高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1

n次方根的概念和性质 一、教学分析 分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。教学时，要让学生充分当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去理解。根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。 二、学情分析 学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其表示方法。然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。通过本节课的学习，不仅学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。 三、教学目标： （1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质 （2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，n次方根性质； （3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想； 四、教学重难点 重点：n次方根的概念和性质， 难点：n次方根的性质 五、教学过程 1.触景生情 问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到 。如果把我国2000年的GDP看成是1个单位，那么 （1）1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年的 倍； （2）2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000年的 倍； （3） 年后，设我国的GDP可望为2000年的 倍，则 ； 问题2 生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳14含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系： 。考古学家由此判断生物体死亡时间。（按照惯例，人们将生物体死亡时，每克组织的碳14含量作为1个单位） （1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P的值为原来的 . （2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P的值为原来的 . （3） 当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P的值为原来的 . 经济学中有数学 ，考古学中有数学 ，数学来源于生活，又作用于生活. 这里的两个问题都与本章我们要学习的“基本初等函数”之一的指数函数有关.要学习指数函数，我们要先掌握一些指数及指数幂的运算，而这些知识都以根式为基础。所以本节课我们来学习根式。 【意图】作为一章的起始课，重视编者精心打造的章引言，充分发挥它的价值，荷兰数学教育家弗莱登塔尔曾经说过；“数学是现实的，学生应从现实生活中学数学，再把学到的数学用到现实中去”．希望通过这一环节的设计，体会到数学与生活是密不可分的，激发学生探究分数指数幂的兴趣和欲望，为新知识学习作铺垫. 2.温故知新 问：如果已知一个正方形的面积为 ,那么它的边长是多少？集体回答：如果一个正方形的面积为 ,那么边长为 .问：如果已知一个正方体的体积为 ,那么它的棱长是多少？ 集体回：如果一个正方体的体积为 ,那么棱长为 。 问：这里的 是 的算术平方根， 是 的立方根。你还记得平方根、立方根的定义吗？ 单人回答：如果一个实数 满足 ，那么称 为 的平方根，也叫二次方根.例如 ，则 叫做 的平方根；如果一个实数 满足 ，那么称 为 的立方根，也叫三次方根.例如 ，则 叫做 的立方根. 3.借水行舟 探究1：n次方根的定义 问：类似地，由于 （板书在黑板的右边区域），我们可以把 叫做16的什么？ ，（板书在黑板的右边区域），我们可以把 叫做32的什么？ 集体回答： 叫做16的4次方根， 叫做32的5次方根. 问：一般的，若是 呢，我们可以把 叫做 的什么？（此时将 板书在黑板的左边，预留空白） 单人回答：如果一个实数 满足 ，那么 叫做 的 次方根. （此时将黑板左边预留的空白补充完整，先补充那么 叫做 的 次方根，再补充n的范围） 师补充： 。结合实例 EMBED Equation.DSMT4 ，如 取偶数4时， 则 叫做16的偶次方根；如 取奇数5时， ，则 是 的奇次方根。 并且，n取偶数4时, 和 的都是16的4次方根,而n取奇数5时，仅有2是32的5方根,由此，我们可以发现一个数的n次方根个数有什么样的差别呢？ 与n的奇偶性有关，需要分情况讨论. 结合实例进一步思考， 实例 ① ， ，② ， 类比立方根的情形，思考当n是奇数时，一个数的奇次方根有几个，如何表示？ 类比平方根的情形，思考当n是偶数时，一个数的偶次方根有几个，如何表示？ (1) 类比立方根的情形，当n是奇数时，一个数的奇次方根有几个？ 当 是奇数时， 的 次方根仅有一个，负数的 次方根是一个负数，正数的 次方根是一个正数。 类比立方根的情形，当n是奇数时，一个数的奇次方根可以如何表示？ 当 是奇数时，类比立方根的记号如 ，这时 的 次方根用符号 表示，其中 叫做根指数，且 ， (2) 类比平方根的情形，当n是偶数时，一个数的偶次方根有几个？ 当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数。