用半拉格朗日ENO和WENO格式解Vlasov方程

第35卷第6期 中国科学技术大学学报 V01．35，No．6 2005年12月JOURNALOFUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYOFCHINADec．2005 文章编号：0253—2778(2005)06—0759-11 用半拉格朗日ENo和WENO 格式解Vlasov方程 张瑞，刘儒勋 (中国科学技术大学数学系，安徽合肥230026) 摘要：借鉴ENO和WENO格式的活动模板选择的思想，构造了一种新的semi— Lagrange类格式，并且用它计算了Vlasov方程．该格式在空间插值函数的构造上，并 不使用固定的模板来构造插值函数，而是利用Newton差商来选取不同的模板，以达 到对振荡的抑制作用．算例表明，该格式对振荡具有很好的抑制作用，同时又具有 semi—Lagrange类格式的可以用大CFL条件的特点．该格式对Vlasov方程的计算结 果也是令人满意的． 关键词：Vlasov方程；semi-Lagrange格式；EN0；WENO；活动模板 中图分类号：0241．82 文献标识码：A 邶SubjectClassification(2000)：78M20 O引言 Vlasov方程描述了粒子系统在电磁场的运动．未知量f(t，X，y)表示粒子(离子，电子 等)在相空间上的分布函数，依赖于时间t，空间X和速度，，，它可以用于研究无碰撞离子和 带电粒子束的传播． 对Vlasov方程的数值模拟一直采用Lagrange类的方法，如PIC(particleincell)方法 就是用有限个点来近似离子的运动[1]．这些点的运动轨迹由Vlasov方程的特征线给出的， 而自一致域(sel}consistent)的计算是基于物理空间网格上粒子的电荷量和当前密度[21．虽 然该方法用很少的粒子就可以获得很满意的效果，但是该方法也有一个著名的缺陷：在某 些情况下，粒子方法固有的数值噪声会极大的影响粒子分布函数的精确描述，而分布函数 在带电粒子束的描述中扮演着重要的角色．当粒子的数目N增长时，这种数值噪声以 1／V-Ⅳ增长． 为了克服这个问，已经提出了在相空间网格上离散Vlasov方程的方法．这些方法包 括Euler类的方法，如有限元方法[3’4]．虽然考虑到了复杂的边界，但是这些方法不是守恒 的，而且要解一个大的质量矩阵，这使得其往多维的推广产生了困难．还有就是Fourier- 收穗日期：2004-02-16；修回日期：2004—10-17 基金项目：国家自然科学基金资助项目(10371118，90411009)，北京计算物理所基金资助项目． 作者简介：张瑞，男，1977年生，硕士生．研究方向：计算流体力学．E-mail：rui@ust己edu．cn 万方数据 760 中国科学技术大学学报 第35卷 Fourier谱方法[5’6]，Klimas和Farell用时间方法，在每一步用向前和向后Fourier传输。适 用于周期边界条件．但是对于非周期边界条件，Gibbs振荡会影响分布函数．还有有限体积 类的方法，如流平衡方法FBM(fluxbalancemethod)，该方法用分布函数在网格上的积分平 均作为未知量，是守恒的格式．该方法最初由Boris和Book[7]介绍，Fbalkowl：8]发展了它． 在该方法中，重构分布函数的方法不是正定的，会带来一些麻烦．PPM[9](piecewisepara- bolicmethod)和VL[10](Van-Leer-limited)方法在重构分布函数时用限制器来获得单调、正 定的格式．在文献E11]中，Filber等使用类似的限制器在FBM方法上，构造了PFC(posi- tivefluxconservative)格式．该格式具有3阶精度，是正则的，但不是单调的．这些方法在 限制器作用区域都耗散且只有一阶精度，在其他区域都有较高的精度．在文献[12]中，详细 比较了这些基于Euler网格的Vlasov算子． 还有一类方法是semi-Lagrange类的方法．Cheng和Knorr[13]首先在特殊的情况下介 绍了该方法．它使用时间分裂方法和3次样条多项式．在一些研究粒子物理的论文中很快地 应用了这一算法[14]．