毕达哥拉斯学派与根号2

31 （四） 第二章 若干数学问题中的数学文化 第一节 毕达哥拉斯学派与 2 一、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数” 1. 毕达哥拉斯（Pythagoras 约前 572 年—前 500 年） 毕达哥拉斯是公元前 500 多年古希腊的哲学家、数学家、天文学 家。 毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数学的研 究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想 产生很大影响。 相传“哲学”（希腊原词ϕτλοσοφτα，意为“智力爱好”）和“数学” （希腊原词µαθηµατιχα，意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥 拉斯本人所创。 2. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献 1）数学证明的起始 泰勒斯——毕达哥拉斯——欧几里得 证明是要有假设的： “公设”和“公理”。 许多人推测，欧几里得《几何原本》前两卷的大部分材料，来源 于毕达哥拉斯学派。 2）数学抽象的提出 32 从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了 科学。 3）毕达哥拉斯定理 即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国 叫商高定理或勾股定理。 《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测 量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四、经隅五”，这是 勾股定量的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前 6、 7 世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“⋯⋯以日下为 勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。” 中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元 3世纪三国时期的赵 爽。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运 用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。如图 西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。 曾经有人编书，收集了勾股定理的 370 种证法。 3. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说 1）“万物皆数”学说 ①数，是世界的法则和关系 毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它 们的比 n m ，即正分数。 ②任意两条线段都是可公度的 33 “可公度的”，意即有公共的度量单位。 2）实例 ① 形数 三边形数 四边形数 五边形数 六边形数；如图 “形数”体现了数与形的结合。 [思]：找出三边形数 四边形数 五边形数 六边形数等各种 “形数”的规律。 毕达哥拉斯学派加强了数学概念中的理论倾向。 毕达哥拉斯学派相信，造物主是按照数学来创造世界的，自然现 象可以通过数学来理解。 ② 多个场合下的小整数比 ⅰ产生谐音的各个弦的长度成小整数比 绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数比，就会发出谐音。例 如，1︰2 时短弦的音高 8度，2︰3时短弦音高 5度，3︰4时短弦音 高 4度；当三根弦的长度之比为 3︰4︰6 时，就得到谐音。 ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺正多边形地砖的情形） 只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地放 6个正三角形， 或者 4个正方形，或者 3个正六边形，如下图 毕达哥拉斯学派确信： “宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律 创造世界的。 34 二、 2与第一次数学危机 对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的 一个发现，用现在的符号，这就是 2。 1. 2的发现和危机的产生 1）一个不能表成整数比的数 根据毕达哥拉斯定理，边长为 1的正方形，其对角线长度若记为 c，则 2 2 21 1 2c = + = ，推出 2 2c = 。如图 下边我们证明，当 2 2c = 时，c不能表成整数比。 如果不然，有两个正整数 m和 n，使 nc m = （不妨设 n m 是既约分数 即（m, n）=1）。 两端平方得 222 nm= ，即 2 22m n= 由此知 2n 是偶数，由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数， ∴n是偶数。因 n m 既约，所以 m不能再是偶数，于是 m是奇数。于是 2 22m n= 的左端，因 m是奇数而不能被 4整除，右端却因 n是偶数而可 以被 4整除。这个矛盾说明开始的假设 nc m = 是错误的。从而 c不能表 成两个整数的比。证完。[注]：这是“反证法”的开始。 2）不可公度的线段 设正方形的边长为 a，对角线长为 d，如图， 根据毕达哥拉斯定理 2 22d a= 。 35 如果存在第三个线段长为 t，使得 a和 d都是 t的整数倍，例如 a mt= , d nt= ,这里 m，n 是整数。 由 2 22d a= 得 2 2 2 22n t m t= ，从而 2 22n m= ，又可以类似于上一个证明导 出矛盾，所以不可能存在长度为 t的线段，于是 a与 d 就是不可公度 线段。 3）危机产生，封锁消息 希帕苏斯泄露秘密，被抛进大海。 4）无理数 象 2 2c = 这样的数 c，和其它一些不能表成整数比的数。 2. “两个量的比相等”的新定义——部分地消除了危机 两个量的比相等，即 a c b d = 约公元前 370 年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔的定义：“称 四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等，如果取第 一个和第三个量的任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他的 相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数， 便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系”。 这种定义，也被欧几里得在《几何原本》中采用。 3. 无理数与数系的扩张——危机的解决 1）有理数的稠密性 定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上，每一个 不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（a，b）中都存在着这个 数集中的点。 36 定理：有理数集在数轴上是稠密的。 2）数轴 ① 古代观点： 数轴↔有理数 ② 现代观点：数轴↔实数 3）数系的扩张——危机的解决 ① 自然数系 ② 有理数系 ③ 实数系 实数系具有连续性。有理数系具有稠密性，却不具有连续性。 数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。数系的稠密性，通俗 说成“到处都有”、“密密麻麻”，数系的连续性，通俗说成“一个挨 一个”、“针插不进，水泼不进”。连续性，这是一个很好的性质。但 是对“数系的连续性”的概念，给出严格的数学定义，就不那么容易 了。 [思]：能说任何两个有理数之间都有无理数吗？为什么？ 三、反证法与无理数 1. 反证法 1）反证法的威力 2）反证法的步骤 37 3）哈代对反证法的评论 2. 2是无理数的另一个反证法证明 3. 定理：设 m 是大于 1 的自然数，m 写成不同素数方幂的乘积 为 11 rn nrm p p= L ，则 m是有理数 1, , rn n⇔ L 全是偶数