映射，函数定义域，值域

一种特殊的对应：映射 （1） （2） （3） （4） 1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。 2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④） 3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。 4．注意映射是有方向性的。 5．符号：f ： A B 集合A到集合B的映射。 6．讲解：象与原象定义。 再举例：1A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1 是映射 2A=N+ B={0,1} 法则：B中的元素x 除以2得的余数 是映射 3A=Z B=N* 法则：求绝对值 不是映射（A中没有象） 4A={0,1,2,4} B={0,1,4,9,64} 法则：f ：a b=(a1)2 是映射 一一映射 观察上面的例图（2） 得出两个特点： 1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象 （单射） 2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 （满射） 即集合B中的每一个元素都有原象。 从映射的观点定义函数（近代定义）： 1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射 f：A B 这里 A, B 非空。 2A：定义域，原象的集合 B：值域，象的集合（C）其中C B f：对应法则 xA yB 3函数符号：y=f(x) —— y 是 x 的函数，简记 f(x) 函数的三要素： 对应法则、定义域、值域 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1． 解：不是同一函数，定义域不同 2。 解：不是同一函数，定义域不同 3。 解：不是同一函数，值域不同 4． 解：是同一函数 5． 解：不是同一函数，定义域、值域都不同 关于复合函数 　　设 f(x)=2x3 g(x)=x2+2 则称 f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。 f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1 g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11 例：已知：f(x)=x2x+3 求：f( ) f(x+1) 解：f( )=( )2 +3 f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3 1. 函数定义域的求法 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数 余切函数 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理) 函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 ， 函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ， 函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是 ， 函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 注意， 1.​ 复合函数的定义域。 如：已知函数 的定义域为（1，3），则函数 的定义域。 2.​ 函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 , 则函数 的定义域为 ，解不等式，最后结果才是 3.这里最容易犯错的地方在这里： 已知函数 的定义域为(1,3),求函数 的定义域；或者说，已知函数 的定义域为(3,4), 则函数 的定义域为______? 2. 函数值域的求法 函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题, 对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. （1）、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例 求函数 的值域 （2）、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 的值域。 （3）、根判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如: 4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数 值域。 ,分母不等于0,即 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。 我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 例 求函数 ， ， 的值域。 10.倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数 的值域 多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时， 首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。