（1） ； （2） 例3．已知 则 的取值集合为_______ 【随堂练习一】 1．求值： 的值为_________。 2. 的值为______ 3. 函数 是奇函数，且当 时， ，则当 时， 【经典范例二】 例4． 已知 求 的值. 例5． 已知 为第三象限角，求 的值. 【随堂练习二】 1. 已知 求 的值. 2. 已知 为第三象限角，求 的值. 【分层训练】 1． 2．已知 那么 3．已知 那么 4．若 则 5．已知 则 6．在 中，若 则 ；若 则 7．求值： 8．求值： 9．已知 求 的值 10．化简： 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第7课时 三角函数的诱导公式（二） 【知识结构】 【学习目标】： 1.在掌握诱导公式（一）至（四）的基础上，学会用其推导方法推导公式（五）、（六）； 2．在搞清其诱导功能的前提下，强化其在化简、求值、证明等方面的应用。 【预学评价】： 1． 的终边与 的终边的关系为____________. 公式（五）： ； . 2．能否由前面的诱导公式得到 的诱导公式？ 公式（六）： ； . 【注意】： （1）六组诱导公式的记忆： 六组诱导公式都可统一为“ ”的形式，记忆的口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 符号看象限是把 看成锐角时原三角函数值的符号. （2）诱导公式在三角形中的应用： 已知 、 、 为△ 的内角，则 ① ② . ③ . 【经典范例一】 例1．求证： ， 例2. 已知 求 的值 例3．化简： 【随堂练习一】 1. 若 则 2．若 则 3．化简： 【经典范例二】 例4．已知 ，且 ，求 的值. 例5. 判断函数 EMBED Equation.DSMT4 的奇偶性. 【随堂练习二】 1. 已知 求 的值 2. 判断函数 的奇偶性. 【分层训练】 1. 已知 ，且 是第三象限的角，则 的值是_____ 2. 已知 ，且 是第二象限的角，则 的值是_____ 3. 化简： 4. 已知 则 5. 化简： 6. 计算 的值是______ 7. 化简： 8. 若 ，且 为第二象限角，求 的值. 9．已知 试求 的值 10．已知 求 的值 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第8课时 三角函数的周期性 【知识结构】 【学习目标】 1. 了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，理解正、余弦、正切函数周期性的意义； 2. 会求一些简单三角函数的周期； 3. 掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法 【预习评价】 1. 函数满足 ，则函数的一个周期为 ; 2. 函数的周期为 ，则的周期还可以是 ; （写出一个即可） 3. 函数 满足 ，则 是它的最小正周期，这话对吗？为什么？ 4. 函数 的最小正周期为 . 【经典范例一】 例1．求下列函数的最小正周期T. （1） （2） （3） 一般规律： 例2．求证：（1） 的周期为π； （2） 【随堂训练一】 1.函数y=sin4x的最小正周期是 ； 2.函数y=cos（ x+ ）的最小正周期是 ； 3.函数y=2cos3x-1的最小正周期 ； 4.函数 的最小正周期T满足 求正整数k. 5. 函数 周期为 ； 【经典范例二】 例1 函数 的周期为 ； 例2 函数 是奇函数，周期为 ，且 ，则 ； 例3 已知函数 是定义在 上的偶函数，且满足 ，当 时， ，则 的值为 【随堂训练二】 1.已知 求证： 是周期函数，并求出它的一个周期. 2.设有函数 和函数 若它们的最小正周期之和为 ，且 求这两个函数 的解析式. 【分层训练】 1. 函数 的最小正周期为 ； 2. 已知函数 是以 为周期的奇函数，且 ，那么 3. 已知函数 对任意 都有 ,那么 （区别函数的周期性与单调性） 4. 已知函数 是定义在 上的奇函数， ，求 的值. 5. 若函数 的最大值为 ，最小值为 ，求函数 的最大值、最小值及周期. 6. 若函数 的最小正周期为 ，则 ; 7. 若定义在 的函数 满足 ，则此函数的一个周期为 ; 8. 在函数① ，② ，③ ，④ 中，最小正周期为 的函数为 ; 9. 若函数 的周期在 内，则 的一切可取的正整数值是 ; 10. 设 是定义在R上以6为周期的函数， 在（0,3）内单调递减，且 的图像关于直线 对称，则下列结论正确的是 （ ） 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第9课时 正弦函数和余弦函数的图象 【知识结构】 1. 用正弦线画正弦函数的图象。 2. 正弦曲线与余弦曲线之间的关系。 3. “五点法”画出正弦、余弦函数的简图。 【学习目标】 1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象； 2.记住正弦、余弦函数的特征； 3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系。 【预习评价】 1.________________________________叫做正弦曲线，_______________________________叫做余弦曲线。 2.将 的图象向_____平移__________即得到 的图象。 3.在用“五点法”做 的图象时，一般所取得五个关键点分别是________________________________________。 【经典范例】 例1. 用“五点法”画出下列函数的简图 （1） 思考： 的图象有何联系？ 例2. 用“五点法”画出下列函数的简图 （2） 思考： 与 的图象有何联系？ 