椭圆

1 1．（本小题满分12分） 设椭圆 的两个焦点是 （1）设E是直线 与椭圆的一个公共点，求使得 取最小值时椭圆的方程； （2）已知 设斜率为 的直线 与条件（1）下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足 ，且 ，求直线 在 轴上截距的取值范围。 2．（本题满分14分） 已知离心率为 的右焦点F是圆 的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点。 （I）求椭圆的方程； （II）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标。 3．（本小题满分14分） 已知椭圆 经过点（0，1），离心率 （I）求椭圆C的方程； （II）设直线 与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A’。试问：当m变化时直线 与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由。 4．（本题满分16分） 设椭圆 的左，右两个焦点分别为 ， ，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且 为正方形。 （1）求椭圆的离心率； （2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在 轴上的一个截距为 ，求此椭圆方程。 5．（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分） 已知椭圆 的楼离心率为 ， 、 分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2. （1）求椭圆C的方程； （2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心， 为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线 有公共点时，求△ 面积的最大值。 6．（本小题满分12分） 已知椭圆 ，倾斜角为45°的直线 过椭圆C的右焦点且交椭圆于 两点。 （1）若椭圆C的左顶点为（-2，0），离心率为 ，求该椭圆C的方程； （2）设向量 ，若点P在椭圆C上，求 的取值范围。 7．（本小题满分12分）已知线段 ， 的中点为 ，动点 满足 （ 为正常数）． （1）建立适当的直角坐标系，求动点 所在的曲线方程； （2）若存在点 ，使 ，试求 的取值范围； （3）若 ，动点 满足 ，且 ，试求 面积的最大值和最小值． 8．（本题满分13分） 已知平面上的动点 及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是 ， ，且 · 。 （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）已知直线 与曲线C交于M，N两点，且直线BM，BN的斜率都存在并满足 · ，求证：直线 过原点。 9．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，B是其上顶点，点N的坐标是 ，满足 ． （1）求此椭圆的方程； （2）若M是坐标平面内一动点，G是三角形MF1F2的重心，且 ，其中O是坐标原点，求动点M的轨迹C的方程； （3）点P是此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（2）中所求得轨迹C的两条不同的切线，Q、R是两个切点，求 的最小值． 10．（本小题满分14分） 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 ，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于8。 （1）求椭圆C的方程； （2）若过点（0，—2）的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求直线l的方程。 11．（本小题共14分） 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为 一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点． （I）求椭圆的方程； （II）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积； （III）在线段OF上是否存在点 ,使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 12．（本题满分l 2分） 如图，已知圆 经过椭圆 的右焦点F及上顶点B．过椭圆外一点（m，o）（m>a）倾斜角为 的直线l交椭圆于C、D两点． （1）求椭圆的方程； （2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围． 13．（本小题满分13分） 已知过点（1，0）的直线 相交于P、Q两点，PQ中点坐标为 （O为坐标原点）。 （I）求直线 的方程； （II）证明： 为定值 14．（本小题满分13分） 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（0， ），且长轴长与短轴长的比是 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB，分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值； （Ⅲ）求△PAB面积的最大值． 15．（本小题满分14分） 已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1。 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线 与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线 过定点，并求出定点的坐标． 16．（13分） 已知点A，B的坐标分别是（0，–1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为 ． （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过D（2，0）的直线l与轨迹C有两个不同的交点时，求l的斜率的取值范围； （3）若过D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的E、F（E在D、F之间），求 的面积之比的取值范围（Ｏ为坐标原点） 17．（本小题满分14分） 已知椭圆 经过点 和点 ． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）试问：在 轴上是否存在定点 ，使得过点 的任意一条直线 与椭圆 交于P，Q两点，且 ？若存在，求出点 的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 18．（本题满分14分）已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于 A，B两点. ⑴若线段AB中点的横坐标是- ，求直线AB的方程； ⑵在x轴上是否存在点M，使 为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由. 19．（本小题满分13分） 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆C的离心率为 ，且经过点 ，过点P（2，1）的直线 与椭圆C在第一象限相切于点M . （1）求椭圆C的方程； （2）求直线 的方程以及点M的坐标； （3））是否存过点P的直线 与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足 ？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由. 20．（13分） 在直角坐标系 中，点M到点 的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线 与轨迹C交于不同的两点P和Q. （I）求轨迹C的方程； （II）当 时，求k与b的关系，并证明直线 过定点. 21．（本题满分14分） 已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 ，直线 交椭圆于不同的两点A、B。 （1）求椭圆的方程； （2）求 的值（O点为坐标原点）； （3）若坐标原点O到直线 的距离为 ，求 面积的最大值。 22．（本小题满分13分） 已知焦点在 轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为 ，且过点 （1）求椭圆C的方程； （2）直线 分别切椭圆C与圆 （其中 ）于A、B两点，求|AB|的最大值。 23．（本小题满分14分） 已知椭圆 的离心率为 其左、右焦点分别为 ，点P是坐标平面内一点，且 （O为坐标原点）。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点 且斜率为k的动直线 交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和 面积的最大值；若不存在，说明理由。 24．（本小题满分14分） 已知椭圆C1的中心在坐标原点O，焦点在 轴上，离心率为 ，P为椭圆上一动点。F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且 面积的最大值为 （1）求椭圆C1的方程； （2）设椭圆短轴的上端点为A，M为动点，且 成等差数列，求动点M的轨迹C2的方程； （3）作C2的切线 交C1于O、R两点，求证： 25．（本题满分14分） 已知椭圆 的离心率为 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆 的左焦点为F1，右焦点为F2，直线 过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点P，线段PF2的垂直平分线交 于点M，求点M的轨迹C2的方程； （3）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值． 26．（本小题满分12分） 已知点M是离心率是 上一点，过点M作直线MA、MB交椭圆C于A，B两点，且斜率分别为 （I）若点A，B关于原点对称，求 的值； （II）若点M的坐标为（0，1），且 ，求证：直线AB过定点；并求直线AB的斜率k的取值范围。 27．（本小题满分12分） 已知椭圆 经过点 ，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形。 （1）求椭圆的方程； （2）动直线 交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。 28．（本题满分13分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，短轴端点分别为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。 （I）求椭圆的方程； （II）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足 ，连结CM交椭圆于P，证明 为定值（O为坐标原点）； （III）在（II）的条件下，试问在x轴上是否存在异于点C的定点Q，使以线段MP为直线的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由。 30．（本小题满分12分） 已知椭圆 的离心率为 ，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 ，过点 的直线与椭圆 相交于两点 ， （1）求椭圆的方程； （2）设 为椭圆上一点，且满足 （ 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围 31．已知A、B是圆 上满足条件 的两个点，其中O是坐标原点，分别过A、B作x轴的垂线段，交椭圆 于A1、B1点，动点P满足 （I）求动点P的轨迹方程 （II）设S1和S2分别示 和 的面积，当点P在x轴的上方，点A在x轴的下方时，求S1+S2的最大值。 32．（本小题满分12分） 设椭圆 的离心率 ，右焦点到直线 的距离 O为坐标原点。 （I）求椭圆C的方程； （II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。 33．（本小题满分12分） 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点． （1）若 是该椭圆上的一个动点，求 的取值范围; （2）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点M、N，且∠ 为锐角（其中 为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围． （3）设 是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形 面积的最大值． 34．（本小题满分15分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 交椭圆于A、B两点。 （1）求椭圆的方程； （2）已知 ，是否对任意的正实数 ，都有 成立？请证明你的结论。 35．（本小题满分14分） 如图，直角梯形ABCD中， 椭圆F以A、B为焦点且过点D. （I）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程； （II）若点E满足 是否 存在斜率 的直线l与椭圆F交于M、N两点，且｜ME|=|NE|,若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。 36．（本小题满分14分） 已知 、 分别是直线 和 上的两个动点，线段 的长为 ， 是 的中点． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过点 作直线 （与 轴不垂直）与轨迹 交于 两点，与 轴交于点 ．若 ， ，证明： 为定值． 37．（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分） 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，短轴两个端点为 ，且四边形 是边长为2的正方形。 （1）求椭圆方程； （2）若 分别是椭圆长轴的左右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 。证明： 为定值； （3）在（2）的条件下，试问 轴上是否存在异于点 的定点 ，使得以 为直径的圆恒过直线 的交点，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 38．已知A、D分别为椭圆E： 的左顶点与上顶点，椭圆的离心率 ，F1​、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且 的最大值为1 ． （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程 ；若不存在，请说明理由； （3）设直线l与圆 相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取最大值？并求最大值． 39．（本小题满分14分） 设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，过点 与 垂直的直线交 轴负半轴于点 ，且 ． （Ⅰ）求椭圆 的离心率； （Ⅱ）若过 、 、 三点的圆恰好与直线 ： 相切，求椭圆 的方程； （III）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，在 轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出 的取值范围，如果不存在，说明理由． 40．（本小题满分12分） 设F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点。 （I）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且 ，求点P的坐标； （II）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。 41．（本小题满分13分） 已知 是椭圆 的两个焦点，点G与F2关于直线 对称，且GF1与l的交点P在椭圆上. （I）求椭圆方程； （II）若P、 的椭圆上的不同三点，直线PM、PN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.