梯形

第27章 梯形 一、选择题 1. （2011江苏扬州，7,3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。其中假命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【】B 2. （2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 3. （2011山东烟台，6,4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ） A.8 B.9 C.10 D.12 【答案】B 4. （2011浙江台州，7,4分）如图，在梯形ABCCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，对角线BD、AC相交于点O。下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是（ ） A. ∠1=∠4 B. ∠1=∠3 C. ∠2=∠3 D.OB2+OC2=BC2 【答案】B 5. （2011台湾台北，15）图(五)为梯形纸片ABCD，E点在 上，且 ， ＝3， ＝9， ＝8。若以 为折线，将C折至 上，使得 与 交于F点，则 长度为何？ A． 4.5 B。5 C。5.5 D．6 【答案】B 6. （2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠BCD=90°, BC = CD=2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是（） A . CP 平分∠BCD B. 四边形 ABED 为平行四边形 C. CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分；D. △ABF为等腰三角形 【答案】C 7. （2011山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则梯形ABCD的周长是（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 8. （2011四川绵阳11，3）如图，在等腰梯形站ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC, AB = 8cm,则△COD的面积为 A. B. C. D. 【答案】A 9. （2011湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是  A．40°．　　 B．45°．  C．50°．　　 　D．60°．  【答案】C 10．（2011湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是( ). A. ∠HGF = ∠GHE B. ∠GHE = ∠HEF C. ∠HEF = ∠EFG D. ∠HGF = ∠HEF 【答案】D 二、填空题 1. （2011福建福州，13，4分）如图4,直角梯形 中, ∥ , ,则 度. 【答案】 2. (2011 浙江湖州，14，4)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是 ． 【答案】3 3. （2011湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，则上底DC的长是_______cm。 【答案】2.提示：∠CAB=90°-60°=30°， 又∵等腰梯形ABCD中，∠BAD=∠B=60°， ∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°。 又∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=30°=∠DAC。 ∴CD=AD=BC=2cm。 4. （2011江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______. 【答案】 5. （2011江苏宿迁,15,3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是 ▲ cm． 【答案】15 6. （ 2011重庆江津， 13，4分）在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是___________. 【答案】30· 7. ．(2011江苏南京，10，2分)等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为___________㎝． 【答案】6 8. （2011山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则在第10个这样的图形中，共有 个等腰梯形． ⑴ ⑵ ⑶ 【答案】100 9. （2011湖北襄阳，17，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝ 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. 【答案】2或 10．（2011江苏盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是 ▲ ． 【答案】等腰梯形 三、解答题 1. （2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分 过点D作 ，过点C作 ，垂足分别为E、F，连接EF，求证： 为等边三角形. 【答案】 :因为DC‖AB， ，所以 . 又因为 平分 ，所以 ……2分 因为DC‖AB，所以 ，所以 所以 4分 因为 ，所以F为BD中点，又因为 ， 所以 ……6分 由 ，得 ， 所以 为等边三角形. ………………8分 2. （2011山东菏泽，17（2），7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4， E为AB中点，EF∥DC交BC于点F， 求EF的长． 【答案】解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴GC=AD， ∴BG=BC－AD=4－1=3， 在Rt△ABG中， AG= ， ∵EF∥DC∥AG， ∴ ， ∴EF= ． 3. （2011山东泰安，27 ，10分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC. （1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图①），求证：△AOE∽△COF （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G（如图②），求证：四边形EFDG是菱形。 【答案】证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD ∴EC=BE=BC=AD 又∵AD∥EC ∴四边形AECD为平行四边形 ∴AE∥DC ∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO ∴△AOE∽△COF （2）证明：连接DE ∵AD∥BE ，AD=BE ∴四边形ABED是平行四边形 又∠ABE=900 ∴□ABED是矩形 ∴GE=GA=GB=GD=BD=AE ∵E、F分别是BC、CD的中点 ∴EF、GE是△CBD的两条中位线 ∴EF=BD=GD，GE=CD=DF 又GE=GD∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG是菱形 4. （2011四川南充市，17，6分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC,点E,F在BC上，且BE=CF,连接DE,AF. 