圆锥曲线中存在点关于直线对称问题

圆锥曲线中存在点关于直线对称问 在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题:一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称， 求方程中参数的范围. 对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点:垂直(斜率之积为,1)和两点连线 中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的?产生，下面举例: 22例1:已知椭圆C:3x，4y=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l:y=4x，m，椭圆C上有不同 两点关于这条直线对称. 解:设存在两点A(x,y)、B(x,y)关于l对称，中点为C(x,y)， 112200 1则AB所在直线为y=, x，b. 4 1322与椭圆联立得: x,2bx，4b,12=0， 4 x，x4b12? x= = , 0213 11，b, x，b, x12，yy412b412y= = . = 02213 ? C在y=4x，m上, 12b4b13m? = ×4，m, b=, . 13134 132222又? ?=4b,4× (4b,12)=4b,52b，13×12>0, 4 213169m132故 b< ,即 < ， 4164 213 213 解得:, 0， 2aa 1,a13即 ,4 >0，a> . 22aa4 这种

方法

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巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积， 构造方程，利用?求出参数范围. 当然，不管是两种解法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及 中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别. 练一练: 921、 在已知抛物线上存在两个不同的点M、N关于直线对称，求k的取值范围。 yx,ykx,,，2 22xx,112212？,,，xx,MN,,Mx,x,Nx,x法一:设，关于直线对称，且，，即 xx，,，，，，12112212xxk,k12