第17讲位值原则

第17讲位值原则 第17讲 位值原则 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一;写在十位上，就表示5个十;写在百位上，就表示5个百;等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。 我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组 10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”， 等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等(见下图)。 用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如: 其中a可以是1,9中的数码，但不能是0，b和c是0,9中的数码。 下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。 个数之差必然能被9整除。例如，(97531-13579)必是9的倍数。 例2有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。 分析与解:由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100;把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。 设这个两位数为x。由题意得到 (10x+1)-(100+x)=666， 10x+1-100-x=666， 10x-x=666-1+100， 9x=765， x=85。 原来的两位数是85。 例3 a，b，c是1,9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍, 分析与解:用a，b，c组成的六个不同数字是 这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到 所以，六个数的和是(a+b+c)的222倍。 例4用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少, 解:由例3知，可以组成的六个三位数之和是(2+8+7)×222， 所以平均值是(2+8+7)×222?6=629。 例5一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。 (a+b)×5-(10a+b)=6， 5a+5b-10a-b=6， 4b-5a=6。 当b=4，a=2或b=9，a=6时，4b-5a=6成立，所以这个两位数是24或69。 例6将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。 分析与解:设原来的三位数的三个数字分别是a，b，c。若 由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891。经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495。 练习17 1.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。求原来的两位数。 2.有一个三位数，将数码1加在它的前面可以得到一个四位数，将数码3加在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数之差是2351，求原来的三位数。 5.从1,9中取出三个数码，用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330。这六个三位数中最小的能是几,最大的能是几, 6.一个两位数，各位数字的和的6倍比原数小9，求这个两位数。 7.一个三位数，抹去它的首位数之后剩下的两位数的4倍比原三位数大1，求这个三位数。 利润和折扣问题 知识要点 利润问题是一种常见的百分数应用题。商店出售商品，总是期望获得利润。一般情况下，商家从厂家购进的价格称为成本(也叫进价)，商家在定价的基础上提高价格出售，所赚的钱称之为利润，利润与成本的比称之为利润率，商品的定价由期望的利润率来确定。商品减价出售时，我们通常称之为打折出售或打折扣出售，几折就是原来的十分之几。 解答利润和折扣问题的应用题，要注意结合生活实际，理解成本、定价、利润、折扣之间的数量关系。将此类题转化成分数应用题解答，也可根据数量间的相等关系列方程解答。解答时要理解与掌握下列数量关系: 1.利润率,,售价,成本,?成本×100, 2.售价,成本×,1，利润率, 3.售价,原价×折扣 4.定价,成本×,1，期望的利润率,,利润率也称利润百分数，售价也称卖价, 典例解析及同步练习 典例1 某商品按定价的80,出售，仍能获得20,的利润。定价时期望的利润百分数是多少, 解析:求利润的百分数就是求获得的利润占成本的百分之几，因此应该用,卖价,成本,? 卖价,成本成本，即? ,利润的百分数，要求利润的百分数是多少，必须知道商品原来的成本 成本和实际卖价各是多少。假设定价为1，因为商品实际按定价的80,出售，因此实际卖价就应该是1×80,,0.8。根据题意，按定价的80,出售后，仍能获得20,的利润，也就是“成本×,1，20,,,卖价”，因为实际卖价是0.8，所以用0.8?,1，20,,就可以求出成本。当卖价和成本都求出后，就可以求出定价时期望的利润百分数是多少了。 解:设定价为“1”。 商品的实际卖价为:1×80,,0.8 2商品的成本为:0.8?,1，20,,, 3 22定价时期望的利润百分数为:,1, ,? ,50, 33 答:定价时期望的利润百分数是50,。 举一反三训练1 1.某种商品的利润是20,，如果进货价降低20,，售出价保持不变，那么商品的利润是百分之几, 2.某服装店把一批西服按50,的利润定价，当销售75,以后，剩下的打折出售，结果获得的利润是预期利润的70,，剩下的打几折出售, 3.某商品按20,的利润定价，若按八折出售，每件亏损64元。每件成本是多少元, 典例2 甲、乙两种商品成本共200元。甲商品按30,的利润定价，乙商品按20,的利润定价，后来两种商品都按定价的90,出售，共获利润27.7元。甲、乙两种商品的成本各是多少元, 解析:根据“甲、乙两种商品成本共200元”，我们可以假设其中的一种商品甲商品的成本为χ元，则乙商品的成本为,200,χ,元。根据“甲商品按30,的利润定价”可表示出甲商品的定价为,1，30,,χ元;根据“乙商品按20,的利润定价”可表示出乙商品的定价为,1，20,,,200,χ,元。