求证：DE=AF. 【答案】证明：∵BE=FC ∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE ∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴AB=DC ∠ B=∠C 在⊿DCE和⊿ABF中， DC=AB ∠B=∠C CE=BF ∴⊿DCE≌⊿ABF(SAS) ∴DE=AF 5. （2011四川南充市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。 （1）求证：⊿MDC是等边三角形； （2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值. 【答案】（1）证明：过点D作DP⊥BC,于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q, ∵∠C=∠B=600 ∴CP=BQ= AB,CP+BQ=AB 又∵ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD, 由已知，点M是BC的中点， BM=CM=AD=AB=CD, 即⊿MDC中，CM=CD, ∠C=600,故⊿MDC是等边三角形. （2）解：⊿AEF的周长存在最小值，理由如下： 连接AM,由（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB, ⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形， ∠BMA=∠BME+∠AME=600, ∠EMF=∠AMF+∠AME=600 ∴∠BME=∠AMF） 在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM, ∠EBM=∠FAM=600 ∴⊿BME≌⊿AMF(ASA) ∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB ∵∠EMF=∠DMC=600 ,故⊿EMF是等边三角形，EF=MF. ∵MF的最小值为点M到AD的距离 ，即EF的最小值是 . ⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF, ⊿AEF的周长的最小值为2+ . 6. （2011浙江杭州，22， 10)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F． (1)求证：△FOE≌ △DOC； (2)求sin∠OEF的值； (3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求 的值． 【答案】(1)证明：∵E，F分别为线段OA，OB的中点，∴EF∥AB，AB＝2EF，∵AB＝2CD，∴EF＝CD，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC，∴△FOE≌ △DOC；， (2) 在△ABC中，∵∠ABC＝90°， ∴ ， ． ∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB，∴ (3) ∵△FOE≌ △DOC，∴OE＝OC，∵AE＝OE，AE＝OE＝OC，∴ ． ∵EF∥AB，∴△CEH∽△CAB，∴ ，∴ ， ∵EF＝CD，∴ ，同理 ，∴ ， ∴ 7. （2011浙江温州，18，8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点． 求证：△A DM≌△BCM. 【答案】证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， ∴AD＝BC，∠A＝∠B， ∵点M是AB的中点， ∴ MA＝MB， ∴△ADM≌△BCM 8. （2011四川重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF． (1)求EG的长； (2)求证：CF ＝AB ＋AF． 【答案】 (1) 解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°， ∴CD＝DB＝2，∴CB＝＝2， ∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG＝CB＝． (2)证明：证法一：延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°， ∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°， ∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)， DF＝DH， CF＝ BH＝BA＋AH，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°， ∠HDA＝∠DCB＝45°，∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA， ∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH， 又CF＝BH＝BA＋AH ，∴CF＝AB＋AF． 证法二：在线段 DH上截取CH=CA，连结DH． ∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°． 又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF． 又BD=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD． ∴AD=HD，∠ADB=∠HDC． 又AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°． ∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°． ∴∠ADB＝∠HDB． 又AD=HD， DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF． ∴CF＝CH＋HF=AB＋AF． 9. （2011湖南邵阳，19，8分）在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。 （1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明； （2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形。（写出你所添加的条件，不要求证明） 【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形。证明如下： 连结AC，BD，由E，F，G，H分别是所在边的中点， 知EF∥AC，且EF= AC，GH∥AC，且GH= AC， ∴GH∥EF，且GH=EF，四边形EFGH是平行四边形。 10．（2011湖南益阳，15，6分）如图6，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD =DC， 求证：AC是∠DAB的平分线． 【答案】解：∵ ， ∴ . ∵ ，∴ . ∴ ， 即 是 的角平分线. 