【随堂练习一】 1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 2. 用“五点法”作函数 与函数 的图象，并思考 的图象通过怎样的变换能得到函数 的图象。 【随堂练习二】 1． 作函数 的图象。 2. 根据正弦函数的图象求满足 的 的范围. 【分层训练】 1. 用“五点法”画函数 的图象时，五个关键点分别是___________________. 2. 不等式 的解集为___________________. 3. 要得到函数 的图象，只需将 的图象在 轴及其上方的部分__________________， 轴下方的部分_______________________。 4. 从函数 的图象来看，对应 的 有___________个值。 5. 如果直线 与函数 的图象只有一个交点，则 _________，有且只有两个交点，则 的取值范围是_____________________。 6. 用“五点法”作出函数 的简图。 7. 画出函数 的图象。 8. 用图像法解不等式 。 9. 若函数 的图象和直线 围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积。 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第10课时 正弦函数和余弦函数的性质 【知识结构】 正弦函数、余弦函数的奇偶性、周期性、最大值与最小值。 【学习目标】 1. 理解正弦函数、余弦函数奇偶性、周期性、最大值与最小值概念。 2. 会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值。 【预习评价】 1. 正弦曲线关于_________对称；正弦函数是____________；余弦曲线关于_____________对称，余弦函数是_____________。 2. 正弦函数在每一个闭区间____________上都是增函数，其值从—1增大到1；在每一个闭区间____________上都是减函数，其值从1减小到—1。 3. 余弦函数在每一个闭区间____________上都是增函数，其值从—1增大到1；在每一个闭区间____________上都是减函数，其值从1减小到—1。 4. 正弦函数当且仅当 ___________时取得最大值，当且仅当 ___________时取得最小值—1；余弦函数当且仅当 ___________时取得最大值，当且仅当 ___________时取得最小值—1。 【经典范例】 例1. 求使下列函数取得最大值的自变量 的集合，并说出最大值是什么？ （1） ， ； （2） ， ． 例2. 求函数 的定义域。 例3. 求下列函数的单调区间： （1） （2） 。 【随堂练习一】 1． 求下列函数的值域： （1） ； （2） 。 2. 判断下列函数的奇偶性： （1） ； （2） 。 3. 求函数 的定义域。 4. 求函数 的单调递增区间。 【随堂练习二】 1. 判断下列函数的奇偶性； （1） ； （2） 。 2. 求函数 的单调递增区间。 【分层训练】 1. 函数 的定义域是_____________。 2. 函数 的值域是____________________。 3. 函数 的值域为________________________。 4. 函数 的奇偶性为_______________。 5. 满足 的 的集合是_________________________。 6. 求函数 的单调递增区间____________________________。 7. 求函数 的定义域。 8. 求函数 的单调增区间并确定其值域。 9. 已知函数 的定义域为 ，函数的最大值为1，最小值为—5，求 和 的值。 10. 已知函数 。 （1） 求它的定义域； （2） 判断它的奇偶性； （3） 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第11课时 正切函数的图像与性质 【知识结构】 正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域 【学习目标】 1. 理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质。 2. 会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。 【预习评价】 1. 正切函数 的定义域是_______________,值域为_________________。 2. 正切函数为________________函数（填奇或偶）。对称中心为__________________。 3. 正切函数 在每一个区间_____________内均为__________________。 【经典范例】 例1. 求下列函数的定义域 （1） （2） （3） 例2. 求函数 的定义域、周期和单调区间。 【随堂练习一】 1. 求函数 的定义域与值域。 2. 求函数 的定义域、周期和单调区间。 3. 求函数 的值域。 4. 求满足 的 集合。 5. 已知 ， 。 求 的最大值和最小值，并求出相应的 的值。 【随堂练习二】 1. 求函数 的定义域与值域。 2. 求函数 单调减区间。 【分层训练】 1. 函数 的定义域是____________,值域为_______________。 2. 函数 的定义域为____________,值域为_________________。 3. 比较大小： _______ 。 4. 函数 的最小正周期是_____________。 5. 函数 的单调递增区间是___________________。 6. 直线 （ 为常数）与正切曲线 的相邻两支的交点间的距离为________________。 7. 判断函数 的奇偶性。 8. 求函数 的值域。 9. 求函数 的最大值与最小值。 10. 