广东梅州

2009年梅州市初中毕业生学业考试 数 学 试 卷 ：本试卷共 4 页，23 小，满分 120 分．考试用时 90 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、试室号、座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．本试卷不用装订，考完后统一交县招生办（中招办）封存． 参考公式： 抛物线 的对称轴是直线 ， 顶点坐标是 ． 一、选择题：每小题 3分，共 15 分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的． 1． 的倒数为（ ） A． B．2 C． D． 2．下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） 3．数学老师布置10道填空题，测验后得到如下统计表： 答对题数 7 8 9 10 人 数 4 20 18 8 根据表中数据可知，全班同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是（ ） A．8、8 B． 8、9 C．9、9 D．9、8 4．下列函数：① ；② ；③ ；④ ．当 时，y随x的增大而减小的函数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．一个正方体的表面展开图可以是下列图形中的（ ） 二、填空题：每小题 3分，共 24 分． 6．计算： ． 7．梅州是中国著名侨乡，祖籍在梅州的华侨华人及港澳台同胞超过360万人，360万用科学计数法表示为 ． 8．如图1，在 中， ，则 _______度． 9．如图2 所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度． 10．小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图3所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是 ． 11．已知一元二次方程 的两根为 ，则 ___________． 12．如图4，把一个长方形纸片沿 折叠后，点 分别落在 的位置．若 ，则 等于_______度． 13． 如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个． 三、解答下列各题：本题有 10 小题，共 81 分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 14．本题满分 7 分． 如图 6，已知线段 ，分别以 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连结CQ与AB相交于点D，连结AC，BC．那么： （1）∠ ________度； （2）当线段 时， ______度， 的面积等于_________（面积单位）． 15．本题满分 7 分． 星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家 的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图7所示． 根据图象回答下列问题： （1）小明家离图书馆的距离是____________千米； （2）小明在图书馆看书的时间为___________小时； （3）小明去图书馆时的速度是______________千米/小时． 16．本题满分 7 分． 计算： ． 17．本题满分 7 分． 求不等式组 的整数解． 18．本题满分 8 分． 先化简，再求值： ，其中 ． 19．本题满分 8 分． 如图 8，梯形ABCD中， ，点 在 上，连 与 的延长线交于点G． （1）求证： ； （2）当点F是BC的中点时，过F作 交 于点 ，若 ，求 的长． 20．本题满分 8 分． “五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图9．根据统计图回答下列问题： （1）前往 A地的车票有_____张，前往C地的车票占全部车票的________%； （2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为______； （3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法，这个规则对双方是否公平？ 21．本题满分 8 分． 如图10，已知抛物线 与 轴的两个交点为 ，与y轴交于点 ． （1）求 三点的坐标； （2）求证： 是直角三角形； （3）若坐标平面内的点 ，使得以点 和三点 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程） 22．本题满分 10 分． 如图 11，矩形 中， ．点 是 上的动点，以 为直径的 与 交于点 ，过点 作 于点 ． （1）当 是 的中点时： ① 的值为______________； ② 证明： 是 的切线； （2）试探究： 能否与 相切?若能，求出此时 的长；若不能，请说明理由． 23．本题满分 11 分． （提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形） 如图 12，已知直线 过点 和 ， 是 轴正半轴上的动点， 的垂直平分线交 于点 ，交 轴于点 ． （1）直接写出直线 的解析式； （2）设 ， 的面积为 ，求 关于t的函数关系式；并求出当 时， 的最大值； （3）直线 过点 且与 轴平行，问在 上是否存在点 ， 使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． 