三种群竞争系统的持久性

⑧ 生 物 数 学 学 报 , 魂 一 三种群竞争系统的持久性 刘会民 刘 兵 鞍山师范学院 生物致学研究所 , 辽宁 鞍山 摘 要 本丈研宪 了三种拜扑自治周期 , 竟争来统的特久性 得到 了正周期 解的存在性和平璐抓荡的牵件 关扭词 竞争水统 周期解 全局渐近德定 中圈分类号 分类号 文献探识码 文章编号 一 为 一 一 引 言 关于群落的 模型已有很多学者研究 , 】 在以往讨论的生态系统的模型 中 , 一般都假定环境因素是常定的 实际上恒定的环境是不存在的 , 通常的环境因素都是变化 的 为了更精确地描绘生态现象 , 我们应该在种群所依存的变化环境中相应地建立时变环境因 素 , 特别是周期系数的模型 本文就周期环境中三种群竞争系统建立模型如下 亡 , 艺 一 二 亡 一 亡 亡 一 亡 , ￡ 艺 一 一 亡 亡 一 艺 艺 , 艺 一 艺 才 一 艺 艺 一 亡二 ‘ 、、,产、声、、,声子‘涪乙尸矛、了 、了万气 ︸ ·公··了,、‘ 其中 ‘ 约和 入只约 ￡, , , 是定义在 , 上以正常数为上下界的连续的 周期函数 由生态学意义 , 我们只在第一象限研究系统 引进相应记号 , 七 严 并假设系统 满足 收稿日期 荟全项目 作者简介 一 一 辽宁省教委和鞍山师范学院自然科学荃金资助项目 刘会民 一 , 男 , 辽宁鞍山人 , 鞍山师范学院生物研究所副教授 硕士 · 第 期 刘会民等 三种群竟争系统的持久性 一致持缤生存 引理 如果系统 的解之初值大于 或大于等于 零 , 则其解也保持大于 或大于等于 零 即 碑 为系统 的不变集 · 这一结论只要由 一“’ 一‘”,二 关 一“, 一‘ ,二 关 一“, 一‘ ,二 关 一 二 一 一 , 一 一 一 飞 一 。 二 。 一 。 一 即知引理 成立 引理 如果 满足 二 从 吞一 , ‘ , 从 ‘ ‘ , , 其中 , 石为确定的常数 则其解如一山 , 亡 证 由于 粤 。,‘一 。讨 , 故 乙 “ 一 十 一 二二 , 一 】一 甘‘ 从 虹 一 吞, 厂‘ , 。 ‘ 一 ‘ 两边从 到 积分得 一 , ‘ ‘ 一 、‘ 关 ‘一‘, 一 苦一 “ ‘, · 奸“ ,一“‘ 苦“一“ ‘ , 一 会【‘ 渝 一 、 一 从而 夕‘ 艺 一 会【‘ 渝 一 一 一 ‘ · 证毕 · 引理 设系统 的系数满足条件 , 则 , , 夕三 ‘ , 三 严 , , 生 物 数 学 学 报 第 卷 是系统 的正不变集 其中 了一入一一 产进一。,︸月︸,︸工甲上门‘ 一严 么’ 。熟晶于 二梦二 梦 一 , 梦一 性熟, 梦 、布了、、矛翻上了‘ 、了‘‘,、 乙塌一塌一石一‘丝禹竺志,一河,万一 么晶崎一 兴 一 。笼。么梦 笠 。么熟咭 一 舒喻小 一 碟 寸 盔 证 由引理 知 草是系统 的不变集 · 么。熟 故 云 , 三 , , 护一 么二 , , 由引理 及比较定理可知 一, ,五 几了 , 了 一 了 了 , 、 一 尸 ‘ 、 一飞 , 一卜 吸 气 , , 尸 一 一 乞 扒 因此当 、、少八︸ 了、时 共 三 二笋 而 三 梦一 熟 , 、 、刀任门人了、 子‘了注工,马︸人一 一 。 故有 二 、 一 , 了 、 一 理 叫十 一犷 了了了 一 ‘、 内 、、 “ 山 又 , 因此当 三 同理 , 由 云 , 三 梦一 晶 今 理 共 三理及 可得 、 飞一 三斗 下拼斗不 一 一犷‘ 孔 蕊 因此当 人 三等 衅 幼 约三诊于 口 , 由 及 可知 云 , 全 , 李一 牡 一 性 一 性 。性梦 熟 性梦 晶 一答一“ 矛矛吸、、、 、、了子‘‘ 几、 一 第 期 刘会民等 三种群竞争系统的持久性 由条件 及引理 和比较定理有 、、了了 一 一 , 亡 全 品晶叶一 晶梦 一 性熟, 梦 。