已知函数 是奇函数，函数 为偶函数，定义域为 ，且 。求 和 的解析式。 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第12课时 函数 的图像(一) 【学习目标】： 1.了解函数 的实际意义； 2.弄清 与函数 的图象之间的关系； 3.会用五点法画函数 的图象； 4.理解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想. 【预习评价】： 1. 函数 与函数 图象之间的关系： (1)函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的图象是将 的图象向 平移 个单位长度而得到； (2)函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的图象是将 的图象向 平移 个单位长度而得到 一般地，函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左 或向右 平行移动 个单位长度而得到，这种变换称为相位变换. 2.函数 与函数 图象之间的关系： （1）函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的图象是将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变）而得到； （2）函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的图象是将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变）而得到； 一般地，函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长 或缩短 到原来的 倍（横坐标不变）而得到，这种变换称为 .因此， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的值域是 ，最大值为 ，最小值为 . 3．函数 与函数 图象之间的关系： （1）函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的图象是将 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）而得到； （2）函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的图象是将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）而得到； 一般地，函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短 或伸长 到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的，这种变换成为 . 4. 函数 与 图象之间的关系： （1）函数 的图象是将函数 的图象向 平移 个单位长度而得到； （2）函数 的图象是将函数 的图象向 平移 个单位长度而得到； 一般地，函数 的图象可以看作是把 的图象上所有的点向左 或向右 平移 个单位长度而得到的. 【经典范例】 例1：（1）函数 的图象可由函数 的图象经过怎样的变换得到？ （2）将函数 的图象上所有的点 得到 的图象， 再将 的图象上的所有点 得到函数 的图象. （3）要得到 的图象，只需将函数 的图象 . （4）要得到函数 的图象，需将函数 的图象 . （5）已知函数 ，若将 得图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐 标扩大到原来的 倍，然后将整个函数图象向上平移 个单位，得到曲线与 的图象 相同，则 的解析式是 . 解 例2：要得到 的图象，需要将函数 的图象进行怎样的变换？ 【分析】函数名称化为相同时，才可以进行平移变换. 解 例3：已知函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 在一个周期内，当 时， 有最大值为 ，当 时， 有最小值为 .求函数表达式，并画出函数 在一个周期内的简图.（用五点法列表描点） 解 【随堂练习一】 1.将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位后可得到函数 . 2.已知 ， ，则关于 的图象说法正确的是 . （1）与 图象相同 （2）与 图象关于 轴对称 （3）向左平移 个单位得到 的图象 （4）向右平移 个单位得到 的图象 3.将函数 图象上每一点的纵坐标缩小为原来的 倍，再将整个图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 . 【分层训练】 1. 不属于函数 的单调区间的是 （ ） A. B. C. D. 2. 下列函数图象关于 对称的是 （ ） A. B. C. D. 3.数 是奇函数，则 的一个值为 4.数 的图象向右平移 个单位后再作和 轴对称的曲线，得到 的图象，则 可以是下列函数中的 ① ② ③ ④ 5.最小正周期不大于 ，那么正整数 的最小值为 6.函数 ，在同一周期内，当 时，取得最大值 ；当 ，取得最小值 ，那么这个函数解析式是 7.图象如图，则解析式是 【随堂练习二】 1.已知函数 的值域为 2.已知函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 是 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上为单调函数，求 和 的值. 【分层训练】 1. 