五一保险费的制定问题

保险费的制定问题 摘要 本文根据 1.问题的重述 保险公司根据交通事故的发生对保险费收取的预测对公司很重要。某保险公司规定：这一年内,若客户没有要求赔偿，则给予额外补助。所有参保人被分为0,1,2,3四类。类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费时,新客户属于0类，在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。 现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，控制交通事故的死亡率，使得医药费将有所下降。希望保险公司减少保险费的数额，从而更好地体现社会主义保险事业利国利民的性质。保险公司根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为,医疗费会减少20%到40%。假设当前年度该保险公司的统计如下表1和表2。 （1） 建立数学模型分析是否可以降低保险费,并以表1和表2的数据为例，验证你的方法。 （2） 在给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。 表1 本年度发放的保险单数 类 别 没有索赔时 补贴比例(%) 续保人数 新投保人数 注销人数 总投保人数 0 0 1280708 384620 18264 1665328 1 25 1764897 1 28240 1764898 2 40 1154461 0 13857 1154461 3 50 8760058 0 324114 8760058 基本保险费：775元；总收入：6182百万元，偿还退回：70百万元，净收入：6112百万元；支出：149百万元，索赔支出：6093百万元，超支：130百万元。 表2 本年度的索赔款 类别 索赔人数 死亡司机人数 死亡率 平均修理费 程度(元) 平均医疗费 (元) 平均赔偿费 (元) 受伤司机人数 0 582756 11652 0.0199(0.0204) 1020 1526 3195 571104 1 582463 23315 0.0400(0.041) 1223 1231 3886 559148 2 115857 2292 0.0198(0.0201) 947 823 2941 113565 3 700872 7013 0.0100(0.01) 805 814 2321 693859 总修理费：1981百万元，总医疗费：2218百万元， 总死亡赔偿费：1894百万元，总索赔费:6093百万元。 2.模型的假设与符号说明 2.1 模型的假设 （1） 无特殊情况，新客户都属于0类，在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。 （2） 一年内客户索赔偿次数平均为1次； （3） 根据统计知识，在正常情况下，发生事故率不变； （4） 实施新法后，赔偿费用中，除了医疗费用会下降，其他费用不变； （5） 影响保险费的次要因素忽略，包括物价水平、行业竞争、公司内部变动等； （6） 题目提供的相关统计数据和信息真实可行。 2.2 符号说明 t表示当年，t-1表示上一年； n(t)表示当年新投保人数； i表示投保人的级数，i=0,1,2,3； ni(t)表示当年第i级的续保人数； Ni(t)表示当年第i级的总投保人数； x表示保险费用； bi表示第i级客户的补贴比例； αi表示第i级客户交通事故发生率； k1表示每年新增保险人数系数； k2表示老客户续保系数； 其他局部符号在引用时将给出具体说明。 3模型的建立与求解 3,.1模型的建立分析 保险公司作为企业追求的是最大利润值。现实生活中，保险费越高，投保人数就相应减少，因此，保险公司要根据索赔费、支出等通过数据分析，预测出适当的保险费。 通过上述分析，可以得出公司与客户之间的函数关系： Y= S- C - T - P 式中Y为公司总利润；S表示为公司总收入；C为公司开支费用；T为退还偿还款；P表示赔偿费。 3.1.1公司开支费用C的计算： C=149+[n(t)-n(t-1)]*K+∑[ni (t) - ni (t-1)]*J 其中K为新投保的费用，J为续保人的费用，K=5J。相关资料查得J=149/[∑Ni(t)+5*n(t-1)exp{-k1*x}] 3.1.2公司退还偿还费用T的计算： T=∑Ni（t）*ν *φ* x ν表示总投保人数注销比例；φ表示为退还保险的适当百分比。 3.1.3公司赔偿费P的计算： P=X +H+W X 表示修理费，X=∑ xi*Ni(t)*α i H 表示医疗费，H=∑ yi*Ni (t)*(αi-λi) W表示死亡赔偿费，W=∑ wi*Ni(t)*λi P=∑ xi*Ni(t)*α i+∑ yi*Ni(t) *(αi-λ)+∑ wi*Ni(t)*λ 式中xi为第i级客户平均修理费，yi为第i级客户平均医疗费，wi为第i级死亡客户赔偿费，λi为第i级客户死亡率。 3.1.4总收入S的计算： 由题意分析，统计规律得新投保人数和续保人数的变化关系如下： n（t)=n(t-1) =n(t-1)*exp{-k1*x} ni（t)=ni(t-1) =ni(t-1)*exp{-k2*x} 再根据客户续保与索赔时的级别升降关系，得出各级总投保人数的变化关如下： N0(t)=n(t-1)*exp{-k1*x}+ ni(t-1)*αi*exp{-k2*x} N1(t)=n0(t-1)*(1-α0)*exp{-k2*x}+n3(t-1)*α3*exp{-k2*x} N2(t)=n1(t-1)*(1-α1)*exp{-k2*x} N3(t)=n2(t-1)*(1-α2)*exp{-k2*x} S=n(t)*x+∑ni(t)*x*(1-bi) 3.1.5各项系数的参考值列表 类别 索赔率αi 死亡率λi 注销比例vi 补贴比例bi 0 0.34993466752 0.01999464613 0.010967208862 0 1 0.33002643779 0.040028293643 0.016000924699 0.25 2 0.10035592367 0.019783008364 0.012003003999 0.4 3 0.080007689447 0.010006106679 0.036999070097 0.5 其中J=9.75907*10 ，K=4.87954*10 . 3.2模型的求解 3.2.1模型的方程 根据上述分析，可以求解模型： max Y== S- C - T - P 具体计算如下： S=n(t)x+∑ni(t)x(1-bi) C=149+[n(t)-n(t-1)]*K+∑[ni (t) - ni (t-1)]*J T=∑Ni（t）*ν *φ* x P=∑ xi*Ni(t)*α +∑ yi*Ni (t)*(α-λ)+∑ wi*Ni(t)*λi n（t)=n(t-1) =n(t-1)exp{-k1*x} ni（t)=ni(t-1) =ni(t-1)exp{-k2*x} N0(t)=n(t-1)exp{-k1*x}+ ni(t-1)*αexp{-k2*x} N1(t)=n0(t-1)*(1-α)*exp{-k2*x}+n3(t-1)*αexp{-k2*x} N2(t)=n1(t-1)*(1-α)*exp{-k2*x} N3(t)=n2(t-1)*(1-α)*exp{-k2*x} 3.2.2模型数据分析 5 _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567897.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown