实验五 连续系统频分析

实验二 线性系统时域分析 实验五 连续系统的频域分析及连续信号的采样与重构 一、目的 （1）掌握连续系统频率响应概念 （2）掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法 （3）掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法 二、系统的频率响应 设LTI系统的冲激响应为 ，该系统的激励信号为 ，则此系统的零状态 响应为 （5-1） 又设 ， ， 的傅立叶变换分别为 ， ， ，根据时域卷积定理，与式（5-1）对应的频域关系为： （5-2） 一般地，连续系统的频率响应定义为系统的零状态响应 的傅立叶变换 与激励信号 的傅立叶变换 之比，即 （5-3） 通常， 是 的复函数，因此，又可将其写为： （5-4） 如果令 ， 则应有： （5-5） （5-6） 称 为系统的幅频特性， 为系统的相频特性。 需要注意的是， 是系统的固有属性，它与激励信号 的具体形式无关。求系统的 ，当然可以按照式（5-3）的定义求，但在实际工程中往往是给出具体的系统图（如具体电路形式），通过电路分析的方法直接求出 。 通常， 可表示成两个有利多项式 与 的商，即 （5-7） 二、利用MATLAB分析系统频响特性 1、分析方法 MATLAB提供了专门用于连续系统频响 分析的函数freqs()。该函数可以求出系统频响的数值解，并可绘出系统的幅频及相频响应曲线。函数freqs()有如下四种调用格式： （1）h=freqs(b,a,w) 该调用格式中， 为对应于式（5-7）的向量 ， 为对应于式（5-7）的向量 ， 为形如 的冒号运算定义的系统频率响应的频率范围， 为起始频率， 为终止频率， 为频率取样间隔。向量 则返回在向量 所定义的频率点上系统频响的样值。 例如，运行如下命令 a=[1 2 1]; b=[0 1]; h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi) %计算 频率范围内的频响样值 则运行结果为： h = Columns 1 through 6 1.0000 0.4800 - 0.6400i 0 - 0.5000i -0.1183 - 0.2840i -0.1200 - 0.1600i -0.0999 - 0.0951i Columns 7 through 12 -0.0800 - 0.0600i -0.0641 - 0.0399i -0.0519 - 0.0277i -0.0426 - 0.0199i -0.0355 - 0.0148i -0.0300 - 0.0113i Column 13 -0.0256 - 0.0088i （2）[h,w]=freqs(b,a) 该调用格式将计算默认频率范围内200个频率点的系统频率响应的样值，并赋值给返回变量 ，200个频率点在 中。 （3）[h,w]=freqs(b,a,n) 该调用格式将计算默认频率范围内 个频率点的系统频率响应的样值，并赋值给返回变量 ， 个频率点记录在 中。 （4）freqs(b,a) 该调用格式并不返回系统频率响应样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。例如运行如下命令： a=[1 0.4 1]; b=[1 0 0]; freqs(b,a) 运行结果如图5-1所示。 下面通过具体例子说明函数freqs()求解系统频响的方法 例5-1：理想低通滤波器在物理上是不可实现的，但传输特性近似于理想特性的电路却能找到。图5-2是常见的用RLC元件构成的二阶低通滤波器（一般说来，阶数越高，实际滤波器的特性越能接近于理想特性）。设 ， ， ，试用MATLAB的freqs()函数求解该系统频率响应并绘图。 解：根据原理图，容易写出系统的频率响应为： ，将 ， ， 的值代入 的表达式，得 其中： 实现求解该系统响应的程序为： b=[0 0 1]; %生成向量b a=[0.08 0.4 1]; %生成向量a [h,w]=freqs(b,a,100); %求系统频响特性 h1=abs(h); %求幅频响应 h2=angle(h); %求相频响应 subplot(211); plot(w,h1); grid xlabel('角频率(W)'); ylabel('幅度'); title('H(jw)的幅频特性'); subplot(212); plot(w,h2*180/pi); grid xlabel('角频率(w)'); ylabel('相位(度)'); title('H(jw)的相频特性'); 运行结果如图5-3所示。 由图5-3可见，当 从0开始增大时，该低通滤波器幅度从1降到0， 约为3.5；而 从0°降到-180°，与理论分析结果一致。 2、实验内容 图5-4所示的电路为最平坦幅度型二阶低通滤波器。试用MATLAB程序画出系统响应 的幅度响应及相频响应，并与理论分析的结果进行比较。 