null微分方程数值解微分方程数值解计算科学系 杨韧第三章 椭圆型方程的差分格式第三章 椭圆型方程的差分格式§3.1 正方形区域中的Laplace 方程
Dirichlet边值问
的差分模拟§3.1 正方形区域中的Laplace 方程
Dirichlet边值问题的差分模拟 设Ω是 xy 平面中的具有正方形边界 的
一个有界区域,考虑Laplace方程的第一边值
Dirichlet )问题null 网格节点(l , m)
处的二阶中心差商代替
二阶微商nullLaplace方程的五点差分格式(3.6)为
截断误差为O(h2)。null令
则Laplac方程的五点差分格式为(3.8)
即null 例1 用五点差分格式求解 Laplace方程
在区域
内的近似解,边界值为:
取 。null 解 网格点如图所示
u(1,0)=20 u(2,0)=20 u(3,0)=20 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 u(0,3)=80
u(0,2)=80
u(0,1)=80u(4,3)=0
u(4,2)=0
u(4,1)=0nullnullnull矩阵方程AU=K,K由边界条件所确定,解得
U = [U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9]’=A-1K
= [55.7143 43.2143 27.1429 79.6429 70.0000
45.3571 112.8571 111.7857 84.2857]Tnullnull加密网格,取 h = 0.5nullnull定义向量
为从左到右,自下而上的自然次序排列的未知
数值,则正方形区域Ω中的内部节点上的(M-1)2
个线性方程
写为矩阵方程 AU=K,其中K由边界条件确定.null
§3.2 Neumann边值问题的差分模拟§3.2 Neumann边值问题的差分模拟
示函数 u 沿着边界的外法线方向导数,
在正方形的四个顶点上法向量没有定义,取平均值代替。null讨论左边界 x = 0 上的导数边值条件的差分模拟
又由点(0,m)的五点差分格式
消去U-1, m,得0 , m+1-1 , m 0 , m 1 , m0 , m-1null边界 x = 0上 (3.14)
边界 x = 1上(3.15)
边界 y = 0上(3.16)
边界 y = 1上(3.17)null边界 x = 0 -2U1 , m -U0 , m+1
4U0 , m
-U0 , m-1
-2UM-1 , m-UM , m+1
4UM , m
-UM , m-1
-Ul-1 , 0 4Ul , 0 -Ul+1 , 0-2Ul , 1-Ul-1 , M 4Ul , M -Ul+1 , M-2Ul , M-1边界x = 1边界y = 0边界y = 1null在顶点(0,0),取偏导数的平均值作为外法线方向
导数
用一阶中心差商代替微商
在顶点(0,0),五点差分格式为
故
-1,0 0,0 1,00,10,-1null在四个顶点
(0,0)
(0,M)
(M,0)
(M,M)null 例1 在单位正方形区域Ω上解Laplace方程的
Nenmann问题
解 网格节点如图所示
null矩阵方程为null令
则矩阵方程为
§3.3 混合(Robins)边值条件§3.3 混合(Robins)边值条件null 例1 用五点差分格式求解 Laplace方程
在区域
内的近似解,边界值为:
取 。null 解 网格节点如图所示
U1 U2 U3u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 u(0,3)=80
u(0,2)=80
u(0,1)=80
u(0,0)=80u(4,3)=0
u(4,2)=0
u(4,1)=0
u(4,0)=0nullnullnullnull解矩阵方程 AU = K
U= [71.8218 56.8543 32.2342 …
75.2165 61.6806 36.0412 …
87.3636 78.6103 50.2502 …
115.6276 115.1468 86.3492]Tnullnullnullnull作业:
1、 P.115例3.1取h=1/3,利用五点
差分格式写出求解节点上的Ul,m值的线
性方程组及矩阵方程。
2、P.159习题三 2