【doc】 Q235钢屈服强度的Weibull统计分析

【doc】 Q235钢屈服强度的Weibull统计分析 Q235钢屈服强度的Weibull统计分析 第29卷第7期 2005年7月 械 for 工程材料 MechanicalEngineering Vo1.29No.7 Ju1.2005 Q235钢屈服强度的Weibull统计分析 易勇,沈保罗 (1.西南科技大学材料科学与工程学院,四川绵阳621010; 2.四川大学材料科学与工程学院,四川成都610064) 摘要:为将Weibull统计应用于塑性材料的强度分布规律分析,利用贝叶斯统计方法和第四 强度理论对WeuU统计理论进行修正,并用Q235钢的屈服强度进行验证.结果发现:所得到的 We.buU似然统计可以很好地描述Q235钢的强度分布. 关键词:WeibuU统计;屈服强度;Q235钢 中图分类号:TG156.93文献标识码:A文章编 号:1000-3738(2005)07—0047—03 WeibullStatisticalAnalysisofYieldStrengthforQ235Steel YIYong~,SHENBao-luo2 (1.SouthwestUniversityofScience&Technology,Mianyang621010,China; 2.SichuanUniversity,Chengdu610064,China) Abstract:TheWe/bullstatisticsmodifiedbyBayesianstatisticsand4thstrengthlawwasadaptedtOanalyze thestrengthdistributionofplasticmaterials,andthenvalidatedbyyieldstrengthofQ235stee1.TheWeibull likelihoodstatisticscar1.describewellthedistribu/ionofthestrengthofQ235. Keywords:Weibullstatistics;yieldstrength;Q235steel 1引言 一 般认为,塑性材料如低碳钢等的强度可用正 态分布描述其分布规律,但是正态分布有其致命弱 点,其样本分布在[,?,+?],无法得到样本的最 小值即最小强度,而这对可靠性设计又是十分重要 的.we.buU统计理论应用于脆性材料的强度分散 性分析的合理性和优越性已得到众多试验事实验 证[1].但是,对于塑性较好的材料,其强度的分布 规律能否用We.buU统计描述尚未发现相关报道, 并且正如We.buU自己提到的:对于塑性较好的材 料的强度统计,we.buU分布还缺乏足够的理 论基础[.最近,Eric等[.]利用贝叶斯统计理论研 究了weuU分布函数的理论基础.作者采用此方 法,结合塑性材料的强度理论,以Q235钢为对象研 究了其强度的分布规律. 2试样制备与试验方法 2.1试样制备 试验采用成都钢铁厂生产的8mmQ235圆钢, 收稿日期:2004—04—12;修订日期:2004-06—30 作者简介:易勇(1977一),男,湖北麻城人,硕士. 由于材料已经过冷拉,故需经过热处理使其消除形 变硬化.试样经过200?回火2h,长度分别有4O, 80,160,320mm四组,编号分别为ZI40,ZL80, ZL160,ZL320,每组各100个试样. 2.2试验方法 在WE-100型万能试验机上进行拉伸试验,加 载速度为9.8N/min.由于Q235钢有明显的屈服 平台,故其屈服强度可取屈服平台的值. 3结果分析 3.1第四强度理论(能量强度理论) 屈服现象是金属材料开始塑性变形的标志,而 各种构件在实际服役过程中大都处于弹性变形状 态,不允许产生微量的塑性变形.因此,对这样的构 件而言,屈服就意味着失效.工程上,预测复杂应力 (如双向,三向拉伸,压缩)状态下的结构元件的屈服 也是相当困难的,因为结构元件的强度数据通常是 单轴拉伸(压缩)得到的.能克服上述困难的就是第 四强度理论,它假设材料进入临界状态是由于材料 所承受的应变能到达了一定的限度,这一限度就是 单向拉伸(压缩)到达临界状态的应变能.应变能可 分成两部分,一部分是与体积变化有关的应变能,另 ?47 易勇,等:Q235钢屈服强度的Weibull统计分析 一 部分是与形状变化有关的应变能,也称歪形能. 于是第四强度理论(能量强度理论)可表述为:复杂 应力状态下的应变能达到单位承载临界状态的f临界 能,材料进入临界状态.对于一般塑性材料而言,体 积变化很小,体积应变能可以忽略不计,故其总应变 能近似等于歪形能.在单轴拉伸下,歪形能为: “一0.2/6o(1) 式中为拉伸应力;G为剪切模量. 3.2贝叶斯概率模型 在工程应用中,除了材料的平均歪形能外,还关 注其歪形能的分布.