Sonnendrficker[15]等将它推广到更一般的情况．BesseEl6]等在无结构网 格上构造了semi—I。agrange格式的Vlasov算子，可以用于复杂的边界条件．还有一类有名 的semi-Lagrange类的方法是CIP方法口7J．该方法在空间上使用Hermite插值，并且空间 导数和分布函数一同沿着特征线运动． 在论文中，我们给出了一种新的semi—Lagrange类的格式来解Vlasov方程．注意到 ENO和WENOEl8,19]格式具有高精度、无振荡的效果，在semi-Lagrange格式的插值步中引 入了他们的思想，利用Newton差商来选择不同的模板构造插值多项式，提出了SL-ENO和 SL-WENO格式，并且用他们计算了1维和2维Vlasov方程的几个例子．从结果上看，格式 在保持了高精度和无振荡的同时，还具有了semi—Lagrange类格式的大时间步长的特性，效 果还是令人满意的，并且SL-WENO格式比SL-ENO格式，具有更好的效果． 1 Vlasov方程 相空间(工，'，)∈掣×掣，d一1，2，3上的粒子密度函数f(t，x，1，)的运动由Vlasov方程 决定， 甏+'，·V．f+F(t，x，V)·V∥一0， (1) 力场F(t，x，1，)同分布函数，共同构成了一个非线性的系统．联系分布函数，和力场F的纽 带是电荷密度ID和当前密度歹， r 广 lD(￡，x)一gJ一，(￡，x，1，)dl，，j(t，x)一gj∥yf(t，x，l，)du 两个著名模型Vlasov-Poisson(VP)和Vlasov-Maxwell(VM)是描述带电粒子在自一致 (self-consistent)电磁场的运动．对于VP系统，力场的表达式为 F(t，工，'，)一旦E(f，x)，E(t，z)一一V，乒(￡，x)，一so△庐(￡，x)一p(t，工)． 对于VM系统，力场是Lorentz力， F(t，x，y)一q(E(t，工)+v×B(t，x))． 万方数据 第6期 用半拉格朗日ENO和WENO格式解Vlasov方程 761 这里q表示单个粒子的带电量，m表示单个粒子的质量，E和B是Maxwell方程的解． 对于Vlasov方程，如果初值^(卫，v)是正的，那么对于任意的t≥0，f(t，X，，，)也是正 的．注意到div，F(t，x，'，)一0，那么如果厂足够光滑，则对任意函数p∈C1(R十，时)， 7 j影×∥fl(f(t，工，1，))dxdv—const，Yt≥0， 特剔，其所有L声范数，l≤夕<0<9，都不变．另外，如果取伏r)一rln(r)，则可以得到Kin鼬ic Entropy守恒性， H(￡)一J一划厂(∽,v)ln(f(t，x,v))dxdV，V￡>0· 下面，将Vlasov方程乘以Il，I2，分部积分后，可以得到能量守恒性．对于VP系统， 号j一×∥，(f，工，y)}l，I2dxdy+詈J彰IE(￡，z>}2dx=COnSt，Vt>o． 对于VM系统， 詈J．∥捌弛，剐小I2curdV+eoL皿丝旺掣dx=const, Vt>O，eo胁c2一1． 另外，还可以得到质量和冲量守恒， r ，1、 J影疵，(∽，V’(1，)dvdx=const，Yt>0· 若a(t，工，'，)一(1，，F(t，X，'，))T足够光滑(Lipschitz连续)，则我们可以定义特征曲线 屯(z，'，)一(x(s，x，'，；f)，V(s，X，1，；￡))为常微分方程组 面dX(s，工，'，；￡)一y(s，工，1，；f)， 詈‰训力一心，矾幽Ⅲw㈦M∽) X(s，X，'，；s)一x，V(s，工，'，；s)一，， (2) 的解．其中，(X(s，X，y；￡)，V(s，x，'，；t))表示在相空间上沿特征线在时间s，运动到端点 (x，l，)的时间t上的点．因此，有 f(t，X，y)一f(s，X(s，x，v；s)，V(￡，X，'，；s))， (3) 即分布函数厂沿着特征瞳线为常数． 注意到，对于Vlasov方程，有div(¨a一0，因此，Vlasov方程又可以写为守恒形式 3， 芒+div(川(∥)=0，V(￡，X，y)∈R+×掣×犁．(4) 2 SL-ENO和SL-WENO格式 本节给出的数值格式不同于大多数传统的Euler类格式，它不受CFL条件的限制． 论文用分数步法离散整个方程，这样就可以在各自独立的相空间上计算特征线．