基于均匀化方法的双向铺层层板弹性性能计算及优化设计

基于均匀化方法的双向铺层层板弹性性能计算及优化设计 Ξ APPLICATION OF HOMOGENIZATION METHOD IN PREDICTION OF ELASTIC AND NATURAL FREQUENCY OPTIMAL DESIGN FOR BI2ANGLE2PLY LAMINATE 李 　ΞΞ 　徐丽娜 　 　张 　放 (北京航空航天大学 飞机设计研究所 ,北京 100083) LI Shu 　XU LiNa 　ZHAN G Fang ( Institute of Aircraft Design , Beijing University of Aeronautics and Astronautics , Beijing 100083 , China) 摘要 　基于均匀化方法对双向铺层复合材料层板等效弹性参数进行预估 ,通过均匀化方法有限元模型的分析 ,说明 对双向铺层弹性参数单胞模型处理是合理的。在预估的等效弹性参数基础上 ,对其自振频率进行优化设计 ,结果明文 中方法是可行的。 关键词 　复合材料层板 　均匀化方法 　优化设计 中图分类号 　TB33 　O223 　TB303 Abstract 　The finite element method is combined with homogenization theory for predicting the properties of composite materials. Discuss finite element model of the homogenization method to determine the reasonable of bi2angle2ply laminate by considering their mi2 crostructure. After obtained predicting elastic constants , the natural frequency optimal design is also studied in this paper , the result shows the method in this paper is feasible. Key words　Composite laminate ; Homogenization ; Optimal design Corresponding author :LI Shu , E2mail : lishu @buaa. edu. cn , Tel : + 86210282316579 , Fax : + 86210282328501 The project supported by the Aeronautic Basal Science Foundation (No. 02B51060) ,the Aeronautic Support Science and the Techn2 ology Foundation (No. 01A51007) and the National Defence Prestudy Foundation of China. Manuscript received 20040509 , in revised form 20040616. 1 　引言 复合材料具有可设计性 ,比强度和比刚度大等很 多优点 ,因此在航空航天等领域得到广泛应用。复合 材料的许多特点与它本身的微观结构形式有关 ,同时 这种微观结构也使复合材料力学性能的分析变得更加 困难。均匀化理论认为复合材料由极为细小的微结构 组成 ,这些微结构在微观的尺度上是呈周期性排列的 , 基于这种假定 ,如果微结构的尺寸趋近于零时 ,可以通 过取极限的方法求得材料的性能。法国科学家在上世 纪 70 年代提出均匀化方法 ,并将其应用到具有周期性 结构的材料分析中[1～3 ] ,目前该方法已成为分析含孔 隙材料 (如纤维增强复合材料、混凝土材料等) 等效模 量的重要方法 ,也是材料细观结构拓扑优化[4 ,5 ]的重要 工具之一。均匀化方法有比较坚实的数学基础 ,有研 究表明 ,即使在实验数据不完全的情况下 ,其甚至仍然 可以给出某些问题的合理解。 