将函数 的图象上所有的点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的 ，得到新函数的图象，那么这个新函数的解析式为 （ ） A. B. C. D. 2. 若 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的最小值为 ，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标相差 ，且图象过点 ，则该函数解析式为 （ ） A. B. C. D. 3.说明 的图象可由 的图象经过怎样的变换而得到. 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第13课时 函数 的图像（二） 【学习目标】： 1. 能由正弦函数的图象通过变换得到 的图象；了解 的图像的特征； 2.会根据函数图象写出解析式； 3.能根据已知条件写出 中的待定系数 、 、 . 4.根据 的性质解决实际问题. 【预习评价】： 1. 函数 与函数 图象之间的关系. 2. 函数 与函数 图象之间的关系. 3. 函数 与函数 图象之间的关系. 4. 函数 与函数 图象之间的关系. 【思考】函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？ 【经典范例】 例1：若函数 表示一个振动量.（1）求这个振动的振幅、周期、初相；（2)不用计算机和图形计算器，画出该函数的简图. 【解】 例2：已知函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式. 【解】 例3：已知函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的最小值是 ，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ，且图象经过点 ，求这个函数的解析式. 【解】 【随堂练习一】 （1） 函数 的图象是函数 的图象 移 个单位变换所得. （2） 先将函数 的周期扩大为原来的 倍，再将新函数的图象向右平移 个单位，则所得图象的解析式为 （3） 若函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 图象上的一个最高点是 ，由这个最高点到相邻最低点的一段曲线与 轴交于点 ，求这个函数的解析式. 例4已知函数 的最小正周期不大于4，求正整数 的最小值. 【解】 例5函数 的周期、单调区间和最大值、最小值. 【解】 【随堂练习二】 1. 是正实数，函数 在 上递增，那么 的取值范围是 . 2.已知函数 ，则下列命题正确的个数 个 ① 是周期为 的奇函数 ② 是周期为 的偶函数 ③ 是周期为 的非奇非偶函数 ④ 是周期为 的非奇非偶函数 3. 函数 的单调减区间为 . 4. 函数值 ， ， 的大小顺序是 . 5. 已知 （1）求它的振幅、周期、初相； （2）作图法作出它在长度为一个周期的区间上的图象； 【分层训练】 1.下列函数中，最小正周期为 ，且图像关于 对称的是 . (1) (2) (3) (4) 2.为了得到 的图像，可以将函数 的图像向 平移 个单位长度. 3. 将函数 的图像向右平移 个单位，得到的图像恰好关于直线 对称，求 的最小值. 4.一个单摆如图所示，以OA为始边，OB为终边的角 与时间 的函数满足： . (1) 时，角 是多少？ （2）单摆频率是多少？ （3）单摆完成5次完整摆动共需多少时间？ 5. 给出下列命题： ①存在实数 ，使 成立； ②函数 是偶函数； ③直线 是函数 的图象的一条对称轴； ④若 和 都是第一象限角，且 ，则 ． ⑤ 的图象关于点 对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 6.某三角函数的初相和频率分别为 和 ，则他的相位是 . 7.如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx＋ ）＋b. （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式． 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第14 课时 三角函数的应用 【学习目标】 1．培养学生用已有的知识解决实际问题的能力； 2．三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用. 【预学评价】 1. 已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角是弧度数 2. 若角 的终边与直线y=3 重合，且 ＜0，又P（m，n）是 终边上一点，且 ,则 = 3．将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是 4．对于函数 则下列正确的序号是 ①．该函数的值域是[－1，1] ②．当且仅当 时，该函数取得最大值1 ③．当且仅当 ④．该函数是以 为最小正周期的周期函数 【经典范例一】 例1 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中 （Ⅰ）将十字形的S面积表示为 的函数； （Ⅱ）当 时，求十字形的面积。 例3 一条直角走廊宽1.5米，如图所示，现有一转动灵活的手推车，其平板面的矩形宽为1米，问要想顺利推过直角走廊，平板车的长度不能超过多少米？ 【随堂练习一】 1．ω是正实数，函数 在 上是增函数，那么 范围 2. 已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x） ＜0的解集 ， 3. 已知函数y=2 ，x((0，2((和y=2的图象围成一个封闭的平 面图形,这个封闭的图形的面积是 【随堂练习二】 1. 