11. （2011湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1． （1）证明：△ABE≌△CBD； （2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）； （3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论； （4）求线段BD的长． 【答案】⑴证明： ， ， ．　 ， ， ， ． 　 　 在 ．　 ⑵答案不唯一．如 ． 证明： ， ， ． 　 其相似比为： ． ⑶ 由（2）得 ， ． 　 同理 . ． ⑷作 ， ， ． ， ， ， ．　 ， ， ． 12. （2011江苏苏州，23,6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E. （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数. 【答案】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC. 又∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB. 在△ABD和△ECB中， ∴△ABD≌△ECB. （2）解法一：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=65°. 又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°. ∴∠DCE=90°-∠EDC=25°. 解法二：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠BCD=65°. 又∵∠BEC=90°，∴∠BCE=40°. ∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=25°. 13. （2011湖北黄石，19，7分）如图（6），在中，AD∥BC，AB＝DC，E是BC的中点，连接AE，DE，求证：AE＝DE 【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形 ∴∠B＝∠C ∵E是BC的中点 ∴BE＝EC 在△ABE的△DCE中 AB＝DC ∠B＝∠C BE＝EC ∴△ABE≌△DCE ∴AE＝DE 14. （2011广东茂名，22，8分）如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2． (1)求证：OD＝OE；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (3分) (2)求证：四边形ABＥD是等腰梯形；　　　　　　　　　　　　　 　　　(3分) (3)若AB＝3DE, △DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积．　　 　　　　 (2分) 【答案】(1)证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC ， ∴∠BAD＝∠ABE， 又∵AB＝BA、∠2＝∠1， ∴△ABD≌△BAE(ASA)， ∴BD＝AE，又∵∠１＝∠２，∴OA＝OB， ∴BD－OB＝AE－OA，即：OD＝OE．· (2) 证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE， ∴∠OED＝ －∠DOE)， 同理：∠1＝ －∠AOB)， 又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB， ∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行， ∴四边形ABED是梯形，　又由(1)知∴△ABD≌△BAE，∴AD＝BE ∴梯形ABED是等腰梯形． (3)解：由(2)可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB， ∴ ，即： ， ∴△ACB的面积＝18， ∴四边形ABED的面积＝△ACB的面积－△DCE的面积＝18－2＝16 ． 15. （2011山东东营，19，8分）(本题满分8分)如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC= ；延长CD到点E，连接AE，使得∠E= ∠C。 （1）求证:四边形ABDE是平行四边形； （2）若DC=12，求AD的长。 【答案】（1）证明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，∴∠ABC+∠BCD=180° ∴AB∥DC。即AB∥ED。 又∵∠C=60°，∠E= ∠C，∠BDC=30° ∴∠E=∠BDC=30° ∴AE∥BD 所以 四边形ABDE是平行四边形 （2）解：由第（1）问，AB∥DC。 ∴四边形ABCD是梯形。 ∵DB平分∠ADC，∠BDC=30° ∴∠ADC=∠BCD=60° ∴四边形ABCD是等腰梯形 ∴ BC=AD ∵ 在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30° ∴ ∠DBC=90°。又已知DC=12 ∴AD=BC= DC=6 16. （2011重庆市潼南,24,10分） 如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC. ⑴ 求证：AD=AE； ⑵ 若AD=8，DC=4，求AB的长. 【答案】解：（1）连接AC -------------------------------1分 ∵AB∥CD ∴∠ACD=∠BAC ∵AB=BC ∴∠ACB=∠BAC ∴∠ACD=∠ACB --------------------------------2分 ∵AD⊥DC AE⊥BC ∴∠D=∠AEC=900 ∵AC=AC --------------------------------3分 ∴△ADC≌△AEC -------------------------------4分 ∴AD=AE --------------------------------5分 （2）由（1）知：AD=AE ，DC=EC 设AB＝x, 则BE=x－4 ，AE=8 -----------------------6分 在Rt△ABE中 ∠AEB=900 由勾股定理得： ----------------------8分 解得：x=10 ∴AB=10 ----------------------10分 17. （2011山东枣庄，24，10分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°， ， 交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF． （1）证明： ； （2）当 时，求EF的长． 解：（1）过D作DG⊥BC于G． 由已知可得，四边形ABGD为正方形． …………１分 ∵DE⊥DC， ∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG， ∴∠ADE=∠GDC ． ………………………3分 又∵∠A=∠DGC，且AD=GD， ∴△ADE≌△GDC ． ∴DE=DC，且AE=GC． ……………………4分 在△EDF和△CDF中， ∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边， ∴△EDF≌△CDF． ∴EF=CF ． …………………………………6分 （2）∵tan∠ADE= = ， ∴ ． ………………………7分 设 ，则 ，BE=6－2=4. 由勾股定理，得　 ． 解之，得　 ， 即 ． …………………10分