_问题解决_与数学教育_2008_

第 18卷第 1期 数 学 教 育 学 报 Vol.18, No.1 2009年 2月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Feb., 2009 收稿日期：2008–12–30 作者简介：郑毓信（1944—），男，浙江镇海人，教授，博士生导师，国际数学教育大会（ICME-10）国际程序委员会委员，主要从事数学哲学、 数学教育、科学哲学研究． “问题解决”与数学教育（2008） 郑毓信 （南京大学 哲学系，江苏 南京 210093） 摘要：“问题解决”是在 20 世纪 80 年代的主要口号．曲折的前进是“问题解决”现代发展的一个基本特点．“问题解 决”现已由一个相对独立的专门论题演变成了整体性数学教育的一个有机组成成分．只有更为深入地去揭示那些对于解决问 题有着重要影响、但又往往为人们所忽视的环节，这方面的理论研究与相应的教学实践才能真正取得成效．数学教育现代发 展的两个动力因素是理论研究与课程开发．从更为广泛和深入的角度去认识“行动研究”的意义则是数学教育深入发展的一 个主要途径． 关键词：问题解决；数学教育；2008 中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2009）01–0001–04 如众所知，“问题解决”（Problem Solving）是国际数学 教育界在 20 世纪 80 年代的主要口号．除去大规模的教学实 践以外，这一数学教育改革运动也曾促成了理论研究的重要 发展，以至可以具体地谈及“对于波利亚的超越”．在 80 年代以后，“问题解决”又经历了怎样的发展或命运，并为 数学教育的深入发展提供了哪些有益的启示或教训？这正 是国际教学界在 2007 年组织的一项专题研究：“世界范围 内的问题解决：关于现状的”（Problem Solving around the World: Summing up the State of the Art）的主旨所在．以 下就对这一工作做出综合介绍，包括从一般角度引出关于中 国数学教育深入发展的若干思考．（应当指出的是，尽管在 以下我们主要是针对数学教育进行的，但相关的结论对 于一般教育而言同样也是适用的．） 文章之所以题名为“‘问题解决’与数学教育（2008）”， 主要就是为了突出这一特殊的时间背景，也可与本人在先前 撰写的同名论著[1~2]作明确的区分． 1 “问题解决”的现代发展 这是上述专题研究在总体上的一个重要特征，即是在对 “问题解决”在各国的情况进行总结和介绍时，相关作者普 遍地都采取了较为广泛的一个视角，也即是以数学教育的整 体情况、特别是 20 世纪 90 年代以来在世界各国先后开展的 新一轮数学课程改革为背景进行分析和概述．从而也就与先 前主要集中于“问题解决”这一论题本身表现出了明显的区 别．应当强调的是，这一事实并可被看成最为集中地表明了 “问题解决”现代发展的总体趋势：它已经由一个相对独立 的专门论题演变成了整体性数学教育的一个有机组成成 分．正因为此，尽管在现今我们似乎已经较少听到“问题解 决”这个术语，这却不应被理解成“问题解决”已经逐步淡 出了数学教育的历史舞台．恰恰相反，这只是表明“问题解 决”现已渗透到了数学教育的各项工作之中．特别是，只有 以数学课程的整体发展为背景，我们才能更好地理解“问题 解决”的现代发展或演变，包括对于“问题解决”在数学教 育（学）中作用的不同认识． 例如，以下就是“问题解决”在数学教学中的一个传统 定位，即为学生对于相关数学知识的掌握情况提供了重要的 检验手段．与此相对照，在新一轮的数学课程改革中“问题 解决”则被赋予了新的作用：为学生的数学学习提供重要的 动力，并使他们真正感到数学学习是一种有意义的活动．这 也就是“问题情境”（Problem Situation）这一术语何以在新 一轮数学课程改革中得到普遍应用和突出强调的一个主要 原因．再则，这也正是数学教育现代发展的一个普遍趋势， 即与单纯的数学知识和技能的掌握相比，人们在现今往往更 加重视学生数学能力的培养，而这事实上也代表了关于“问 题解决”在数学教育中作用的一种新的定位，即是应当将努 力培养学生解决问题的能力看成数学教育的一个基本目 标．特殊地，这也是诸多数学新课程中专门引入“课题研究” 或“研究问题”（Research Problem）等内容的主要原因．当 然，这些内容的引入也是与这样一种教学思想直接相关联 的：与所谓的“接受式学习”相比，我们应当更加重视学生 的主动探究，也即应当让学生在数学学习中承担更大的责 任．另外，对于“课题研究”的不同理解同样也可被看成集 中地体现了一些相关的教学思想，如认为所说的“研究课题” 应当具有跨学科的性质，并能促进学生间的相互合作与交 流．