的截止频率 三、连续信号的采样与重构 1、信号采样 图5-5给出信号采样原理图 由图5-5可见， ，其中，冲激采样信号 的表达式为： （5-8） 其傅立叶变换为 ，其中 。设 ， 分别为 ， 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得 （5-9） 若设 是带限信号，带宽为 ，由式（5-9）可见， 经过采样后的频谱 就是将 在频率轴上搬移至 处（幅度为原频谱的 倍）。因此，当 时，频谱不发生混叠；而当 时，频谱发生混叠。 应该指出的是，实际信号中，绝大多数都不是严格意义上的带限信号，这时根据实际精度要求来确定信号的带宽 。 例5-2：当采样频率 时，称为临界采样，取 。下列程序实现对信号 的采样及由采样信号恢复 （见信号恢复小节）。 wm=1; wc=wm; Ts=pi/wm; ws=2*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi); Dt=0.005;t=-15:Dt:15; fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); t1=-15:0.5:15; f1=sinc(t1/pi); subplot(211); stem(t1,f1); xlabel('kTs'); ylabel('f(kTs)'); title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号'); subplot(212); plot(t,fa) xlabel('t'); ylabel('fa(t)'); title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)'); grid; 程序运行结果如图5-6所示。 [注意]Sa(t)=sinc(t/pi) 2、信号重构 设信号 被采样后形成的采样信号为 ，信号的重构是指由 经过内插处理后，恢复出原来信号 的过程。又称为信号恢复。 若设 是带限信号，带宽为 ，经采样后的频谱为 。设采样频率 ，则由式（5-9）知 是以 为周期的谱线。现选取一个频率特性 （其中截止频率 满足 ）的理想低通滤波器与 相乘，得到的频谱即为原信号的频谱 。 显然， ，与之对应的时域表达式为 （5-10） 而 将 及 代入式（5-10）得 （5-11） 式（5-11）即为用 求解 的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数 在此起着内插函数的作用。 例5-3：设 ，其 为： 即 的带宽为 ，为了由 的采样信号 不失真地重构 ，由时域采样定理知采样间隔 ，取 （过采样）。利用MATLAB的抽样函数 来表示 ，有 。据此可知： （5-12） 为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，计算两信号的绝对误差。MATLAB实现此过程的程序如下： wm=1; wc=1.1*wm; Ts=0.7*pi/wm; ws=2*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi); Dt=0.005;t=-15:Dt:15; fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); error=abs(fa-sinc(t/pi)); t1=-15:0.5:15; f1=sinc(t1/pi); subplot(311); stem(t1,f1); ylabel('f(kTs)'); title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号'); subplot(312); plot(t,fa) ylabel('fa(t)'); title('由sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构sa(t)'); grid; subplot(313); plot(t,error); ylabel('error(t)'); title('过采样信号与原信号的误差error(t)'); 结果如图5-7所示，由图5-7可知，两信号的绝对误差error已在10-6数量级，说明重构信号的精度已经很高。 将上述程序稍加改动，令 ， ， （欠采样），其余不变。改动后程序运行结果如图5-8所示。 由图5-8可见，绝对误差error已大为增加，其原因是因采样信号的频谱混叠，使得在 区域内的频谱相互“干扰”所致。 3、实验内容 设 ，由于不是严格的带限信号，但其带宽 可根据一定的精度要求做一近似。试根据以下三种情况用MATLAB实现由 采样信号 重构 并求出两者误差，分析三种情况下的结果。 （1） ， ， ； （2） ， ， ； （3） ， ， ；