目前用均匀化方法预估复合材料等效弹性参数都 是针对单向层板 ,双向铺层复合材料层板是一种常见 的结构 ,本文基于均匀化方法对双向铺层复合材料层 板等效弹性参数进行预估 ,均匀化是建立在单胞分析 模型基础上 ,目前有关文献基本上没有考虑纤维交叉 对均匀化处理的影响 ,本文也忽略这种影响。通过对 均匀化方法有限元模型的分析 ,对双向铺层弹性参数 单胞模型的处理是合理的。在预估的等效弹性参数基 础上 ,对其刚度及自振频率进行优化设计 ,结果表明本 文方法是可行的。 2 　基于均匀化方法分析双向铺层复合材料性 能参数预估 　　均匀化理论预测复合材料的宏观等效力学性能 , 本质上是将非均匀介质进行均匀化等效的问题。解决 这一问题的基本思想是 ,将非均匀介质等效为理想的 Journal of Mechanical Strength 2005 ,27(5) :616～619 ΞΞΞ 李　书 ,男 ,1965 年 1 月生 ,江苏镇江市人 ,汉族。北京航空航天大学飞机设计研究所所长 ,飞机系副主任 ,教授 ,研究方向为飞行器结构设计 , 在国内外核心刊物上发表论文 30 余篇 ,获航空部科技进步三等奖。 20040509 收到初稿 ,20040616 收到修改稿。航空基础科学基金 (02B51060) 、航空支撑科技基金 (01A51007) 、国防预研基金资助项目。 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 均匀介质 ,该均匀介质具有与非均匀介质宏观等效的 物理性质。假设单向纤维增强复合材料单层板为如图 1 所示的理想情况 ,在这种情况下 ,可以认为复合材料 在 y1 方向上具有周期性 ,并且取单胞为含有单根纤维 的方柱体加以分析 ,而边界条件是在 y1 方向上的两边 固支。 图 1 　复合材料的周期性结构及单胞 Fig. 1 　A periodic configuration and unit cell 　 2. 1 　均匀化方法的有限元格式 由文献[6 ] ,复合材料的等效弹性常数矩阵为 [ EH ] =∫ Y s [ E ] - [ E ] [ L ] [ U ] d Y (1) 式中[ EH ] 为等效弹性常数矩阵 , [ E ] 为组分材料弹 性常数矩阵 , Ys 为单胞体积 , [ L ]、[ U ] 由下面各式求 出。 将单胞 Ys 剖分成 m 个单元、n 个节点 ,定义在单 胞 Y上的未知函数矩阵[Ψ] 和任意函数矢量 v 可写 成如下的离散形式 [ U ] = [ S ] [ ŠU ] (2) v = [ S ] [ €v ] (3) 式中形函数矩阵[ S ] 为 [ S ] = S1 I , S2 I , ⋯, S r I , ⋯, S n I 这里 I 是三阶单位矩阵 , [ ŠU ] 和 [ €v ] 分别是 [ U ] 和 v 的节点值。形函数 S r ( r = 1 ,2 ,3 , ⋯, n) 可在每个 单元内定义 ,并可取作单元的插值函数。 将式 (2) 和式 (3) 代入式 (1) , 并定义几何矩阵 [ B ] = [ L ] [ S ] ,则微观均匀化问题 (1) 的离散形式为 [ K] [ ŠU ] = F (4) 式中系数矩阵[ K] 和右端项 F 分别为 [ K] =∫ Y s [ B ]T [ E] [ B ]d Y (5) F =∫ Y s [ B ]T [ E ]d Y (6) 于是[ ŠU ] = [ K] - 1 F 可以求得 ,代入公式 (1) 可以得 到复合材料的有效性能参数。 2. 2 　双向铺层的层合板等效弹性模量的处理方法 增强纤维与 x 轴成θk 和 - θk 交叉铺层 (角标 k 表 示第 k 层) ,并且两向铺层的纤维相同 ,对于上面所提 出的双向铺层的层合板可以表示为如图 2 所示。 图 2 　双向铺层的层合板 Fig. 2 　Bidirectional laminate 　 图 3 　双向铺层层合板结果的单胞 Fig. 3 　Bidirectional laminate unit cell 　 假设每层铺设纤维的数目、性能均相同 ,只是铺设 角为双向的 (如图 3) ,把铺设角不同的各单层都转换 到 1 (纤维) 方向 ,并假设转换后每层的纤维均匀排列 , 这样可以认为该层合板的性能在 2 方向上是具有周期 性的。