最后，从同样的角度去分析，我们也就可以很好地理解 所谓的“开放题”（Open Problem）何以会在今天得到人们 的普遍重视，因为，这集中地体现了这样一种教学思想：与 严格的规范性相对立，我们应为学生的自由探究提供更大的 空间． 尽管上述的各个方面主要都是通过课程设计得到表现 的，但这又不应被看成纯粹的实践性工作，也包含了一定的 理论性研究．例如，这就是关于“问题情境”的一个具体分 析：“问题情境在下述的意义上是与传统的问题很不相同 的：一个问题情境既不能被等同于问题本身，也不能被等同 于如何在教室中对所说的问题做出说明，它也包括了教师关 于在课堂上如何去组织这一问题的求解以及如何对相关解 答进行验证的构思．从而，这就可以被看成问题与教学情境 的一个组合．”以下则是关于“问题情境”与“开放题”之 2 数 学 教 育 学 报 第 18卷 间区别的一个具体说明：“开放题与问题情境有着不同的教 育目的……问题情境的目的在于促进学生对于新的知识的 建构……对开放题而言，过程则是最为重要的：它旨在包括 尝试、探究和证明等不同成分的研究经验．”[3] 但是，如果我们主要集中于解题过程本身的研究的话， 又不得不承认这样一点：与 20 世纪 80 年代取得的重要理论 突破的情况相比，现今则已多少表现出了发展的停滞．从数 学教育的内部来分析，后一情况的出现可以被看成中心转移 的一个必然结果．因为，从 20 世纪 90 年代起，课程开发已 经取代 80 年代的“问题解决”，成为数学教育界关注的焦 点．特别是，这更构成了世界各国先后开展的新一轮数学教 育改革运动的实际切入点．从而，尽管这些“新课程”都明 显地表现出了“问题解决”的影响（对此例如由“问题解决” 在美国与中国的“数学课程”中所占据的重要地位就可 清楚地看出），或者说，即是充分吸收了后一方面的积极成果， 但整体性的课程设计显然已经成为数学教育理论研究的中心 所在，而“问题解决”则已退居到了一个次要的位置，或者 说，这只是作为整体性课程设计的一个有机组成成分才获得 了人们的持续关注．另外，如果采取更为广泛的视角，我们 则又应当特别提及教育研究、特别是学习心理学研究整体发 展趋势的重要影响．事实上，即使就“问题解决”理论研究 在 20 世纪 80 年代所取得的重大进展而言，我们也可清楚地 看到教育研究整体性发展趋势的重要影响．主要地就是由于 认知心理学（更为一般地说，就是认知科学）逐步取代行为 主义在心理学领域中占据了主导地位，并为深入研究内在的 思维活动提供了必要的概念工具（信息加工的语言），人们才 有可能在具体研究数学解题过程中的心理活动方面取得实质 性的进展，从而真正实现“对于波利亚的超越”[2，4]．然而， 就现今而言，外部环境的变化同样也是造成“问题解决”的 理论研究在 20 世纪 90 年代以后出现发展迟缓的一个重要原 因．这是因为，就学习理论的研究而言，情境学习理论现已 逐步取代认知心理学在这一领域中占据了主导地位，而这当 然也会对理论工作者选择自己的研究方向产生十分重要的影 响．例如，就美国国家科学基金会（NSF）的资助项目而言， 在 20 世纪 80 年代主要地都从属于认知心理学与“问题解决” 的范围，但在 90 年代占据主导地位的就已转变成了社会—文 化方面的研究与跨学科的研究[5]． 应当再次强调的是，上面的分析并不应被理解成“问题 解决”的理论研究现已完全陷于了发展的停滞之中．恰恰相 反，由于“问题解决”现已在更大范围、并在各种新的形式 下得到了实践，更已成为整体性数学教育活动的一个有机组 成成分，从而不仅促成了理论思想的重要进步，而且直接推 动了相关的理论研究．例如，当年的一些简单化认识现已得 到了有效的纠正．特别是，人们现已清楚地认识到了这样一 点：数学活动不应被等同于“问题解决”．另外，提高学生 解决问题的能力也不应被看成数学教学中积极倡导“问题解 决”的唯一目标，因为，我们也应要求学生通过求解问题获 得一定的概念理解，并能促进学生的数学交流、积极地去从 事数学证明，等等[3，5]．例如，作为“问题解决”在当代的 一个主要代表人物，舍费尔德（A. Schoenfeld）的相关工作 就可被看成后一方面的一个典型例子．具体地说，舍费尔德 在 20 世纪 80 年代曾以很大精力对“（数学）问题解决”进 行了专门研究，从 90 年代以后，他又花费了十多年时间集 中地对教师在教学中的决策行为（Decision Making）进行了 研究——尽管这两者从表面上看似乎互不相干，但事实上却 存在有相互渗透、互相促进的重要联系．特别是，正是其先 前关于“（数学）问题解决”的系统研究，为他后来从事教 师决策行为的研究提供了必要的理论工具．