我们可 以用经典的(如Euler或Runge-Kutta)方法解常微分方程．考虑如下的无量纲化的Vlasov 方程 、●●●●●●●●●、，●●●●●J ， 万方数据 762 中国科学技术大学学报 第35卷 Of(tj,．x,v)．+1，．v，fq-E(t，x)．V，f一0． (5) Cheng和Knorr在文献E13]中介绍了在时间上具有2阶精度的分裂格式如下： (i)在物理空间，解如下方程半个时间步at／2， 巡等盟+'，．v，f一0；1． ’^ 【，L ＼ (il)解电场的Poisson方程，得到E(x，￡)， 一∥一lD—J∥f(x，'，)山， E@)一一V，声； (iii)在速度空间，解如下方程一个时间步△，掣+酌∽·V，f一0； (iV)在物理空间，解如下方程另外半个时间步△／2，掣+'，．v。f一0．af ’‘ 。 2．1数值方法介绍 利用分数步法，Vlasov方程被分解成了3个对流阶段．每个对流阶段解的是一个对流 方程．考虑一维对流方程 誓+乱鬈一0， (6) 沿着特征线c：害一“有鬈=o，因此，厂(zi，￡外1)的值可以通过厂(z’，护)的值得到，其中 (z’，矿)为沿特征线运动到点(zi，∥)的矿层上的点(称为分离点)．步骤如下： (I)解如下方程求分离点o。，护)， 面dx一“(蹦)，|- (7)面一纵奶纠’l (71 z(￡州)一Xi．J (Ⅱ)在t”层求f(x。，矿)，通常要作插值． 对于方程(7)，可以用简单的一阶格式， z+一zi—uAt， (8) 而∥层上的插值，我们采用WENO的思想，构造一个高阶无振荡的格式． 在ENO格式中，利用可调节模板，尽量在所选择的模板中不包含间断，这样来抑制非 物理振荡．这里，我们借鉴这种活动模板的做法，在构造插值函数时，尽量避免在模板中包含 间断．下面以3阶为例，简单叙述我们的格式． 记{五，i=1，⋯，咒)为网格分割点，且为等距分割，Ji—Ixi，z讯]为网格单元，则在单 元ji上做3次多项式插值函数，可以有如下的几种： (i)以{Xi，z斗l，z妣，z邺)为插值节点时，设插值函数 ^(0一以i￡3十bie2+cte十五， 万方数据 第6期 用半拉格朗日ENO和wENO格式解Vlasov方程 763 f，(1)一A，， 其中，e一(z—zi)／6，则由．{，(2)一几， If(3)一^， 易得 n}”一(一五+3A-一3山+角)／6，1 巧"一(2五一5Az+4几一山)／2，> (9) c}"一(一11五+18山一9f；+2+2山)／6．J、 (ii)当以(z卜，，Xi，zm，z舯)为插值节点时，可得系数为 n}2’=(一^1+3fi一3A，+山)／6，1 6}∞一(厂卜l一2五十^1)／2， > (10) f；2’一(一2丘1—3f,+6A1一凡)／6．J (jii)当以(z越，．27-，，37i，z州)为插值节点时，可得系数为 以；3’一(一／0z+3厶-一3^+^，)／6，1 6}3’一(丘1—2^+A1)／2，> (11) c}3’一(扛2—6^1+3f,+2厂件1)／6．J 借用ENO的活动模板思想，对于区间ji，引入0阶差商为 尢扫一^； 1阶差商为 fEi，i+13一皿掣瑚； z／-bl——JJi k阶差商为 尢i，iq--1，⋯，汁忌]一正型￡蔓丝l=Ⅱ丛生删． o许t—zi 利用比较差商绝对值的大小，可以进行模板选择．在区间Ji上的插值函数，首先确定模板为 Sl一{zi，zj+1)， 此时格式只有一阶精度．若要提高方法的精度，需要扩充模板．再扩展一个节点，则模板S2 有两种选择， ． fSlU{z卜1}， 境一Is，U{z啪)． 即向右，还是向左扩充一个点．此时需要利用左右斜率(Newton差商)绝对值的大小进行选 取．如果I尢i一1，i，i+1]l≤IfEi，i+1，i+2]I，则增加节点z卜1，即 S2一S1U(X／--1}， 否则 S2一S1U(z啪)． 依次类推． WENO方法是在ENO方法得基础上发展起来的．它利用模板的凸组合而不是选择某 一种模板，来构造插值函数，从而可以充分利用已得的计算结果．这里我们直接用WENO 格式的系数．记由式(9)，(10)，(1j)所确定的插值多项式分别为∥”(9，矗2’(0，■3’(◇，则 取J；上的插值多项式为 万方数据 764 中国科学技术大学学报 第35卷 其中， ^(0一嘶∥”(0+吨一2’(0+咄矗3’(0． 