电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数 I= 的图象如图所示， 则当 秒时，电流强度是 安. 2．在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为 m(精确到0.1m). 3. 2002年8月，在北京召开的国际家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是 的值等于 【分层训练】 1．设 ，其中m、n、 、 都是非零实数，若 则 . 2．函数 的图象的一条对称轴方程是 3．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm? 4．扇形 的中心角为 ，半径为 ，在扇形 中作内切圆 及与圆 外切，与 相切的圆 ，问 为何值时，圆 的面积最大？最大值是多少？ 5．点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时. （1）求物体对平衡位置的位移 (cm)和时间 (s)之间的函数关系； （2）求该物体在 =5s时的位置. 6．弹簧挂着的小球作上下振动，它在时间t（秒）内离开平衡位置（就是静止时的位置）的距离 （cm）由下列函数关系决定： =3sin（2t+ ） （1）以t为横坐标， 为纵坐标作出函数的图象（0(t((）； （2）求小球开始振动时的位置； （3）求小球上升到最高点和下降到最低点时的位置； （4）经过多少时间，小球往返振动一次？ （5）每秒钟内小球能往返振动多少次？ 7. 在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米； (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？ ８．将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度 取决于角 的大小，探求 之间的关系式，并导出用 表示 的函数关系式。 【师生互动】 学生质疑 老师释疑 第15课时 三角函数的应用（2） 【学习要求】 1. 通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘 2．培养学生用已有的知识解决实际问题的能力； 3．能把实际问题中所涉及到的三角函数问题通过建立三角函数模型加以揭示 【预学评价】 1. 方程 的实根个数是 2. 已知 满足方程 ，则 的最大值为 3. 如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米， 已知水轮每分钟旋转4圈，水上的点P到水面距离 y(米)与时间x(秒)满足函数关系 则 = ，A= 4. 在有太阳的时候，一个球在水平地面上，球的影子伸到与地面的接点10米处，同一时刻，一根长1米，一端接触地面且垂直放置的尺的影子长是2米，则球的半径为 【经典范例】 例1某港口水的深度 （米）是时间 ，单位：时）的函数，记作 ，下面是某日水深的数据： t时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察， 的曲线可以近似地看成函数 的图象。 （1）试根据以上数据，求出函数 的近似表达式， （2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 例2 如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心Ｏ高度相同）时开始计时， （1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式； （2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米 如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处， 【随堂练习一】 1． 已知某海滨浴场的海浪高度 (米)是时间 ( )，单位：小时)的函数，记作 ，下表是某日各时的浪高数据． (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 (米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测, 的曲线可近似看成是函数 ,根据以上数据，函数的解析式为 . 2.如图,一广告气球被一束入射角为 的平行光线照射，其投影是长半轴长为5 m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料为 【随堂练习二】 1. 水渠横断面为等腰梯形（如图所示），渠深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底边长 之和为最小，问此时腰与下底夹角 应该是多少？ 2. 将一块圆心角为1200，半径为20㎝的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪 种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值。 【分层训练】 1．已知实数 满足 ， ，则 的最小值是　 ；最大值　　． 2. 是否存在实数 使方程 的两根成为一个直角三角形两锐角的正弦？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 3．若x∈(0， )，则函数y＝(1－ )· (1－ )的最大值是 4．若实数 满足 且不等式 恒成立，则 的取值范围是 ５．一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：