进而，通过决策 研究，舍费尔德发展起了一个新的理论框架，而这又为其近 年来重新转向“问题解决”提供了重要背景，并产生了一些 十分重要的理论成果：如果说舍费尔德在 20 世纪 80 年代的 工作主要是深入地揭示了决定（数学）解题活动成败的各个 相关因素，那么，新的研究不仅更加突出了“（解题活动中） 的决策行为”这样一个核心环节（这也就是指，上述的各个 因素是如何相互作用的），而且也将研究对象由“（数学）问 题解决”扩展到了“为了实现一定目标而采取的行动”这样 一种最为普遍的人类行为，从而就使相关的研究获得了更为 普遍的意义[6]．最后，还应强调的是，就所已提及的数学教 育的整体形势或是一般性学习理论的研究重点的转变而言， 事实上又都可以被看成为“问题解决”的进一步发展提供了 新的挑战和机遇．这也正如舍费尔德所指出的：我们在这一 方面所面临的一个新任务就是如何能对“社会—文化的方面 与认知的方面做出整合”[5]．值得指出的是，研究重点的不 断转移，事实上也就是“问题解决”的理论研究在 20 世纪 80 至 90 年代的实际发展轨迹[6]（如表 1）．从而，在这样的 意义上，我们也就可以说，这正是“世界范围内的问题解决： 关于现状的总结”这一专题研究的一个主要意义，即是为“问 题解决”的未来发展指明了努力的方向． 表 1 “问题解决”理论研究的发展轨迹 时间 “问题解决”研究的重点 1970—1982 决定问题困难程度的主要因素的确定；成功的解题者所具有的素质的界定；启发法的训练． 1978—1985 成功的解题者（专家）与不成功的解题者（新手）的比较研究；策略训练． 1982—1990 元认知；情感/信念对于解题活动的影响；元认知的训练． 1990—1994 社会的影响；情境中的问题解决． 2 从“问题解决”谈开去 以“问题解决”的现代发展为背景进行思考，我们也可 获得关于如何促进我国数学教育事业深入发展的一些有益 启示． 第一，上面的分析显然表明：曲折的前进是“问题解 决”现代发展的一个基本特点，而认真总结与反思则是我 们能否在这一方面不断取得新的重要进步的关键所在．我 们以为，这一结论对于一般的数学教育而言也是同样适用 的，从而就可被看成“问题解决”的现代发展所给予我们 的一个重要启示． 事实上，即使就“问题解决”在 20 世纪 80 年代所取得 重要理论进展而言，同样也可被看成上述结论的一个实 例．具体地说，尽管在 80 年代初期人们就已明确提出了这 样一个思想，即认为“问题解决应当成为数学教育的中心”， 第 1期 郑毓信：“问题解决”与数学教育（2008） 3 但就相关的教学实践而言，却在很长时期内一直未能取得预 期的效果，人们并经常可以看到这样的现象：学生已经具备 了足够的数学知识，似乎也已掌握了相应的解题策略，但却 仍然不能有效地解决问题．这一事实曾使一部分数学教育工 作者对“问题解决”这一改革运动产生了疑虑，一些人更因 此而认定“启发法的研究和教学是无意义的”、“波利亚的工 作已经过时”等．然而，正是通过对失败原因的深入分析， “问题解决”的理论研究才取得了新的重要进展，人们逐步 认识到了数学解题事实上是一个包含有多个环节的复杂过 程．从而，相应的教学活动就不应唯一局限于所谓的启发法 或解题策略．恰恰相反，只有更为深入地去揭示那些对于解 决问题有着重要影响、但又往往为人们所忽视的环节，相应 的教学实践才能真正取得成效．而这事实上也就是“问题解 决”在当时的实际发展轨迹．特别是，正是通过对于解题活 动的深入研究，人们获得了关于数学解题全部过程更为全面 的一个理论框架，从而实现了对于“波利亚的超越”：“这一 框架……描述了复杂的智力活动的 4 个不同性质的方面：认 识的资源，即解题者所已掌握的事实和算法；启发法，即在 困难的情况下借以取得进展的‘常识性的法则’；调节，它 所涉及的是解题者运用已有知识的有效性；信念系统，即解 题者对于学科的性质和应当如何去从事工作的看法．”[7] 另外，对于“问题解决”在近年来所取得的一些新的 理论成果，我们也可作同样的分析．例如，正如上面所已 提及的，对于先前所存在的各种简单化认识的纠正显然也 可看成“曲折的前进”．另外，特别重要的是，也正是通过 “聚焦—淡化—再聚焦（再认识）”，人们现今更加清楚地认 识到了这样一点：作为“问题解决”直接出发点的“问题” 并不能被看成一成不变的，或者说，这并不能被简单地等 同于相关活动的直接目标．因为，在此往往有一个“问题 转换”的过程，后者也就是所谓的“（解题过程中的）决策 行为”的一个主要内涵． 应当强调的是，以上所提到的“发展的曲折性”正是由 数学教育的性质所直接决定的：由于数学教育活动的复杂 性，因此就既不存在某种“统一的、完全建立起来的，并为 大多数数学教育研究者所接受的数学教育理论”（Niss 语）， 在实践中也必然会出现这样或那样的问题或曲折．