一轰隅一丽dr’r=1，2，3’ dt一熹，dz一詈，ds一而1， 届一西13(^一2A。+凡)z，+丢(3五一4^+凡)2 岛一篙(丘，一2五+～)2+丢(矗，一加)2， 岛一豆13(Az-2f一_，+五)2+{(几一4矗-+3^)2 3算例 本节中，我们给出几个粒子物理中带电粒子束传播的算例． 考虑一维VP系统 )掣：0， d可 口)dv一1． (12) (13) 、(14) (15) 3．1 线性Landaudamping 初值为 j 1 ／ 。上、 f(0，z，口)一—兰exp(—≠)(1+acos(kx))，V(z，口)∈[o，L]×R(16) √Z7r 、 。 7 取扰动强度口一0．01；L一4，r；k一0．5；"的计算区间为[一‰，‰]，取"0ma。一4．0，在之 外的部分近似分布函数为o；时间步长取为△=1／8；z方向的网格数为N。，u方向的网格 数为N。．根据Landau的理论，电力场的相速度为％一2．8312，且粒子都处在分布函数的 尾部，因此，用一些粒子追踪类的方法，如PIC方法，就很难解决这样的问题． 图1(a)给出了M一32，M一32时，电力场E的振幅随时间的变化．根据Landau的理 论，E随时间以指数形式衰减，在大约TR一2,r／(忌△印)一48．7位置出现循环效果．衰减率y 和振荡的频率CO分别为0．1553和1．4211，与理论值0．1533和1．4156非常接近． 图1(b)还给出了当口方向的网格减少时，格式的计算效果．取M=16，X方向的网格 数仍为N。一32．从图可以看出，即使在如此粗的网格，Landau衰减仍然可以清楚的计算出 来．此时的7和∞分别为0．1236和1．4436． 3．2强非线性Landaudamping 初值条件仍为式(16)，不过取扰动强度口一0．5，L一47r，k=0．5，口的计算区间为 [一乞『础，t『勰]，取‰。=5．0．此时，电力场对粒子密度有很强的调制效果．由于菲线性影响 、，●●●●●●●●●●●L，，●●●●●，，●J 以弹磊 恐丝如一吖 叫 西 拳矿 + 氏 拍～k和～等 万方数据 第6期 用半拉格朗日ENO和WENO格式解Vlasov方程 765 太强，因此先前的理论不再适用．在第一阶段，E以指数形式衰减；在第二阶段，E做周期 的振荡．首先，电波给粒子能量，导致第一阶段E的衰减；然后，随着初值条件的混合和那些 Kinetic能量小于势能的粒子被静电波捕获，一些小的碰撞就产生了，这些被截留的电子以 与E同样的频率振荡．图2给出了SL-ENO和SL-WENO的计算结果，图中可以明确地看 到这种现象． ·2·5 -3 _4 嚣 显。 胃 -6 —7 -2·5 -3 _4 嚣 喜。5 ．6 ．7 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 t f (a)meshsizeis32×16(b)meshsizeis32×32 图1线性Landaudamping问题的电力场E(k一0．5，￡)的变化 №1 EvolutionofE(k=0．5，z)oftheelectricfieldoflinearLandaudamping，solidlineis theresultof趾刚Oscheme。anddottedlineiStheresultofsL-WENOscheme 0 20 f 40 60 0 20 f 40 60 (a)meshsizeis32×256withSL-ENOscheme(b)meshsizeis32X128，withSL-WENOscheme 图2非线性Landaudamping问题的电力场E(k=0．5，￡)的变化 Fig．2EvolutionofE(k一0．5，z)oftheelectricfieldforthestrongnonlinearLandaudamping 3．3二流不稳定性 初始条件为 f(0，驯)一去2eXp(孚)(1+㈣s(妇))'V(训)“0'L]xR 取口=0．05；L一4玎；是一0．5；口的计算区间为[一‰，‰]，取‰一6．0，在之外的部分 ● o o 乏 o" S叶。等 ，．． ● O o 乏 o 5 S．。