复合函数定义域

复合函数 专题：复合函数的定义域 第一步：函数概念及其定义域 函数的概念：设是 非空数集，如果按某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为集合 到集合 的函数，记作： 。其中 叫自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 的值叫做函数值. 第二步：复合函数的定义 一般地：若 ，又 ，且 值域与 定义域的交集不空，则函数 叫 的复合函数，其中 叫外层函数， 叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: ； 复合函数 即把 里面的 换成 ， 问：函数 和函数 所示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求 的取值范围，这里 和 所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。） 第三步：介绍复合函数的定义域求法 例1.​ 已知 的定义域为 ，求函数 的定义域； 解：由题意得 所以函数 的定义域为 . 练1已知 的定义域为 ，求 定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 即 或 故 的定义域为 例2.​ 若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 解:由题意得 所以函数 的定义域为： 例3.​ 已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解 由 的定义域为 得 ，故 即得 定义域为 ，从而得到 ，所以 故得函数 的定义域为 例4.​ 已知函数 定义域为是 ，且 ,求函数 的定义域 解: ， ，又 要使函数 的定义域为非空集合，必须且只需 ，即 ，这时函数 的定义域为 第四步：解题模板 1.已知 的定义域，求复合函数 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 的定义域为 ，求出 中 的解 的范围，即为 的定义域。 2.已知复合函数 的定义域，求 的定义域 方法是：若 的定义域为 ，则由 确定 的范围即为 的定义域。 3.已知复合函数 的定义域，求 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 定义域求得 的定义域，再由 的定义域求得 的定义域。 4.已知 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。