特别是， 这更可被看成数学课程改革的一个必然命运：“期盼、失落、 冲突、化解和再上路……”然而，又正如香港中文大学的黄 毅英先生等人所指出的：“当然我们可以抱怨，这些问题何 以反复地出现……我们也可反过来看，教育本来就是一种感 染和潜移默化．如果明白这点，也许我们走了近半个世纪的 温温数教路，一点也没有白费，业界正需要这种历炼，一次 又一次地反思、深化，在深层中成长……问题是有否吸取历 史教训，避免重蹈覆辙．”[8] 显然，从后一角度去分析，我们在当前也就应当特别强 调这样一点：为了促进我国新一轮数学课程改革的深入发 展，我们应当切实防止盲目的乐观情绪，更应特别重视如何 能够通过认真总结及时地发现存在的问题与不足之处，从而 也就能够通过进一步的工作、特别是必要的调整很好地予以 解决．值得提及的是，后者正是本人 2003 年在“义务教育 阶段数学课程标准修订工作研讨会”上所发表的主要意 见．（详可见郑毓信，“数学课程改革深入发展之若干关键 问题”，中学教研（数学），2003，No.12；或郑毓信，《数学 教育：动态与省思》，上海教育出版社，第 2.1 节附录二．） 当时自己并就是由“问题解决”的相关研究借用了这样一个 说法：“发现问题，继续前进．”因为，这正是人们在 20 世 纪 80 年代末针对“问题解决”的现状所做出的一个总结： “解决问题，继续前进．”这也就是指，我们不应满足于问题 的求解，而应积极地去从事新的研究，包括如何能对已获得 的结果进行推广，如何能对解题方法做出适当改进，等 等[9]．更为一般地说，这显然也就是我们在从事数学教育理 论研究或教学实践时所应采取的一个基本立场：“发现问 题，正视问题，解决问题，不断前进．”[10] 第二，通过阅读相关的文章，本人也获得了这样一个印 象：这正是数学教育现代发展、特别是数学教育改革运动的 一个真实写照，其主要的两个动力因素就是理论研究与课程 开发．进而，如果说理论与教学实际之间存在较大间距正是 前者所面临的一个主要问题，那么，这又是世界各国课程发 展的一个普遍不足之处，即往往表现出了很强的“行政”色 彩，或者说，各国的数学课程改革主要地就是由数学教育以 外的因素直接促成的——从而，这也就是数学教育所面临的 又一重要问题，即行政力量（这常常体现于新课程的规划与 实施）与学术力量（至少是其中的相当一部分）往往不能很 好地相互协调，甚至表现出一定的对抗．例如，美国在 20 世纪 90 年代所出现的“数学战争”，特别是，有 192 名著名 数学家和科学家联名在《华盛顿日报》发表公开信表示对美 国教育部相关文件的反对，显然就可被看成这方面的一个典 型例子． 对于所说的间隔与问题，人们当然也已设想出了各种方 法力图予以解决与弥合，诸如强调理论向教学实践的渗透， 积极倡导关于教学工作的这样一种定位：“理论指导下的自 觉实践”，尽可能多地吸收各种研究人员参加行政组织的课 程开发工作，在新课程正式实施前努力吸取各方面的意见， 等等．但在我们看来，这也是国际上的相关实践给予我们的 一个重要启示：由于数学教育的复杂性，任何数学课程的实 施都必然地有一个依据教学实践不断进行调整的过程，从 而，与传统的“由上至下”的运作模式相对立，我们就应更加 强调教学工作的实践标准．这也就如威尔逊等人所指出的[11]： 情境中的需要高于、模式甚至标准价值观的规定．进而， 以下又应被看成“实践立场”的两个基本原则：（1）与单一 地强调某种理论相对照，我们应当更加重视理论的多元化， 包括各种理论的必要比较与适当综合．这就正如著名数学教 育家斯法德所指出的：“当两个隐喻相互竞争并不断映证可 能的缺陷，这样就更有可能为学习者和教师提供更自由的和 坚实的效果．”[12]（2）相对于“理论指导下的自觉实践” 而言，“反思性实践”应当被看成关于教学工作更为恰当的 一个定位，我们并应明确肯定这种工作的调整或补救性 质．因为，正如上面所已反复强调的，只有通过立足于实践 活动的反思与调整，我们才能切实解决前进中所必然出现的 各种问题或弊病，才能对各种理论与政策的正确性做出必要 4 数 学 教 育 学 报 第 18卷 的检验，包括为进一步的工作指明努力的方向． 容易想到，上面的分析也可被看成更为清楚地表明了 这样一点：教学研究主要地应被看成一种“行动研究”．从 而，这也就是“问题解决”的现代研究给予我们的又一重要 启示：除去有益于改进教学这一直接的意义以外，我们还应 从更为广泛和深入的角度去认识“行动研究”的意义，特别 是，这应被看成数学教育深入发展的一个主要途径． 最后，我们显然也可从同样的角度去对教师培训工作的 性质和作用进行分析，也就是说，这不应仅仅被看成联系理 论与教学实践的一座桥梁．恰恰相反，这同样应当被看成属 于行动研究的范围，进而，这又是教师培训工作的一个特殊 作用，也即应当在“理论的整合”和在“总结、反思与调整 或补救”这样两个方面发挥特别重要的作用． ［参 考 文 献］ [1] 郑毓信．