利用贝叶斯公式,可以定义平 均歪形能()的分布: p(OIz1,z2,…,z)一是[z(z1,X2,…,zI)户()](2) 式中p(OIz,zz,…,z)为给定1”1个试验数据的0 的分布密度,也称后验分布;()为先验分布,根据 贝叶斯假设,可令其为均匀分布;l(x,z.,…,zI) 为似然函数,k为常数.为了计算后验分布,必须求 出似然函数. Mendel根据此类问题的不变性导出了上述所 需的weibull型似然函数m].假设有N个试样,取 其中<N个试验;试样是无差别的,即试验前并不 能判别试样强度的高低.现在关心的是材料的平均 歪形能,因此,假设同一材料的任意个试样的平均 歪形能是相等的(这也是符合逻辑和客观实际的). 此时,可以不关心数据是由那个试样所得到的. 为了寻求满足上述不变性的【,的分布,联合生 存函数: F(.’1,.’2,…,)一P(U1?”1,【,2?.’2,…,【,?.’) (3) 对任意系列的个试样都必须满足下列条件: F(“1,//2,…,U)一F(“1,U2,…,U)(4) 式中?”一?”i,Mendel研究了满足式4条件的 函数,得到其似然函数为: L(u1,U2,…,I)一P(【,1?”1,U2?z,2,…,? I@一)(5) 1N 其中@一?u 』l=l 当将平均歪形能@看作参数时,它取决于上述 的不变性.假设第+1个试样的歪形能恰为0,对 似然函数进行积分可以发现正好是Dirchilet积分, 于是可以得到L1..: L(u1,”2,…,I)一El-”/M]?_(6) l=l 当N--,-oo时, ? 48 L(u1,”2,…,”I)一IIexp~一”/](7) 试验结果为屈服强度组成的向量(,0”2,…), 于是由式l可得 Uf一2/6G(8) 要得到的是l(x,zz,…,zI),做一变换: E(【,(1),U(a2),…,【,()I)一L(1,0”2,…,I) (9) 于是, L(a1,0”2,…,I)一?exp[一/6G(1O) 由此可得: L(a1,0”2,…,IO)oc~Ea,/O]expE一/6G(11) 从似然函数可以看到其核即为:z一O,m一2以 及z.=6G0的Weibull密度函数. 在工程实际中,任何材料都存在一最小歪形能 (“),即当试样的歪形能小于时,材料不会发生 屈服失效,但前面提到的不变性仍然适用.对任意 个试样所得向量(“一U,”.一U,…一U)都有 相同的平均值.所以(其中一”--U): (,.,…,I)一~expE一/~3(12) 其中p一1?,于是式l2可改写为: 1f;1 L(u1,”2,…,UI)一?exp[一(“一”)/(一”)] (13) 同理,由式1l可得: L(al,0”2,…,I)OC?[/6G一]exp[--( 一 )/(6G一)](14) 这里,一[6Gu].将式l4与标准的 Weibull模型相比,所得的似然模型与Weibull模型 并不尽相同,这里(z)一(一)/x.而不同于 Weibull提到的标准(z)一(z—z)/z.,但是两 者都是正的,非减的函数,并当z—z时为零. 上述推导中不仅仅指拉伸或压缩应力,根据 第四强度理论,它也可以是复杂应力状态下的等效 应力,即: 一 去[(--a2).-F(a2一国).+(1--a3).].(15)厶 在利用上述统计模型进行分析前,先将所得的 屈服强度按升序排列,相应的失效概率按式l6 计算: F—/(+1)(16) 易勇,等:Q235钢屈服强度的Weibull统计分析 式中i为样本顺序排列的序号;n为样本的数量. 利用上述Weibull似然模型分析Q235钢的屈 服强度,结果见图1和表1.可见,分析与试验数据 吻合得很好,尽管在屈服强度的最高和最低两端稍 有偏差,但考虑到试验条件限制,上述拟合效果已经 是很满意的.分析所得的即为最低屈服强度,可 应用于可靠性设计. 瓣 鼙 较 屈服强度/MPa 图1Q235钢屈服强度的Weibull似然模型分析 Fig.1AnalysisofyieldstrengthofQ2assteel byWeibulllikelihoodmodel 表lWeibull似然分布的参数估计 Tab_1EstimateoftheparametersofWeibull likelihoodmodel 4结论 利用贝叶斯统计方法和第四强度理论对 Weibull统计理论进行修正,应用所得的Weibull似 然统计对Q235钢的屈服强度进行分析,分析与试 验数据拟合得相当好.尽管仅以Q235钢的屈服强 度对其进行验证,但是从上述的理论分析可知,对于 适用第四强度理论进行失效判据的材料,无论是单 轴拉伸还是其他复杂应力状态,其等效值均可用 Weibull似然统计描述其分布规律. 参考文献: Eliwe|bul1w.Astatisticaltheoryofthestrengthofmaterials EJ].IngeniorsVetenscapSakademienHandlingar,1939,151:1 — 29. 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