因此取其中的“一列”作为单胞。在给定单层板 性质的基础上 ,转换后的弹性矩阵各元素均为sinθk 或 cosθk 的函数 ,因此 ,它们都是θk 的奇函数或偶函数。 在本例给出的弹性纤维以相同角度双向铺层情况下 , 不同铺层角的单层板的转换折算刚度矩阵中 ,相对应 位置上的数值或者相等 ,或者互为相反数。因此 ,在求 等效弹性矩阵时 ,所有层数为偶数的层合板中 ,计算出 的结果是一样的。因此取其中的两行作为单胞 ,求解弹 性模量。 2. 3 　双向铺层的层合板等效弹性模量有限元模型特 点 根据均匀化有限元计算格式 , 对于三维有限元 (finite element method ,FEM) 而言 ,由方程 (6) 可以确 定 6 列“载荷”,再由方程 (4) 解出“位移”,每个节点上 的“载荷”和“位移”都有 x、y、z 三个方向的分量 ,其中 的一列载荷及相应的位移 3 个方向分量沿节点的分布 如图 4 所示。 计算结果表明所有方向的载荷和位移之和为零 , 即 ∑Fx = 0 　　∑Fy = 0 　　∑Fz = 0 ∑Ux = 0 　　∑Uy = 0 　　∑Uz = 0 (7) 均匀化方法本质上是一种在整个单胞上的平均意义处 理方法 ,上式说明本文对双向铺层的层合板的性能预 估模型的处理符合均匀化方法的思想。 3 　双向铺层层合板自振频率的优化设计 以双向铺层层合板作为研究对象 ,把基于均匀化 方法的弹性模量预估同复合材料层板自振频率优化设 计问题结合起来。以由 N 层等厚度层板组成的层合板 为例 ,定义其各单层板厚度为 h ,长宽比 aΠb = R ,如 图 5 所示。 3. 1 　刚度优化问题 　第 27 卷第 5 期 李 　书等 :基于均匀化方法的双向铺层层板弹性性能计算及优化设计 617 　 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 图 4 　基于均匀化方法的载荷及位移分布 Fig. 4 　Force and displacement distribution based upon Homogenization method 　 图 5 　层合板中的坐标系 Fig. 5 　Coordinates of the laminate 　 　　以各单层板的铺层角θk 为设计变量 ,以挠度 w 为 目标函数求挠度的最小值 ,便可求得相应的最优铺层 角θk ,这是一个具有 N 个设计变量的刚度无约束优化 问题。刚度优化问题的数学提法为求 n 维设计变量 θ = θ1 ,θ2 , ⋯,θn T 使目标函数为 min θ∈En f (θ) (8) 首先用均匀化方法计算角铺层层合板的等效刚度矩 阵 ,并将求得的等效刚度代入有限元方程中 ,建立目标 函数与等效刚度的关系 ,在这里目标函数为板中心的 挠度。挠度表示出来以后 ,就可以利用相应的优化方 法 ,求得挠度最小所对应的铺层角。 3. 2 　自振频率优化问题 层合板的自振频率由下式确定 Kx = ω2 Mx (9) 其中 K为刚度矩阵 , M 为质量矩阵 ,ω为自振频率 , x 为振型列阵。以各单层板的铺层角θk 为设计变量 ,为 避免发生共振 ,应使自振频率尽可能大 ,因此以自振频 率最大为目标函数 ,便可求得相应的最优铺层角θk , 这是一个具有 N 个设计变量的自振频率无约束优化 问题。自振频率优化问题的数学提法为 求 n 维设计变量 θ = θ1 ,θ2 , ⋯,θn T 使目标函数为 max θ∈En ω(θ) (10) 基本思路是首先用均匀化方法计算角铺层层合板 的等效刚度矩阵 ,并将求得的等效刚度代入到动力学 有限元方程 (9) 中 ,通过优化方法 ,求得自振频率最大 时所对应的铺层角。 4 　数值算例 4. 1 　复合材料弹性性能分析 取单向纤维增强复合材料的性能如下。 纤维 , E1 = 256. 8 GPa , E2 = E3 = 18. 2 GPa , 　 618 机 　　械 　　强 　　度 2005 年 　 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net G12 = G13 = G23 = 36. 7 GPa ,ν12 = ν13 = ν23 = 0. 3 基体材料 E = 3. 