问题解决与数学教育[J]．数学传播（台湾），1993，（4）：74−83． [2] 郑毓信．问题解决与数学教育[M]．南京：江苏教育出版社，1994． [3] Artigue M, Houdement C. Problem Solving in France: Didactic and Curricular Perspectives [J]. ZDM Mathematics Education, 2007, (39): 365−382. [4] 郑毓信．数学方法论[M]．南宁：广西教育出版社，2001． [5] Schoenfeld A. Problem Solving in the United States, 1970-2008: Research and Theory, Practice and Politics [J]. ZDM Mathematics Education, 2007, (39): 537−551. [6] Schoenfeld A. Problem Solving from Cradle to Grave [J]. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 2006, (11): 41−73. [7] Schoenfeld A. Mathematical Problem Solving [M]. Academic Press Inc., 1985. [8] 邓国俊，黄毅英．香港近半世纪漫漫“小学数改路”[M]．香港：香港数学教育学会，2006． [9] 郑毓信．关于“问题解决”的再思考[J]．数学传播（台湾），1996，（4）：63−69． [10] 郑毓信．数学教育：动态与省思[M]．上海：上海教育出版社，2005． [11] 戴维·乔纳森．学习环境的理论基础[M]．上海：华东师范大学出版社，2002． [12] Sfard A. On Two Metaphors for Learning and the Dangers of Choosing just One [J]. Educational Researcher, 1998, (27): 4−13. Problem Solving and Mathematics Education (2008) ZHENG Yu-xin (Department of Philosophy, Nanjing University, Jiangsu Nanjing 210093, China) Abstract: “Problem Solving” is the main slogan of mathematics education in the 80s of the 20th century, whilst the road of its development is tortuous. On the whole, “Problem Solving” is now no longer a relatively independent research domain, but rather an organic part of the whole enterprise of mathematics education. Only on the basis of revealing all the factors which have important influence on the activity of solving problem but at the same time have frequently also been neglected, real progresses in both research and relevant teaching work can be achieved. Theoretical research and curriculum development are the two main motive forces of the modern development of mathematics education in general, while its key point is to realize more deeply the meaning of “action studies” and its significance to mathematics education. Key words: problem solving; mathematics education; 2008 [责任编校：陈汉君]