弧度制教案

1 1.1.2 弧度制 整体设计 1、​ 与内容解析 本节课是普通高中实验教科人教A版必修4第一章第一单元第二节《1.1.2 弧度制》。现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的 ,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础. 通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透中普遍存在、相互联系、相互转化的观点. 2、​ 目标与目标解析 目标 （1）弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数； 　　 （2）掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算. 　　 （3）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系； 　　 （4）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式； 　　 （5）会利用弧度解决某些实际问题。 目标解析（1）通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制. （2）通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣. 三、 教学问题诊断分析 （1）要弄清1弧度的意义。弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关。其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单：   （2）弧度与角度之间的关系对不少学生也是一个难点。通过讲实例来讲述1弧度的含义，这样便于学生概念的理解，通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法是否具有优越性； （3）关于弧度与角度二者的换算也是一个重点，教学时应抓住：弧度  弧度,这个关键，来引导学生。 （4）老师应让学生知道，无论是利用角度制还是弧度制，都能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式，但利用弧度制来推导要简单中些．刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中，通过逐个提出的相关问题，让学生在讨论后加以总结。 3、​ 教学支持条件分析 （1）学生已经学习了角度制表示角的方法，知道很多量都有多种单位制，角的单位有另一种表示方法乐于接受，关键是引入要合理 （2）创设情境，引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握1弧度的角的定义,领会定义的合理性. （3）根据弧度的定义，探究求圆心角的弧度数的方法，同时，探究角度制与弧度制的换算，经历弧度制的探索概况过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法； （4）以具体的实例学习角度制与弧度制的互化。 （5）通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概况的解决问题的方法，提高为题解决的能力。 1课时 教学过程 1、设置情境 在角度制下，把两个带着度分秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难，那么我们能否重新选择角单位，使在该单位下两角的加减运算与常规的十进制加减一样去做呢？本节课就是来尝试这种新的单位 2、复习旧知 思考1:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢? 将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角. 思考 2：在半径为r的圆中,圆心角n0所对的圆弧长如何计算？ 思考3：我们以前是学过角的单位是度，我们把这种度量角的单位叫做角度制。那是否存在第二种单位制来度量角呢？ 设计意图：通过复习旧知，引出新知。类比地提出问题，引起学生兴趣和思考，让学生意识到可以用不同的单位制来度量同一量，理解角度制和弧度制都是度量角的方法，自然引入弧度制。 3、探究新知 （一）动手操作，探究弧度制 老--引导学生画两个圆心半径分别是1、2不同的圆，在两个圆中分别作一个 得圆心角，求出对应弧长，然后分别求比值 ,试发现这两个比值有何关系？ 得出结论：圆心角不变，则比值不变，即一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值是确定的，与半径大小无关。 师——比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制。用投影仪给出弧度的定义、符号、读法，引出弧度制。 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧 的长等于半径 ， 所对的圆心角 就是1弧度的角，弧度制的单位符号是 ，读作弧度． 图1 师—— 的弧度数=1rad 观察图1，思考: 的弧度数 = ? 若把图1的改为半径2， 的长等于2， 还是1弧度的角吗？ 生——回答。 师——正确评价。投影仪给出这种用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制。这样角还可以用弧度制来表示。 设计意图：引导学生动手操作直观感知同一个圆心角所对应的弧长与半径的比值是不 探究：观察几何画板上的圆弧长、半径、角度、圆弧和半径的比值之间，哪些量是变化的？哪些量是不变的？理解弧度的意义，突破了难点，培养了学生的动手操作能力和探索精神，形成良好的思维习惯。 （二）、观察图形，探究角度与弧度的换算 1、圆心角的弧度数 师——投影仪出示：如图,半径为 的圆的圆心与原点重合,角 的终边与 轴的正半轴重合,交圆于点 ,终边与圆交于点 .请完成表格. 弧 的长 旋转的方向 的弧度数 的度数 逆时针方向 逆时针方向 - 生——完成填空。（老师巡视辅导） 师——评讲填空，点明：角有正、负、零角之分，它的弧度数也应该有正、负、零弧度之分。 师生——归纳结果 ：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。 师——观察图形与填空题，投影仪出示：一个半径为r的圆心角a所对的弧长l，那么角a的弧度数是多少？ 生——互相讨论 师生——归纳结果：角 a 的弧度数的绝对值是 。（a的正负值由角a的终边的旋转方向决定） 2、角度与弧度的换算公式 师——引导学生观图及填空题，完成下列填空 周角＝________度， 周角＝_________弧度。 生——完成填空 师生——推导 ＝2πrad 即 ＝πrad 师——出示填空 ＝_________rad， 1rad＝_________度。 生——完成填空 师生——得出结论：（1） ＝ ≈0．01745rad （2）1rad＝（ ）°≈57.30°＝57° 师——注意：今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad的角，sin 就表示 rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别，不必把π写成小数，如45°＝ rad ，不必写成45°＝0．785弧度． 设计意图：根据弧度的定义，探究求圆心角的弧度数的方法，同时，探究角度制与弧度制的换算关系，培养学生观察归纳的能力、数形结合的能力、抽象概括能力、语言表达能力，并且渗透由特殊到一般的探究方法，增强学生学习数学的自信心 4、角度与弧度换算的运用 师—分析解决例题4，板演解题过程 分析（1）直接用80乘以 （2）把- 首先化为（- ）0， 然后乘以 生——完成P66第一题，（抽3个学生板演） 师——评讲所做的练习 生——阅读例5，并完成P66练习第2题，（抽3个学生板演） 师——评讲学生所做的练习 生——完成下图练习（投影仪出示） 度 0° 45° 90° 270° 弧度 π 2π 师——评讲。特殊角的弧度数，同学们要熟记，免得每次遇到都要去进行换算,在p65页． 设计意图：对角度制和弧度制进行换算，运用新学知识解决实际问题，培养学生良好的书写习惯。通过自主学习，让学生体验到运用所学知识独立解决问题的成功喜悦。观察特殊角的弧度数，发现弧度制的优点，增加学习新知的兴趣 5、弧度制与实数、角度制之间的关系 ①、在弧度制下, 角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？ 正角的弧度数 正数 负角的弧度数 负数 零角的弧度数 零 ②、角度制与弧度制有什么区别？ 设计意图：在教师的指导下，由学生对本节课所学内容进行归纳，抓住要点内容，再一次明确重点、难点，形成知识体系，加强对新知识的掌握。 6、尝试小结 师——提出问题 ：（投影仪出示）（1）这节课主要学习了什么内容？有何收获？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方？ （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 生——互相讨论、交流，回答 师生——共同总结。 （投影仪出示） （1）长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1 ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。 这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制． （2）180°＝πrad， 1°＝ ≈0．01745rad， 1rad＝（ ）°≈57.30°＝57°18’。 “角化弧”时，将 乘以 ；“弧化角”时，将 乘以 （3）角的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径，a的正负值由角a的终边的旋转方向决定）。 7、作业布置（投影仪出示） 1、​ 作业册P28 二2、3、5。 设计意图: 通过作业，内化知识，检验学生掌握知识的情况，发现和弥补教与学中的遗漏与不足。 用所学知识解决生活实际问题，调动学生学习的积极性，将知识变为技能。