熟晶叶一 。涯晶谬 一 性吃尸了卜、、 尸万里刀卫 乳答 熟晶件 , 魂一吃 一, 子‘性梦厂垒墨里 、 “ 丝军旦一 一 子 月 为 古 户 , 叹 口曰 工 因此当 全喻 叶 一 。性晶谬 一 喂 熟梦 答。熟晶 二 叶幼 二 全计 由 及 , 可得 ‘ ‘ 全 ‘ 夕一 红 一 笑 一 笼刃 , 、 沙 咭月呈子一一 一 竺兴三 一 哎 再由条件 及引理 和比较定理得 、、 ︵上 一 一 乳 。么晶蜡一 奸晶俨一 轰 梦 么 盆么晶 、、 ,上 一 一 笼么, 梦子一洲,万一二 艺 全 么 。晶蜡 二 一, 呼‘ 、飞 ,产 一 二 劣护 笼, 梦 么 晶 因此当 二 全 晶夕 一 红晶小 一 笼硫谬 熟么晶 砖带 二 全砖 同理由 及 得 云 ‘ 全二 ‘ , 全一 红二 一 篓二 一 聂 、、 劣一沙 叶“ 一 哭奸严 要梦么 熟 再由条件 及引理 和比较定理得 、、户 ﹁ 一 艺 全 。么。熟咭一 哎 。熟小 一 要哈谬 。么熟咭一 舒熟护一 韶。么梦 鸽么熟 纸么熟 二 奸护 几“ 产 宁 一甲万尸一 一 了 一 , 万。 “ , 、、 ,, ,二 一﹃厂胜 乙 。么 因此当 全 么 。熟崎 一 。红。轰, 护一 篓。么梦 维 一 蜡幼 全 会 生 物 数 学 学 报 第 卷 由条件 知 于 ‘ , , 又显然有 计 严 , , , 并由 , , , , , , , 引理 成立 定理 如果系统 的系数满足条件 , 则系统 是永久持续生存的 证 由 , , , , , 及引理 知存在 。‘ , , 使得 几 二 , , 计 一 , 二 俨 , 蜡 一 梦 , 蜡 一 。 梦 是系统 的不变集 , 故系统 是永久持续生存的 证毕 周期解 定义系统 在 牵中的范数为 日 渭慧 ‘ , , 勺 任 豪, 记系统 对 应于初值 。 二 谓 , 二吕, 诏 任 斗的唯一解为 , 。 , 。 , 二 , , 。 , , , 。 , , , 定义 ‘映射 草、 牵 。 , 。 于是算子 的不动点就对应于系统 的一个 周期解 周期解的存在性问题转化为算子 的不动点的存在性 定理 若系统 的系数满足 , 则系统 至少存在一个严格正的 周期解 证 考虑集合 , , , 。 朝 , , 久 , 口, 任 沐 全 和 的交 , 显然它是 幸中的有界闭凸集与系统 的不变集 , 即 “ 任 共 , 。 任 , 次 全 因而 , , 。 任 时 , 由解对初值的连续相依性可知算子 是连续的 由映射 的 不动点定理 , 算子 在 中至少存在一个具有正分量的不动点 , 由 的不变性 , 对应的周期解是严格正的 全局渐近稳定性和唯一性 设 ‘ ‘ , ‘ , 。 ‘ 任 斗是系统 的严格正周期解 , ‘ , ‘ , ‘ 是 的任一其它解 , 且 云 , , 定义 是全局渐近稳定 , 当且仅当 呱 ”‘ ‘ 一 ‘ ‘ , ‘ ‘, “ , , ‘全 对于任一其它的 的满足初始值 , , , 的解均成立 在此意义下周期解的全局渐近稳定性必然导致周期解的唯一性 定理 若系统 满足条件 , 则系统 存在唯一全局吸引的周期解 即系统 存 在平衡振荡 证 设 。 , 。 , 是由定理 得到的一个正周期解 , , 艺 , , 气, 艺 是系统 的任一具有正初值 二 , ‘ , , 的解 则可令 试 , , ‘ , 第 期 刘会民等。 三种群竞争系统的持久性 、 艺 ‘ , , , 则 认‘ 一 戈‘ , 一 ‘ ‘ 一 ‘ 一 ‘ , 【巧 ‘ 一 ‘ 一 ‘ , 。竹 ‘ 一 。 · ‘ , , , 构造 函数 , 艺 认 , 一 龙 ‘ , ‘全。 