【doc】有限长弹性杆与有限长弹性地基梁的横向冲击的冲击力近似公式

【doc】有限长弹性杆与有限长弹性地基梁的横向冲击的冲击力近似公式 有限长弹性杆与有限长弹性地基梁的横向 冲击的冲击力近似公式 应用数学和力学,第17卷第1期(1996年1月) APPlledM~thematicsandMechanics 应用数学和力学编委会编 重庆出版社出版 有限长弹性杆与有限长弹性地基梁的 一 横向冲击的冲击力近似公式 任文敏 (场桂通推荐.1994年l2月25日收到) 了U, 摘要 r," 本文对具有初速的有限长弹性杆与韧始静止的有限长弹性地基粱的横向冲击问题进行了研 究,用伽辽金原理求出了冲击力灼近议公式并对结果进行丁讨论得出了有关结论. 美麓词重.:堡兰伽辽金原理性村,群琏畦 一 , 概述桴相pP刍-…?J 地基梁在中具有一定的应用,对于地基梁的动力学问题的研究是?个具有工程应用 价值的课题.弹性杆与地基梁的横向冲击情况是地基梁受冲击动载荷作用的基本形式之一, 对于这个问题,直接的研究几乎很少有人涉及只有少数学者口于该问题进行了删接的研究, 他们研究的力学模型是无限长梁与半无限长弹性杆的横向冲击作用,:,其中 Ranganath,8和Clifton,R. J.应用了HerLz接触应力理论来建立冲击力与相 对挤压位移的关系,小高忠勇,中原一郎:在研究该问题时作了两个基本假设假设接触应 力均匀分布及梁的直接受冲击接触作用部分可看作刚性块来处理,当然仅是指与弹性杆的截 面尺寸相当的一小部分梁元. 本文对有限长弹性杆(具有初速)与有限长弹性地基粱的横向冲击问题进行了研究,文 中采用丁小高忠勇,中原一郎的两个假设,然后应用弹性杆的一维波动特征线理论建立了 冲击力与地基梁的速度变化及杆的初速之间的关系,并用伽辽金法及积分变换方法求解丁该 问题.对于这类问题而言,最重要而且最困难的就是求解冲击力,一旦确定了冲击力,其他 计算则是十分容易的,故本文只求解了冲击力(本文求解限于线弹性范围内). 二,力学和数学模型 如图1所示,一根具有初速的有限长弹性杆与初始静止的有限长弹性地基粱发生横向冲 击.假设:].接触面上的接触应力均匀分布2.直接受弹性杆横向冲击接触作用的那部分梁 1清华大学工程力学系,北京100084 46 无作为刖性块来处理. 任文敏黄剑敏陈文 1.取地基粱为研究对象 对于时间,取刚开始接触的瞬间为时间oN起点.运动方程: 等+m器+6(X--No)巾)(2.1) 初始静止,边界条件视具体条件而定. 其中:——梁的挠度;E——梁的弹性模量}~(g--X.J——狄拉克函数,——梁的截面惯 性矩|m——单位长度梁的质量|,()——冲击力,K.——地基的弹性系数(假设地基是线 弹性的). 2.取弹性杆为研究对象(如图2所示) 有限长弹性杆具有初速,在与梁接触的那一端受到冲击力,(f)的作用,另一端自由, 下面由一维弹性波传播的特征线理论来推导冲击力,()与地基梁的运动之间的关系; (i)当0?f?,,.时:T口=22/c. 措特征绞l一2口2+pc2=O"1+Pc:(2.2) 其中为应力|P为杆的密度}为杆长ico为杆中一维纵波的波速,对于冲击杆来说, 端面是接触端面,端面是自由端面,整个(I)区(即三角形ABCPfc围成的时空区域)是 非扰动区,在(I)区内任一点应力为零,速度仍为初速口.,所以,t=0,口t=roll又端面 与梁接触,故一=(,f),上标"."示时间求导数.式(2.2)即: 宙1轩与地基榘的冲击 2=pc.一pc02一pc0口口一J.c0(.,) 冲击力:,()=-A=Pco口I1--"Pc.A?(执,) 即l,()=Kvo一(,f)(0?f?】 其中t4为弹性杆截面积,K=pc.A (ii)当7'b??2To时: 2 a { n 2_ C l 瞄2波传播特征缝 (2.3) 一 嚣用劳擎 I 有限长弹性杆与有限长弹性地基梁的横向冲击的冲击力近似公式47 橱特征线2—3?一p'0DI=--Pc. 其中矾一o(因为端面自由),上式即. Pe0=PcD口2一口:(2.4) 播特征线3—4I%+PC~v3=+Pc.口.,即l 口?=nna—PcD(2.5) 把(2.4)代^(2.5)lcr4=Pc0一Pcn一2口,即l =PCn—pco,f)一2cr(t—0) 冲击力l,(})=or'?=p.一APco雪(,f)一20一.),亦即: y(t)=Kvo一(,})一2/(f--Tn)(To??2.)(2.6) (iii)nT0??(n+1)To时I 通过分析不难得到. ' ,(f)=Kv.,(执,f)一2/(f一7'o)一2/(j一2o)一…一2/(}一aTn) =l,2,3,…)(2.7) 不过通过下面的具体求解发现,对n?2的情况无需考虑,因为冲击过程在此之前 已绪柬 了,弹性杆与梁之间已分离. 3.接触条件 在冲击过程中弹性杆与梁保持接触,在接触催用力太小相等,方向相反和位移连续, 这 两个条件已包括在方程(2.1)和(2.3)(2.6)及(2.T)式中了.