卫i o 万方数据 766 中国科学技术大学学报 第35卷 近似分布函数为0；时间步长取为△一1／8；网格剖分为32X128，计算到时间t=100． 图3给出了SL-WENO格式的计算效果．图中显示的时相空间上分布函数f的变化． 在时间t一10处，可以观察到由于捕获粒子所产生的漩涡(参见图3(b))；从t一10直到 t一20，不稳定性快速增长，并且产生了一个洞(参见图3(b)，图3(c)，图3(d))；t一20后， 被捕获的粒子在静电力场振荡，漩涡呈现周期性的旋转(参见图3(d)，图3(e)，图3(f))． 一10 石 一5 (a)￡一0 —10 J 一5 (b)f一10 —10 』 一5 (d)￡一20 —10 x ’5 ·lO x 。5 (e)f：50 (f)t=100 图3用SbWENO格式解二流不稳定性问题得到的相空间分布函数f的等值线图，网格32X128 Fig．3Evolutionofdistributionfunctionfinphasespace，withSL-WENOschemeandmesh size32X128，inthecaseoftwo-streaminstability 万方数据 第6期 用半拉格朗日ENO和WENO格式解ViasOV方程 767 图4给出了E(k=0．5，￡)的变化，从图中可以看到，第一阶段以指数的形式增长，在 t=18附近达到最大值，然后到达稳定状态，并且缓慢的振荡． u lu z0 t 30 40 50 图4用SL_WEN0格式解二流不稳定性问题得到的E(k=0．5，z)随时间的变化 Fi备4EvolutionofE(k一0．5，￡)，withSL-WENOscheme，inthecaseoftWOstreaminstability 3．4二维Vlasov方程 考虑2维Vlasov方程：丝掣+％鬈+码箬+(E+Bzvy)差+(E一％蚴羞乩 仍然用时间分裂格式．如1维的情况，上述方程可以分为如下步骤： (1)在物理空间，解如下方程半个时间步出／2， 誓+％髦=o，1 荔+码雾砘f (2)解电场的Poisson方程，得到E(x，￡)， 一∥5lD一』J∥，慨岫， (E，马)一一V噍 (3)在速度空间，解如下方程一个时间步△， 荔+(E+跏，)舰of一叫 誓+(马一％蚴甏瓠J (4)在物理空间，解如下方程另外半个时间步出／2， 薯+％墓=o，1 等+码雾砘J 取初信为 O d 之 o 4 5 寅唧o=《肖 万方数据 768 中国科学技术大学学报 第35卷 f(x，Y，％，q，o)一去exp(一(遁+嵋)／2)(1+0．25cos(k；z)+0．35cos(k，y))， 其中，乜一0．3，k，一0．4，B：一0．0．计算区域为Eo，2dX[o，2司×[一8．0，8．o]X [_8．0，8．o]，网格分为64X128X128X128． 由于计算机内存的限制，对于高维的非线性Landaudamping的数值模拟是很困难的． 为了得到精确的结果，格式同时还要高阶，才能避免寄生振荡．图5给出了我们的计算结果， 结果是令人满意的． ．1．5 ．2 目 莹之5 罟．3．5 堡 吝．3 _4 -4．5 0 20 40 f 60 80 100 图5用SL-WEN0格式求解二维非线性Landaudamping问题得到的 E(如一0．3，ky一0．4，￡)随时间的变化 Fig．5EvolutionofE(Az一0．3，ky一0．4，f)，withSL-WENOscheme， inthecaseofnonlinearLandaudampingof2DVlasovequation 参 考 文 献 DenavitJ．Numeficalsimulationofplasmas wi出periodicsmoothinginphasespace[J-]．J． CompuLPhys．，1972，9，75—98． BirdsallCK，LangdonABPlasmaPhysics viaComputerSimulation[M]．NewYork： McGraw-Hill，1985． zakiSI，GardnerLR，BoydTJMAfinite elementcodeforthesimulationofone-dimen- sionalVlasovplasmasI Theory[J]．J． Comput．Phys．