高中数学---椭圆知识点小结(想学知识的快点)

高中数学---椭圆知识点小结(想学知识的快点) -------------高中数学------------------------------椭圆部分---------------------------------2011年9月10日星期六----------------- 高二数学下学期椭圆知识点 1、椭圆的第一定义:平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数PFF12 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭P(PF，PF,2a,FF)1212 圆的焦距. 注意:若，则动点的轨迹为线段;若，则动点的轨PP(PF，PF,FF)(PF，PF,FF)FF1212121212 迹无图形. 2、椭圆的标准方程 22xy222 1)(当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:，其中; ，,1c,a,bx(a,b,0)22ab 22yx2222)(当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:，其中; ，,1c,a,by(a,b,0)22ab 22xy3、椭圆:的简单几何性质 ，,1(a,b,0)22ab 22xy(1)对称性:对于椭圆标准方程:是以轴、轴，,1yx(a,b,0)22ab 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 x,,a(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，y,,b ，。 所以椭圆上点的坐标满足x,ay,b (3)顶点:?椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。?椭圆22xy，,1与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，A(,a,0)A(a,0)(a,b,0)1222ab AA,2aBB,2b，。 ?线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。B(0,,b)B(0,b)AABB1212121212 b和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 a 2cce,,(4)离心率:?椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用示，记作。?因为e2aa 22b,a,c，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，eeca(a,c,0)(0,e,1) b因此椭圆越扁;反之，e越接近于0，c就越接近0，从而越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。 当且 22a,bc,0仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x，y,a。 22xy，,1 注意: 椭圆的图像中线段的几何特征(如下图): 22ab (PF，PF,2a) 12 PFPF12,,e; PMPM12 22a()PM，PM,;12c - 1 - -------------高中数学------------------------------椭圆部分---------------------------------2011年9月10日星期六----------------- 4、椭圆的令一个定义:到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有 PFPF12 ,,e PMPM12 2222xyyx5:椭圆 与 的区别和联系 ，,1，,1(a,b,0)2222abab 一( 轴) (焦点在y(焦点在轴) x 标准 2222xyyx方程 ，,1(a,b,0)，,1(a,b,0)2222abab 第一定义:平面内与两个定点，的距离的和等于定长(定长大于两定点FF12 间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。 ,,，，MMF，MF,2a2a,FF1212 yy M FM2 O OFF xx12 F1 定 义 第二定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是 小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭 圆的准线。 y y MM FM2 xFF 12x FM1 范 围 xa,yb,xb,ya, 顶点坐标 (,a,0)(0,),b(0,,a)(,0),b 2a2by对 称 轴 轴，轴;长轴长为，短轴长为 x O(0,0)对称中心 原点 焦点坐标 Fc(,0)Fc(,0),Fc(0,)Fc(0,), 1212 2 -------------高中数学------------------------------椭圆部分---------------------------------2011年9月10日星期六----------------- 22焦点在长轴上，; 焦距: FFc,2cab,,12 222cabc,2 () ,， 01,,ee,e,,2离 心 率 aaa 越大椭圆越扁，越小椭圆越圆。 ee 22aa ,,,,xycc准线方程 22a准线垂直于长轴，且在椭圆外;两准线间的距离: c 2a顶点()到准线()的距离为 ,aAAll2121c顶点到准 线的距离 2a顶点()到准线()的距离为 ，aAAll2121c 2a焦点()到准线()的距离为,c FFll1221c焦点到准 线的距离 2a，c焦点()到准线()的距离为 FFll1221c 椭圆上到最大距离为: ac， 焦点的最最小距离为: ac, 大(小)距相关应用:远日距离 ac， 离 近日距离ac, 22xy，,1与直线的位置关系: 椭圆ykxb,，22ab 22,xy，,1,22直线和椭利用转化为一元二次方程用判别式确定。 ab, ,圆的位置 ykxb,，, 22ABkxxxx,，，,1()4相交弦AB的弦长 1212 通径:AByy,, 21 过椭圆上yyxx00，,1 利用导数 xxyy0022一点的切，,1ab 利用导数 22ab线 PF,a，ey，10焦半径 PF,a，exPF,a,ex， 1020PF,a,ey 20 3 -------------高中数学------------------------------椭圆部分---------------------------------2011年9月10日星期六----------------- 椭 圆 1. 