此外,在整个冲击过程中,弹性 杆与梁保持接触,~/0)>to,当求解计算中一旦出现,(})<O,?表示弹性杆与梁已分 离,冲击过程结束,计算即可以终止. 三,求解 1.取地基粱为研冤对雾 设(x,})一F)?T(f)(3.1) 其中F()为假定的挠度分布函数,取为单位静力集中载荷作用下地基梁的挠度函数, 可在满足所研究的具体的地基梁的边界条件下求I解El—:?蔓+.F():(x-Xo)即可 得到,也可以以有关工程手册中查得,把(3.1)代^(2.1),其误差为 狮,}]=[E,+)]f)+(r(f)X--s'o),(f) 显然(3.1)式能满足(2.1)的与时间无关的边界条件(指一般的简支,固支,自由等边界条 件). 由伽辽金原理: 』I)州圳x=. 即.册叫+(]州f)+m?X-Xo)_,(})(州删 (3.2) 48任文敏黄剑敏冻文 利用F(x)的性质,并叠f32进行整理即得: Il?+T()=,lj 其中=呵圳x 对(33)关于时阃进行Laplace变换,并利用韧值条件,地基粱初始静止,因此, x,0)=(0)=0 从而有fTo=(0)=0即可以得到: (s)=:—j6而)-一Is)f3- ) 其中上标:一表示变换后的函数,s是与埚f应的变换量. 2.取弹性杆为研究对象 (i)当o?时|(0=粤) 由(3.:)可知;yCxo,f)=F(赫)-'(})代A(2.3): 冲击力,f(t)=.一Fo)?T?f35) 对(35)关于}进行Laplace变换,并利用初值条件 f.f0)=0 郸得l,(s)胁.1一KF(x,? 把(3.4)代入上武并化简得t )=.[{一了干弭KF(xFo)co~j?] 又令;.一K— F— (xo, )CO~ ,剐: )=c一格]6) 利于f38)或ts她Laplace逆变换可分三种情况避行如下: 1当?>0时l 令6=?二 则(3.^]即为;s 击力; 1一],对该式进行Laplace逆变换即可求得冲 j=.(-孚lexp[一at]sin) 2,当?=0时 (3.6)即:(s)[了1—者一],再进行Laplace逆变换即可得t ,()=o(1—2at-exp[,at]) 3.当<a时f 令62=?(r 则(3.e)即:(s)"一[?,],再进行Lapiace逆变换; (3.8) 有限长弹性杆与有限长弹性地基粱的横向冲击的冲击力近似公式4a ,…一.(1-等.exp[-at]?sinhbt)(3.9) 需指出一点:在具体问题计算中,如果出现了,,()<0,就表示冲击过程结束,可停止计 ,继续求解计算. 算,否则 (ii)当o?f?2T.时,并假定在0??.时来出现,()<0.冲击力l f(t)=Kv.一KF(x.)?T(f)一2,(一T.)(3.10) 比较(3.10)与(3.5)式可知,当?h时,冲击力,(})受剐经过弹性杆自由端反射后再传播到 接触处的反射应力波的影响,因此,在进一步求解之前应首先研究一下在时刻是否出 现冲击过程结束现象.(本文中表示o的右极限,i表示.的左极限,0表示0的右极 限),由(310)可知:' ,()=ICy.一KF(x.)()一2,(:一.),即 ,()=Kvo—F(x.)(:)一2I(o) 由(3.5)可知l,(0)=Kvo,代入上式,即得l ,()=Kvo—KF(x)()】一2Kv(3.11) 又(,f)=F((f)应该是连续的,因为地基梁只受到有限大的外力作用,其运动的加速 度是有限的,从而其运动速度应是连续的,即 (xo,)=.,i) 从而有((:)于是有l Kv.一KF(‰)(言)=Kv.一KF()(i)=,(:)(3.12) 把(3.12)代入(3.11):,(,,);,(;)一2Kv.(3.13) 由(37)^v【3.9)可知; f.(1一罟.expsinbT.)(?>口) ,(;)=(Kvo(1—2aTo?exp[一aT.】)(?一d)(3.14) lKvo(1一鲁oxp[--QsinhbtT.)(< 下面分三种情况来分析,(:)是否为负值; 1.当>?时l 由于—}>o(率交中所有常数l口.,o,?,61,6l,K等全部为正数),exp[一at]为 一 衰减的正数函数(t>/o). 如果IsinbIT0>10则,(ij?KvD代入3.】3)l ,()?一Kvo即,(1<0. 当:sinb1T.<0记9(t)一—等expc—at'jsinb3,贝【j在f?[0,To)区间内g(f)至少有一个极值 点,而且第一个极值点是极大值点,该极大值为正数井且绝对值也一定是最大的,这一结论 只要分析一下日()是一个幅值不断衰减的振荡函数等性质即可证明,记f)的最大值为日(.) (.为第一个极值点,也是最大值点.)因为进行?2丁.区间求解的前提就是在 0??T.时,,()?,,因此有: 当{?【O,T.]