2009年梅州市初中毕业生学业考试数学 参考答案及评分意见 一、选择题：每小题 3分，共 15 分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的． 1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 二、填空题：每小题 3分，共 24 分． 6． 7． 8．40 9．4（1分），72（2分） 10．小张 11． 12．50 13．7（1分）， （2分） 三、解答下列各题：本题有 10 小题，共 81 分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 14．本题满分7分． （1）90 2分 （2）30 4分 7分 15．本题满分 7 分． （1）3 2分 （2）1 4分 （3）15 7分 16．本题满分 7 分． 解： ． 4分 6分 7分 17．本题满分 7 分． 解：由 得 ， 2分 由 ，得 ． 4 分 所以不等式组的解为： ， 6 分 所以不等式组的整数解为：1，2． 7 分 18．本题满分 8 分． 解： 3分 6分 当 时，原式 ． 8分 19．本题满分8 分． （1）证明：∵梯形 ， ， ∴ ， 2 分 ∴ ． 3分 （2） 由（1） ， 又 是 的中点， ∴ ， ∴ 6分 又∵ ， ， ∴ ，得 ． ∴ ， ∴ ． 8分 20．本题满分 8 分． 解：（1）30；20． 2 分 （2） ． 4 分 （3）可能出现的所有结果列表如下： 　小李抛到 的数字 小张抛到 的数字 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 或画树状图如下： 共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）， ∴小张获得车票的概率为 ；则小李获得车票的概率为 ． ∴这个规则对小张、小李双方不公平． 8 分 21．本题满分 8 分． （1）解：令 ，得 ，得点 ． 1分 令 ，得 ，解得 ， ∴ ． 3分 （2）法一：证明：因为 ， ， 4分 ∴ ， 5分 ∴ 是直角三角形． 6分 法二：因为 ， ∴ ， 4分 ∴ ，又 ， ∴ ． 5分 ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 是直角三角形． 6 分 （3） ， ， ．（只写出一个给1分，写出2个，得1.5分） 8分 22．本题满分 10 分． （1）① 2分 ②法一：在矩形 中， ， ，又 ， ∴ ， 3分 得 ， 连 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， 4 分 ∵ ， ∴ ， ∴ 是 的切线 6分 （法二：提示：连 ，证四边形 是平行四边形．参照法一给分．） （2）法一：若 能与 相切， ∵ 是 的直径， ∴ ，则 ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，设 ，则 ，得 ， 整理得 ． 8 分 ∵ ， ∴该方程无实数根． ∴点 不存在， 不能与 相切． 10分 法二： 若 能与 相切，因 是 的直径，则 ， 设 ，则 ，由勾股定理得： ， 即 ， 整理得 ， 8分 ∵ ， ∴该方程无实数根． ∴点 不存在， 不能与 相切． 10分 （法三：本题可以通过判断以 为直径的圆与 是否有交点来求解，参照前一解法给分） 23．本题满分 11 分． （1） 2分 （2）∵ ，∴ 点的横坐标为 ， ①当 ，即 时， ， ∴ ． 3分 ②当 时， ， ∴ ． ∴ 4分 当 ，即 时， ， ∴当 时， 有最大值 ． 6分 （3）由 ，所以 是等腰直角三角形，若在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，所以 ，又 轴，则 ， 两点关于直线 对称，所以 ，得 ． 7 分 下证 ．连 ，则四边形 是正方形． 法一：（i）当点 在线段 上， 在线段 上 （ 与 不重合）时，如图–1． 由对称性，得 ， ∴ ， ∴ ． 8分 （ii）当点 在线段 的延长线上， 在线段 上时，如图–2，如图–3 ∵ ， ∴ ． 9分 （iii）当点 与点 重合时，显然 ． 综合（i）（ii）（iii）， ． ∴在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形． 11 分 法二：由 ，所以 是等腰直角三角形，若在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，所以 ，又 轴， 则 ， 两点关于直线 对称，所以 ，得 ． 7 分 延长 与 交于点 ． （i）如图–4，当点 在线段 上（ 与 不重合）时， ∵四边形 是正方形， ∴四边形 和四边形 都是矩形， 和 都是等腰直角三角形． ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 8分 （ii）当点 与点 重合时，显然 ． 9分 （iii） 在线段 的延长线上时，如图–5， ∵ ，∠1=∠2 ∴ 综合（i）（ii）（iii）， ． ∴在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形． 11分 法三：由 ，所以 是等腰直角三角形，若在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，所以 ，又 轴， 则 ，O两点关于直线 对称，所以 ，得 ． 9分 连 ，∵ ， ， ， ∴ ， ． ∴ ，∴ ． 10分 ∴在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形． 11分