，1988，79：184—199． ZakiSI，GardnerLR，BoydTJ此Afinite elementcodeforthesimulationofone-dimen- sionalVlasovplasmasIIApplications[J]．J． Comput．Phys．，1988，79：200-208． KlimasAJ．Amethodforovercomingthe velocityspacefilamentationproblemincolli— sionlessplasmamodelsolutions[J]．J．Com- put．Phys．，1987，68：202—226． [-6-1KlimasA。FarrellWMAsplittingalgo— rithmforVlasovsimulationwithfilamenta- tionfiltration[J]．J．Comput．Phys．，1994， 110(1)：150—163． 1'73BorisJP。BookDLSolutionofcontinuity equationsbythemethodofflux-corrected transport[J]．J．CompuLPhys．，1976，20： 397-431． [83FiialkowEAnumericalsolutiontotheVla— SOYEquationEJ]．Comput．Phys．Comm． 1999，116(6)：319—328． [9]ColellaP，WoodwardPRThepieeewise parabolicmethod(PPM)forgas-dynamical 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conditions。whichisthemainadvantageofsemi—I。agrangianschemes．Thenumerical resultsappliedtotheVlasovequationsaresatisfactory． Keywords：Vlasovequations；semi—Lagrangianschemes；ENO；WENO；movablestencil 万方数据 用半拉格朗日ENO和WENO格式解Vlasov方程 作者： 张瑞， 刘儒勋， ZHANG Rui， LIU Ru-xun 作者单位： 中国科学技术大学数学系,安徽,合肥,230026 刊名： 中国科学技术大学学报 英文刊名： JOURNAL OF UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY OF CHINA 年，卷(期)： 2005,35(6) 被引用次数： 1次 参考文献(19条) 1.Colella P;Woodward P R The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations[外文期刊 ] 1984 2.Fijalkow E A numerical solution to the Vlasov Equation 1999(06) 3.Boris J P;Book D L Solution of continuity equations by the method of flux-corrected transport 1976 4.Klimas A;Farrell W M A splitting algorithm for Vlasov simulation with filamentation filtration 1994(01) 5.Shu C-W Preface Uniformly High Order Essentially Non-oscillatory Schemes,Ⅲ 1997 6.Sbu C-W High order ENO and WENO schemes 1999 7.Nakamura T;Yabe T Cubic interpolated propagation scheme for solving the 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