负数没有偶次方根，因为根据n次方根的定义，需要找到一个实数 满足 ，且实数 为负数， 为偶数，此方程是无解的，即找不到满足定义的实数 。 类比平方根的情形，当n是偶数时，一个数的偶次方根可以如何表示？ 当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数，这时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示。正的 次方根和负的 次方根可以合并写成 ，如 。其中根指数 ，当 ，省略不写。 （3）0的n次方根呢？为什么？根据定义，0的任何次方根都是0。 是偶数时， ，即 具有双重非负性，这一性质在求值中有重要作用。 师补充总结：此处我们类比平方根和立方根的表示方法，运用分类讨论的数学思想，得到了一个数的 次方根的个数及表示。在表示过程中，引入了新的数学符号，即根式，式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数。 【设计意图】通过对平方根和立方根的类比分析，进一步感知n次方根的定义，通过表示一个数的n次方根，掌握分类的原则，从中类比分析，分类讨论的数学思想，提升解决问题的能力． 辨析：下列说法中正确的个数为（ ） （1）16的4次方根是2； （2）因为 ,所以 的运算结果为 ； （3） 的5次方根是 ； （4）当 为大于1的偶数时， 只有当 时才有意义； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 探究3：n次方根的性质 求一个数的 次方根的运算叫做开 次方，它与乘方 是多少互为逆运算.我们知道乘方运算有一些基本的运算性质，那么开 次方运算是否有一些的运算性质呢？请同学们完成导学案上的探究3，再小组讨论，通过这些练习，你能发现什么规律，并进行总结。 【设计意图】考虑到学生的基础，设计了如下问题让学生深入理解n次方根的概念，在培养观察归纳能力的同时，适当进行思辨论证． （1）① ② ③ 师： 为什么？生：直觉。或者类比 师：紧扣定义进行分析： 代表的意义是什么？ 生：是指 的5次方根，根据n次方根的定义，这个数应该满足方程 ，即 师：若将此推广到一般情形可以怎么表达呢？生： 师：上式中的字母有无限制？ 生： ，当根指数 是偶数时，被开方数 应为非负数，当根指数 是奇数时，被开方数 可为任意实数。 （2）① ③ ② ④ 师： 为什么？生1： 类比 生2：分析， 代表的意义是什么？是指 的4次方根，设 ，根据n次方根的定义，这个数应该满足方程 ，解方程得到 ，即原式为 。师：一般地情形呢？生：当 为大于 的奇数时， 。当 为大于 的偶数时， 。 师补充总结：由此我们得到了 的 次方根的两个重要性质。注意， 。此问题的结果需要分情况讨论， 为大于 的奇数时， ，当 为大于 的偶数时， 。 在研究过程中，我们从一些具体的实例出发，通过计算，观察规律，得到猜想，并紧扣 的 次方根的定义进行说明。从中也体现了研究数学问题的一般方法，即计算，观察，类比猜想，证明。 【设计意图】通过实例计算，进一步利用n次方根的定义，证明n次方根的相关性质，培养学生的抽象概括能力，培养学生研究数学问题的能力. 4.乘风破浪 例1.求下列各式的值 例2.化简下列各式 例3. 5.回头望月 师：通过本节课的学习，你有哪些收获？ （引导学生从知识点进行总结，最后给出本节课的知识体系，强调两个性质的区别及使用的） 生： 1.n次方根的定义，如果一个实数 满足 ，那么称 为 的 次方根. 2.n次方根的表示 n n是奇数 n是偶数 a的正负 a的n次方根 无意义 3.n次根式的性质 （1） （2）当 为大于 的奇数时， 。 当 为大于 的偶数时， 。 师：通过本节课的学习，你还有哪些收获？ （引导学生从数学思想方法上总结） 生：类比比平方根和立方根已有的知识，运用分类讨论的数学思想，体验了研究数学问题的一般方法，即计算，观察，类比猜想，证明。 师：数学知识是基础，数学方法是手段，数学思想是本源。问渠那得清如许，为有源头活水来，数学思想就是我们解决数学问题的源泉。N次方根和分数指数幂之间有什么关系呢？我们下次课一起来探究这些问题。 六、授课反思 我此次授课的课题为n次方根的概念及性质，是必修1第二章第一节分数指数幂的第一课时。教学环节如下:通过类比学生熟悉的平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，分n的奇偶性讨论一个数的n次方根的表示方法；结合具体实例，归纳n次方根性质。通过本节课的学习，要求学生能够掌握n次方根的概念和性质，体会基本的数学思想，如类比思想，分类讨论思想，整体思想等，感受研究数学问题的一般方法和思路。 总览整个教学过程，我注重了以下几个方面。 1.注重概念产生的背景，以人类生产生活中的实例引入，产生思维冲击——当幂指数是分数时的意义是什么？兴趣是最好的老师，这样的疑问自然为后面的教学奠定了基础，进而引出n次方根的概念探究。 2.关注学生对于数学概念的理解。虽然n次方根的两个性质学生都能归纳猜想得出，却难以说出其中的缘由。毕达哥拉斯曾说过，在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道。在本节课中，我不仅关注性质本身，更借此让学生思考为什么，从而深刻理解概念。 3.突出数学思想方法的渗透。如类比的数学思想，类比平方根和立方根的概念，理解n次方根的概念；分类讨论的数学思想，分n的奇偶性来表示一个数的n次根；从特殊到一般的数学思想，特殊例子中让学生观察规律得到一般结论；整体思想，将被开方式当作一个整体； 由于教学经验有限，教学之中也有一些不足之处。课堂上应充分调动学生的积极性，让学生借此机会展示自己。如最后的例题解答，是直接选用的小组代表的作品。课后我认为应该鼓励学生自愿地上台通过投影仪展示自己的作品，同时阐述自己的解答思路，此外还可让其他学生进行补充，如此，通过学生的思维碰撞，例题的教学效果更佳。 _1234567918.unknown _1234567920.unknown _1234567921.unknown _1234567922.unknown _1234567923.unknown _1234567925.unknown _1234567926.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567929.unknown _1234567930.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567933.unknown _1234567934.unknown _1234567935.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567941.unknown _1234567950.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567953.unknown _1234567954.unknown _1234567955.unknown _1489168357.unknown _1489168368.unknown _1489168378.unknown _1489168384.unknown _1489168405.unknown _1489168425.unknown _1489168433.unknown _1489390633.unknown _1489390657.unknown _1489390741.unknown _1489390753.unknown _1489412898.unknown _1489412957.unknown _1489412988.unknown _1489413038.unknown _1489413077.unknown _1489413097.unknown _1489414927.unknown _1489415083.unknown _1489415196.unknown _1489415239.unknown _1489415245.unknown _1489415258.unknown _1489416113.unknown _1489416475.unknown _1489416501.unknown _1489416542.unknown _1489416783.unknown _1489416808.unknown _1489416871.unknown _1489417207.unknown _1489417248.unknown _1489417487.unknown _1489601616.unknown _1489601831.unknown _1489602252.unknown _1489602285.unknown _1489772265.unknown _1489773875.unknown _1489773921.unknown _1489773969.unknown _1489774020.unknown _1489775404.unknown _1489775816.unknown _1489781882.unknown _1489781983.unknown _1489782061.unknown _1489782393.unknown _1489782426.unknown _1489782453.unknown _1489782465.unknown _1489782524.unknown _1489782546.unknown _1489782559.unknown _1489783021.unknown _1489784246.unknown _1489784346.unknown _1489947824.unknown _1489947859.unknown _1489947898.unknown _1489948496.unknown _1489948600.unknown _1489948626.unknown _1489948650.unknown _1489948697.unknown _1489953631.unknown _1489954088.unknown _1489954117.unknown _1489996477.unknown _1489996478.unknown _1489996479.unknown _1489996480.unknown _1489996481.unknown _1492442994.unknown _1492809932.unknown _1492809933.unknown _1492809934.unknown _1492809935.unknown _1492809936.unknown _1492809937.unknown _1492809938.unknown _1492809939.unknown _1492809940.unknown _1492809942.unknown _1492809943.unknown _1492809944.unknown _1492809945.unknown _1492809946.unknown _1492809947.unknown _1492809948.unknown _1492809949.unknown _1492809950.unknown _1492809951.unknown _1492809952.unknown _1492809953.unknown _1492809954.unknown _1492809955.unknown _1492809956.unknown _1492809957.unknown _1492809958.unknown _1492809959.unknown _1492810196.unknown