时l,()一Kv口[1一o(t)]?Q 5o任文敏黄剑敏陈文 从而有g(t)?l及g(t0)?l, 由于Ig(T.)I<g(t.),即{g(T.)I<l,可见: ,(:)=Kvl—g(To)]<2Kv.,故: ,(:)=,(i,一2KtJ.<0,即: ,(:)<o 2.当?=o时l 显然2aTo?exp【一aT0]>o,,(:)<Kv.(当然,(丁:)?0),故' ,(:)=,(:)一2Kvo<0即,(71)<0 3.当?<口时' 由于—}exp'--aT.]sinhb2T0>0因此10?,(;)<Kv0,从而lVY ,(:)=f(T.)一2.<0,即,(71)<0 综上三种情况所述,总有,(To)<0 因此可以得出结论t当t=:时,冲击过程结束,弹性杆与梁分离,因此冲击力为 f.(1一署exp[一州sin6(>.,0《 ,(f)=2.(i一2.exp[一.])(仞暑口,0??.)j". (1一詈exp[一nf]8inh6?})(.<.,0? ,0(t>T.) 四,分析和讨论 分析本文的求解过程与结果可以得到以下结论- (1)本文的近似解能精确满足问题的边界条件,初值条件,弹性杆中的一维波动方程 (一维弹性渡沿特征线传播)及近似满足地基桨的运动方程(用伽辽金原理近似满足)故可 认为-本文解答能近似地反映实际的冲击力,同时冲击力公式显得十分简洁,因此,使用 十分方便. (2)冲击力,(t)取决于弹性杆的冲击初速度,杆,地基,粱的材料性质,几何尺寸, 粱的边界条件,初值条件,冲击处的位置. (3)冲击力的大小与弹性杆的初速成正比,冲击力大小与系数有关(=pc.A),但 与弹性枰长度无关,这说明冲击力大小与弹性杆的材料性能,截面尺寸有关,而与弹性杆的 nJ 质量无关,弹性杆的长度仅决定了冲击过程可能持续的最大持续时间tTo一,当然,也 0 有可船在t<71.时冲击过程巳结康,视具体情况而定. (4)在t=o时刻,冲击力达到第一峰值o,以后是否还出现峰值及峰值的大小视具 体情况而定. (5)在求解结果(3.15)式中,若令12->..,即o..则就可得到半无限长弹性杆与有 限长地基梁横向冲击情况时的解答,显然结果不变,只是71.o.面已. 有限长弹性杆与有限长弹性地基梁的横向冲击的冲击力近似公式$/E 五,结语 本文求解了有限长弹性杆与有限长地基梁的横向冲击同题,得出了冲击力的近似 公式, 并推广到了半无限长弹性杆时的情况,从本文的求解过程可知,该冲击力公式可以 近似反映 实际的冲击力,具有一定的工程应用价值. 参考文献 【1]R.W.克拉夫,丁彭津,《结构动力学》(王光远等译)科学出版社(1981). [2】S.Ranganath.Normalimpactofaninfiniteelastiebeambyasemi.infinte elastierod.Journalo|AppliedMechanics.Transaciionso|theAsME.SeriesE 38(2).(1971),455,460. 【3]S.RanganthandR.J.CIifton,Norrealimpactofaninfinteelastic-plastic beambyasemi-infiniteelasticrod,Infernalionalfournalo,SolidandSir~cfn, Fes.B.1.J(1972).41~47. 【4]小高忠勇,中原一郎.弹性棒己衡鬻}_;燕陧长I宣,0卮力.日本机械学会论文集 (第1部) (19o7).S33—641. [5]扬秀雯,粱立华,《数学物理方程与特殊函数》,天津大学出版社(1985). [6】扬挂通,张善元,《弹性动力学》.中国铁道出版社(1988). ApproximateFormulasofImpactForceforNormalImpact ofaFiniteElasticBeamonElastic FoundationbyaFiniteRod RenWenminHuangJianminChenWen (DepartraentofEngineerim7Mechanics,Qin(.Thua Universiig.Beljing100084,P.R.China) Abst~iznt Then0rma1impactfan—elasticinitiallystaticbeamoffinitelengthon8n e1asticfoundationby:afiniteelasticrodwithinitia[velocityisfn,~estigatedin thispaper.Theapproximateformulasfortheimpactforceareobtainedbythe Ga1erkinprinciple.Somediscussionsaremadeandcdnclusionsaredrawn. K.yworstsimpactforce.elasticwave,Galerkinprinciple