0 GPa ,μ = 0. 3 纤维含量为 60 %。将以上参数代入均匀化程序中进 行计算 ,计算结果与文献[8] 结果相比较 ,如表 1 所示。 表 1 　不同方法计算弹性参数的结果比较 Tab. 1 　Comparison of the elastic parameters by different methods GPa E11 E12 E22 E23 E44 E66 文献[8 ] 方法 Ref . [8 ] 等参元 Isoparameter FEM 153. 59 3. 83 15. 26 4. 06 7. 05 2. 42 非协调元 Incompatiable FEM 153. 59 3. 83 10. 02 3. 09 6. 04 2. 80 本文方法 Present method 152. 61 5. 42 14. 39 6. 57 3. 66 2. 17 4. 2 　层合板刚度优化设计 采用均匀化方法 ,结合优化理论计算一个四边简 支的双向铺层复合材料层板 ,弹性参数 E1 = 205. 16 GPa , E2 = E3 = 20. 52 GPa , G12 = G13 = 6. 89 GPa , G23 = 8 GPa ,ν12 = 0. 3 ,ν13 =ν23 = 0. 33。计算结果见表 2。 表 2 　均布载荷作用下层合板最小挠度的最优纤维方向数值解 Tab. 2 　Numerical solution of the optimum laminate f ibre direction under uniform load R = aΠb 1 0. 8 1. 5 0. 5 2 最优铺设角 Optimal ply angle θΠ(°) 本文Present method 46. 79 39. 58 62. 97 0 90文献[9 ] Ref . [9 ] 45 38 61. 3 0 90 4. 3 　层合板自振频率优化设计 仍然采用均匀化方法结合优化理论 ,求解上个例 题中的四边简支双向铺层复合材料层板的最优自振频 率问题 ,计算结果见表 3。可以发现 ,数值算法与文献 [9 ] 十分吻合。 表 3 　层合板最高自振频率的最优纤维方向数值解 Tab. 3 　Numerical solution of the optimum laminate f ibre direction with min frequency R = aΠb 1 0. 8 1. 5 0. 5 2 最优铺设角 Optimal ply angle θΠ(°) 本文Present method 46. 8 39. 6 62. 9 0 90文献[9 ] Ref . [9 ] 45 38 61. 3 0 90 5 　总结 复合材料具有可设计性的特点在上有重要价 值 ,但也为材料性能的预估带来了困难。本文运用均匀 化方法计算复合材料双向铺层层合板的等效弹性模 量。假设每层铺设的纤维的数目、性能均相同 ,只是铺 设角不同。把铺设角不同的各单层都转换到 1 方向 ,并 假设转换后每层的纤维均匀排列 ,这样 ,可以认为该层 合板的性能在 2 方向上是具有周期性的。因此取其中 的“一列”作为单胞。在研究中发现 ,对称铺层情况下 , 层合板的等效弹性模量同铺层数无关。因此取其中的 两行作为单胞 ,求解弹性模量。 在等效弹性模量预估的基础上 ,对复合材料双向 铺层层合板刚度和自振频率进行优化设计 ,分别以层 合板中心位置的横向挠度最小和自振频率最大作为目 标函数 ,把铺设角作为设计变量进行优化 ,结果表明本 文对复合材料双向铺层层合板的等效弹性模量预估处 理是合理可行的。 本文工作将复合材料的微观结构与宏观性能联系 起来 ,为复合材料力学性能的准确预估提供了一种有 效方法 ,对充分发挥复合材料力学特性非常有益。 References 1 　Benssousan A , Lions L J , Papanicoulau G. Asymptotic analysis for periodic structure. Amsterdam :North Holland ,1978. 2 　Sanchez2Palencia E. 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