艺艺 试 艺 一 ‘ 艺 城 艺 一 试 艺 一 亡 磷 老 一 ‘ 艺 认 一 ‘ 艺 占、 ‘ , , 则 占‘ 土 三一占 , 一 ‘ , , 一 ‘ 。 。 ‘ 一 。 ‘ 一占 艺 一 ‘ ‘ 一 占 妈 ‘ 一 。 ‘ 一占 ‘ 一 占 ‘ 一 占 , ‘ 一 。 ‘ 三一 ‘ 艺 艺 , ‘ ‘ 一 。 ‘ 一 艺 ‘ 价 ‘ 一 。 ‘ 一 艺 巧 ‘ 一 。 ‘ 由于 宙八 , 二 , , 是 , 上的周期函数且 入 , 。 取 , , 艺 , , , 亡 亡 艺川 从而有 ,自一一。。二、 , 二一 艺 “ , 一 “ ’ 一 艺 。‘ ‘ 一 ‘ ‘ 积分不等式 得 薯‘‘亡,一 凡“,‘ ·关艺 ‘ 一 二‘ 三‘ 〕 因此必有 事实上 , 由 知 , 呱 ”‘ ‘ 一 ‘ ‘ , ‘ ‘, , , 在 , 上是单调递减的 , 从而 三 , 三 全 由于 是正的周期函数 , 故 日 , 。 使得 三 ‘ 艺 三 , , 从而 认 ‘ 才 是有界的 而 、老 ,三 ‘ 亡 一 认仁 从仁 , 所以 弋仁 , 生 物 数 学 学 报 第 卷 也有界 , 因此存在 。 , 使得 ‘ 艺 三 , 与 认 艺 三 , , 又 ‘ 艺 一 ‘ 。叭 ‘ 一 ‘ 卜 挤 , ‘ ‘ 一 、 可推出 、 亡 一 试 艺 三 、 一 。‘ 艺 三 、 一 , , 其中 ‘ 是 ‘ 与 之间的一个有界函数 , 。 二 。一 , 二 井 十 三。 一 。、艺 一 二‘ 艺 一 。井 否则 , 假设 , 则有 才 全 , 艺任 百 , , 幼 三 一 , 井 一 , ‘ 任 , 幼 当 全 时 , 则 矛盾 由于 ‘ 艺 一 。‘ 亡 三 ‘ ￡ 一 铸。 三 。 , 所以必有 式成立 定理 的生态意义是 , 三种群竞争系统 的系数满足一定条件时 , 三种群密度呈周期振 荡且一致持续生存 例 子 为了说明条件 及 对于系统 是可行的 , 给出例子如下 劣 二 念 ‘ ‘一 ’一告一 一 ‘一 如一 一祠 门户、卜、 一 告一去“ 一司 、、 一一 。公 容易验证系统 满足条件 , 应用定理 和定理 可知系统 有唯一严格 正 周期解且该周期解全局渐近稳定 记此解为 。 , 则有 · 。 号 , 昌 · , 昌 · ‘ , 暑 所有其它正初值解最终趋于 。 约 【参 考 文 【 陈兰荪 , 陈健 非线性生物动力系统 卿 北京 科学出版社 , 胡 一 马知思 种群生态学的数学模型与研究 】合肥 安徽教育出版社 , , 一 · 周义仓 , 赫孝良 数学建棋实脸 】西安 西安文通大学出版社 , , 一 · ’ 陆忠华 , 陈兰荪 周期系数三种群 、 混合模型【 纯粹数学与应用数学 , , 一 · 【」 · 盯 」 · , , , 一 一 一 亡‘ 。才 ‘ 云 二 ‘ , 夕 , 落 。艺。夕 ‘ 第 期 刘会民等 三种群竞争系统的持久性 一 一 甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲 欢 迎 投 稿 《生物数学学报 》是 中国数学会生物数学学会主办 、 料学出版社 出版的琼合性生物数学 学术刊物 刊登用数学的理论与方法解决农 、 林 、 软 、 医药、 生态以及有关生命科学等方面问 题的论文以及在理论和方法上有所发展的研究及研究等 它的任务是推动我国生物数 学的研究和人才的培养 , 反映生物数学的最析成果 , 促进国内外学术交流 , 为我国的社会主义 现代化建设服务 读者对象是 国内外本学科范围的科技工作者 来稿务必注明 美国数学会 年分类号 、 中困分类号 , 其它具体要求参见 年 《 生物数学学报 》征稿简则 来稿寄 辽宁省鞍山 师范学院 信箱 《生物数学学报 》编样部 收 联系电话 一 叮以 ”场腼