点P处的切线PT平分?PFF在点P处的外角. 12 2. PT平分?PFF在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除12 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 1 22xxyyxy005. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是，,1. ，,1Pxy(,)P00002222abab 22xy6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直，,1Pxy(,)121200022ab xxyy00线方程是，,1. 22ab 22xy7. 椭圆 (a,b,0)的左右焦点分别为F，F，点P为椭圆上任意一点，则椭圆，,1，,FPF,1 21222ab ,2的焦点角形的面积为Sb,tan. ,FPF122 22xy8. 椭圆，,1(a,b,0)的焦半径: 22ab ,( , ). ||MFaex,，||MFaex,,Fc(,0),Fc(,0)Mxy(,)10201200 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交 相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点M，1212 AP和AQ交于点N，则MF?NF. 21 222xyb，,1kk,,,11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M(x,y)为AB的中点，则， 00OMAB222aba2bx0K即,,。 AB2ay0 2222xxyyxyxy0000，,1Pxy(,)，,，12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 000222222ababab 2222xxyyxyxy00，,1Pxy(,)，,，13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 000222222ababab 推 导 22xy，,1Aa(,0),Aa(,0)1. 椭圆(a,b,o)的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P、12122ab 22xy,,1P时AP与AP交点的轨迹方程是. 2112222ab 22xy，,1Axy(,)2. 过椭圆 (a,0, b,0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C0022ab 4 -------------高中数学------------------------------椭圆部分---------------------------------2011年9月10日星期六----------------- 2bx0两点，则直线BC有定向且(常数). k,BC2ay0 22xy3. 若P为椭圆(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F, F是焦点, , ，,1，,PFF,1 21222ab ac,,,，则. tantco,，,PFF,21ac22， 22xy4. 设椭圆(a,b,0)的两个焦点为F、F,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在，,11222ab sin,c?PFF中，记, ,，则有. ，,FPF,，,PFF,，,FFP,,,e12121212，sinsina,, 22xy5. 若椭圆(a,b,0)的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当0,e?时，，,121,1222ab 可在椭圆上求一点P，使得PF是P到对应准线距离d与PF的比例中项. 12 22xy6. P为椭圆，,1(a,b,0)上任一点,F,F为二焦点，A为椭圆内一定点，则1222ab ,当且仅当三点共线时，等号成立. 2||||||2||aAFPAPFaAF,,，,，AFP,,2112 22()()xxyy,,007. 椭圆与直线有公共点的充要条件是，,1AxByC，，,022ab22222. AaBbAxByC，,，，()0022xy，,18. 已知椭圆(a,b,0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.(1)OPOQ,22ab22224abab111122S(;2)|OP|+|OQ|的最大值为(;3)的最小值是. ，,，,OPQ22222222ab，ab，||||OPOQab 22xy，,19. 过椭圆(a,b,0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平22ab ||PFe分线交x轴于P，则. ,||2MN 22xy，,110. 已知椭圆( a,b,0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相22ab 2222abab,,Px(,0),,,x交于点, 则. 00aa 22xy，,1，,FPF,11. 设P点是椭圆( a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点记，121222ab 22b,2Sb,tan,||||PFPF则(1).(2) . ,PFF1212,2，1cos 5 -------------高中数学------------------------------椭圆部分---------------------------------2011年9月10日星期六----------------- 22xy，,PAB,12. 设A、B是椭圆( a,b,0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ，,122ab22|cos|ab,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) ，,PBA,，,BPA,,||PA222,accos, 222ab2.(3) . ,,Scottantan1,,,,e,PAB22,ba 22xyl13. 已知椭圆( a,b,0)的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭EF，,122ab ClBCx,圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 6