函数的周期性

函数的周期性 周期函数 对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒定义:xTfx()fxTfx()()，,成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期， Tfx()fx() fx()kZk,,,0fx()若kTT是的一个周期，则()也是的周期，所有周期中的最小正 fx()的最小正周期。 数叫 例如:1、T,b,a 的周期为 fxafxb()()，,，y,f(x), T,2a2、的周期为 f(x，a),,f(x)y,f(x) , 1T,2a3、的周期为 y,f(x)f(x，a), ,f(x) 1T,2a4、的周期为 y,f(x)f(x，a),, ,f(x) 1,f(x)T,3a、的周期为 5y,f(x)f(x，a), ,1，f(x) 1T,2a6、的周期为 y,f(x)f(x，a),, ,f(x)，1 1，f(x)T,4a7、的周期为 y,f(x)f(x，a), ,1,f(x) f(x，2a),f(x，a),f(x)T,6a8、 的周期为 y,f(x), f(,x),f(x)偶函数关于y(即x=0)轴对称，偶函数有关系式 f(x)，f(,x),0奇函数关于(0，0)对称，奇函数有关系式 上述关系式是否可以进行拓展,是肯定的 f(a，x),f(a,x)y,f(x)探讨:(1)函数关于对称 ,x,a f(a，x),f(a,x)f(x),f(2a,x) 也可以写成或 f(,x),f(2a，x) y,f(x)f(x),f(2a,x) 简证:设点在上，通过可知，(x,y)11 ，即点上，y,f(x),f(2a,x)(2a,x,y)也在y,f(x)11111 而点与点关于x=a对称。得证。 (x,y)(2a,x,y)1111 f(a，x),f(b,x)y,f(x)若写成:，函数关于直线 (a，x)，(b,x)a，bx,, 对称 22 y,f(x)f(a，x)，f(a,x),2b(a,b) (2)函数关于点对称 , f(2a,x)，f(x),2b 或 上述关系也可以写成f(2a，x)，f(,x),2b y,f(x)f(2a,x)，f(x),2b简证:设点在上，即，通过(x,y)y,f(x)1111 可知，，所以f(2a,x)，f(x),2b11 ，所以点也f(2a,x),2b,f(x),2b,y(2a,x,2b,y)11111 y,f(x)(a,b)在上，而点与关于对(2a,x,2b,y)(x,y)1111 称。得证。 f(a，x)，f(b,x),cy,f(x) 若写成:，函数关于点 a，bc 对称 (,)22 性质1、 若函数y,f(x)同时关于直线x,a与x,b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T,2|a,b| 推论:偶函数满足周期 y,f(x)f(a，x),f(a,x)y,f(x)T,2a , 性质2、若函数y,f(x)同时关于点(a，0)与点(b，0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T,2|a,b| 推论:奇函数满足周期 f(a，x),f(a,x)y,f(x)y,f(x)T,4a, 性质3、若函数y,f(x)既关于点(a，0)中心对称，又关于直线x,b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T,4|a,b| 3,,fx(),,0例题1、已知函数的图象关于点对称，且满足,,4,, 3f(1)1,,f(0)2,,fff(1)(2)(3)，，，，f(2006)，又，，求…fxfx()(),,，2 的值 fx()fx(1)，fx(1),例2(2009全国卷?理)函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) fx()fx()(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 fxfx()(2),，fx(3)，(C) (D) 是奇函数 fx(1)，fx(1),fx()(1,0)(1,0),解: 与都是奇函数，函数关于点，及点对称，函数？？ fx()T,,,,2[1(1)]4f(x,1),f(x，3)fx(3)，是周期的周期函数.，所以有即是奇函数。故选D f(x)fxfx(4)(),,,例题3 (2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则xxxx,,,,,,8,81234 xxxx，，，,_________.1234 fx()fxfx(4)(),,,fxfx(4)(),,,解:因为是定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, fx()f(0)0,x,2函数图象关于直线对称，根据定理2函数是以8为周期的周期函数，且, , f(x)f(x)又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方 程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对xxxx,,,xxxx,,,,,,8,812341234称性知所以 xx，,,12xxxx，，，,,，,,1248xx，,412123434 y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x