一元连续函数的一个性质及其应用.

一元连续函数的一个性质及其应用 一元连续函数的一个性质及其应用 叶留青 杨秀芹 焦作师范高等专科学校数学系 河南焦作 454001 树立函数观点，突出函数思想，培养函数思维模式，运用函数，是初等数学教育教学的重要内容之一。幂平均不等式实质上是幂函数的一个性质，它是否还可以改进，一般一元连续函数是否也具有类似的性质？我们对此问进行探讨明，利用所给出的定理证明不等式时，思路通畅，作题，步骤简便，使有些证明难度较大的不等式问题变得比较简单，也加深了学生对函数思想和函数方法的运用和理解，为发现不等式，解决不等式问题开辟了一条新途径。 1.关于一元连续函数的一个性质定理 设 ，则幂平均不等式可表示为 （1） 其中 ， （2） 其中 ， 1.1引理 设 是区间 上的连续函数， ，且 。用 表示点 （下同），则点 在以点 和点 为端点的线段 上。 证明 因为 ＝ ＝ ＝0 基金项目:全国教育科学十五规划课题(FIB030837)子课题,河南省教育厅课程教学改革项目（C2803） 作者简介：叶留青（1965-），男，河南汝南人， 硕士，焦作师专数学系教授，从事数学课程与教学论研究。 所以点 ， ， 共线。由 易知 ，故点 在线段 上。 1.2 定理 函数 在区间 上， （1）若 是增函数，则对于 有 （2）若 是减函数，则对于 有 （3）若 是常函数，则对于 有 证明（1）不妨设 ，曲线 上横坐标为 的点为 ,弦 与弧 围成的区域（包括边界）为 （如图） 下面先证明：对于任意自然数 点 在 上。当 时， ,所以点 在 上。假设点 时 ，点 在 ,已知点 在弧 上，所以线段 的两端点都在 上。因为 在 上是增函数，所以曲线 在 上呈下凸形状，于是知线段 所有点都在 上。因为 ，所以由引理知点 在线段 上，从而知点 也在 上。所以对于任意自然数 点 都在 上。 点 在 上，而点 在弧 上，注意到 ,于是 ，即 . 同理可证明（2）. （3）因 是常函数，故可设 ，于是 2.定理应用 一元连续函数的图像或凸或凹或直总是普遍存在的，而高中数学新编教材增加导数内容后，为判断一元连续函数的凸凹性提供了有力工具，这就为运用定理证明不等式，发现不等式，解决不等式问题开辟了新途径。 2.1改进幂平均不等式 长期以来，在应用幂平均不等式时，只考虑幂指数 或 ，缺失了 的情况，如文〔1〕和文〔2〕。事实上，当 时，幂函数 的导数 在 上是增函数，由定理知，对于 ，有 许多与幂平均不等式有关的命题也应改进。例如文〔2〕给出的经多次推广而得到的一个不等式：若： ,且 则 中 和 的取值范围应改进为 或 ； 或 。顺便说明一下，该不等式还可以推广为 若： ， 或 ； 或 ， ，则 ，因证明思路与文〔2〕中对原不等式的证明类同，故从略。 2.2导出几个重要不等式 由于一元连续函数的导数的单调性与函数图像的凸凹性是等价的，因而根据几个常见函数图像的凹凸性，即可得出下面几个重要不等式 1. 弦平均不等式 若 ，则有 若 ，则有 2 .切平均不等式 若 ，则有 若 ，则有 3. 对数平均不等式 若 则 若 ，则 4 指数平均不等式 若 且 ，则 2.3简证一类不等式 许多不等式问题，一旦与一元连续函数起来以后，利用所给定理去解决，顺畅，简便，得心应手。 例1 设正数 之和为 ，求证： （1976年英国数学竞赛题） 证明：设 ，则 ，当 时， 是增函数，由定理知，当 ，且 时， ，于是得 ，故原不等式成立。 例2 设 求证 （1998年第二届“友谊杯”国际数学竞赛题） 证明：设 ，则原不等式等价于不等式 设 ，则 ，在 上是增函数。因 ，且 ，由定理知 ，于是得 ，故原不等式成立。 例3 设 ， ，则有 ，该不等式是文〔4〕给出的重要定理，其证明难度较大。 证明：设 ，则 ，在 上是增函数。因 ， 由定理知 ，于是有 。 例4证明对任意 ，有不等式 （第26届全俄数学竞赛奥林匹克试题） 证明：设 ，则原不等式等价于 ， 设 ，则 ，在 上是增函数。由题意知 ，由定理知 ，于是得 ，故原不等式成立。 例5 设 ，求证： 证明：原不等式等价于不等式： 设 ，则 ， 原不等式又等价于不等式： ，设 ，则 ，在 上是增函数。因 ，由定理知 于是有 ，故原不等式成立。 例6 设 ， 求证： （数学通报2004.1第1474号问题） 证明：设 ， 原不等式等价于不等式 设 ，注意到 ，则 ，在 上是增函数。因为 ， 由定理知 于是得 ，故原不等式成立。 例7 设 ，且 求证： （36届IMO试题） 证明：设 ，原不等式等价于不等式 ，令 ，则 ，于是原不等式又等价于不等式 ，设 ，则 ，在 上是增函数，由定理知 时 ， 于是得 ，故原不等式成立。 例8 设 均为锐角，且满足 ，求证： （数学通报839号问题） 证明：原不等式等价于不等式 ，设 ，则 ，于是原不等式等价于不等式： ，设 ，则 ，由定理知 ，于是得 ，故原不等式成立。 例9 设正数 ，满足 ，试证： （31届IMO试题） 证明：设 ，则原不等式等价于不等式 设 ，则 ，在 上是增函数。因为 ，由定理知 ，于是得， ，故原不等式成立。 利用定理还可以证明下列不等式： 1、证明不等式 2、已知 ，求证 3、设 ，且 ，求证： （1984年巴尔干数学竞赛题） 4、若 且 求证 （Shopiro不等式） 5、设 ，求证 （1963年莫斯科数学竞赛试题） 6、设 是 的三边，求证： （数学通报2003.1第36页题） 7、在 中，求证 （数学通报1995.2第936号问题） 可见，如果说函数单调性常用的话，那么文中函数凹凸性的运用，拓宽了不等式的空间，也是高等数学增加了导数内容后的必然要求，这为运用定理证明不等式，发现不等式，解决不等式问题开辟了一条新途径。 参考文献 [1]原北京矿业学院高等数学教研组编著.《数学手册》[M]. 北京：高等教育出版社，1959 [2]宋庆.一个分式不等式的再推广[J].数学通报,2006.5 [3]刘南山.也谈一类竞赛不等式创新证法[J].数学通报,2006.5 [4]徐丹，杨露. 一个不等式的再推广[J].数学通报 2001.10 [5]叶留青.大学文科数学.M].山头大学出版社,2005 [6]贾长虹，叶留青.新课程教学中数学应用意识和能力的培养[J].教学与管理,2006（8）