现在两种商品都按总价的90,出售，且获利润27.7元，由此可根据等量关系:售价,成本，利润，得到方程[,1，30,,χ，,1，20,,,200,χ,] ×90,,200，27.7，从而求出两种商品的成本。 解:设甲商品的成本是χ元，则乙商品的成本是,200,χ,元。 [,1，30,,χ，,1，20,,,200,χ,] ×90,,200，27.7 χ,130 200,130,70,元, 答:甲、乙两种商品的成本分别为130元、70元。 举一反三训练2 1.某出版社出版某种书，今年每册书的成本比去年每册书增加10,,但是仍然保持原售价,结果每本盈利下降了40,,但今年的发行册数比去年增加80,,那么今年发行这种书获得的总盈利比去年增加了百分之几? 2.某商品按定价出售,每个可以获得利润50元。现在按定价的八折出售8个和按定价每个减价40元出售12个所获得的利润一样。这种商品每个定价多少, 3.商店购进一批本子，每本1元，若按定价的80,出售，能获得20,的利润，现在，本子的成本降低按原定价的70,出售，仍能获得50,的利润。则现在这种本子进价每本几元, 典例3 张大爷有5000元钱，打算存入银行两年。已知有两种储蓄办法:一种是存两年期的，年利率为2.43,;另一种是先存一年期的，年利率为2.25,，第一年到期时把本金和利息取出来合在一起，再存一年。选择哪种办法得到的利息多一些,,利息税率为5,, 解析:先应用利息计算公式“利息,本金×利率×时间×,1,5,,”求出两种存款方式下的实得利息，再比较谁多谁少。 解:,1,存两年期可得利息:5000×2.43,×2×,1,5,,,230.85(元) ,2,存两个一年期可得利息: 第一年得利息:5000×2.25,×,1,5,,?107(元) 第二年得利息:(5000，107)×2.25,×,1,5,,?109,元, 两年共得利息:107，109,216(元) 因为230.85,216，所以选择两年期得到的利息多一些。 答:选择两年期得到的利息多一些。 举一反三训练3 1.爸爸妈妈给小静存了4万元教育存款，存期为三年，年利率为3.24,，到期一次支取，支 取时凭学生身份证明，可以免征储蓄存款利息所得税。 (1)小静到期可以拿到多少钱, (2)如果是普通三年期存款，应缴纳利息税多少元,,利息税率为5,, 2.若两年定期存款的年利率为2.52,，到期需交5,的利息税，小明爸爸今年3月5日存入1000元两年定期，到期实得本息是多少元, 3.某人在银行存入10000元人民币，存期为一年，年利率为2.06,,利息税率为5,,，到期后，他要把利息全部捐给希望小学。他捐款多少元, 4.某开发商按照分期付款的形式售房，小明家购买了一套现价为12万元的新房，购房时需首付(第一年)3万元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和。已知剩余款得年利率为4%，第几年小明家需交款5200元, 5.假定A种保险每投保1000元，要交保险费3元，保险期1年，期满后不退保险费，续保需重新缴费。B种保险按储蓄方式，每投保1000元，缴储蓄金40元，保险期1年，期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费，年利率为4%。若要投保8万元，A、B两种保险哪一种合算，为什么, 典例4 海淀图书城内某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收 3款。某学校到书店购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的 ，只有甲种书得5到了90%的优惠。这时，买甲种书所付的总钱数是买乙种书所付总钱数的2倍。已知乙种书每本定价时1.5元，甲种书每本定价多少元, 解析:根据“凡购买同一种书100本以上，，可以优惠，只有甲种书得到了90%的优惠”可 3知甲种书在100本以上，乙种书不足100本，再由“乙种书的册数是甲种书册数的 ”，可5设出甲、乙两种书的册数，进一步求解。 3解:设甲种书有150本，则乙种书购买了150× ,90(本) 5 购买乙种书所付的总钱数:1.5×90,135(元)购买甲种书所付的总钱数:135×2,270(元) 甲种书优惠后每本的价钱:270?150,1.8(元)(优惠前)甲种书每本定价:1.8?90%,2(元) 答:甲种书每本定价2元。 举一反三训练4 1.佳佳商店进行打折销售，购买200元以下商品不打折;200元以上(500元以下)则全部打九折;如购满500元以上的商品，就把500元以内的打九折，超出的打八折。王华买了三件商品，定价分别是156元、438元、615元，那么如果她一次买这些商品的话，可节省多少元, 2.某商场在奥运会期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，可以赢利120元。如果减去定价的15%出售，亏损120元。此商品的定价是多少, 23.张大伯把120千克青菜运到集市上去卖，其中 按每千克2.4元卖出，剩下的按八折卖出。3 这些青菜一共卖了多少钱, 4.成本为3.5元的笔记本4000本，按50%的利润定价出售，当售出80%后，剩下的笔记本打折出售，结果获得的利润是预定的88%，剩下的笔记本出售时是按定价打了几折, 能力加强 1.一件商品按30%的利润定价，然后按七折卖出，结果亏损了18元，这件商品的成本是多少元, 2.服装商场购进一批儿童服装，先按40%的利润定价出售，当售出这批服装的90%后，剩下的服装全部五折出售，这批儿童服装全部售出后实际可获利百分之几, 3.某水果店到苹果产地收购苹果，收购价为每千克1.2元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.5元，如果在运输及销售过程中的损耗是10%，那么商店要实现15%的利润率，零售价应是每千克多少元, 4.王阿姨把5000元钱存入银行，定期三年，年利率是3.12%，若利息的税金按5%计算，到期时，王阿姨应得本金和税后利息共多少元, 5.某商场参加财物保险，保险金额为4000万元，保险费率为0.75%，由于事故损失了650万元的物品，保险公司赔偿了500万元，这个商场实际损失了多少万元, 6.张先生向商店订购某一商品，每件定价100元，共订购60件。张先生对商店经理说:“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购3件。”商店经理算了一下，如果减价4%，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的总利润，这种商品的成本是多少元, 7.某文体商店用2200元钱购进一批篮球和足球，篮球比足球多15个，商店出售足球的定价是20元，篮球的定价比足球高20%，这批球售完后共得利润1020元，足球和篮球各有多少个,