函数的Fourier级数展开

2004年1O月 第21卷第 5期 沈阳航空工业学院学报 Journal of Shenyang Institute of Aeronautical Engineering 0ct．20O4 Vo1．21 No．5 文章编号：1007—1385(2004)05—0087—03 函数 的Fourier级数展开 刘杰 民 刘金堂 (沈阳航空工业学院航空宇航学院，辽宁 沈阳 l10034) 摘 要 ：探讨 了把定义在区域[一l，1]上的任意可积函数展成 Fourier级数的各种形式并示以典型 的算例。结果表明函数各种以无穷 Fourier级数表达的展式是等价的。然而，以有限和形式表达 的各种展式的精度有差别。因此 ，当把一个函数展成 Fourier级数时，既要考虑可能的展开形式， 又要考虑展开式的精度 ，力求二者之间的最佳选择。 关键词 ：函数 ；Fourier级数 ；精度 中圈分类号：O174．2 文献标识码：A 随着计算机计算能力的不断提高，Fourier级数理论 在工程计算和理论研究方面发挥着更重要的作用。数 学、物理和力学领域的许多问题，都归结为偏微分方程 的边值问题。分离变量法是求解偏微分方程边值问题 的重要。分离变量法的实质是把待求函数分离变 量后代人相应的偏微分方程，通常得到包含待定常数的 级数解答。再令待求函数满足相应的边界条件，就能建 立起一组必要的“平衡”方程[1—3]。由于这组方程通常 十分复杂，不能直接求解，只能借助于比较系数法。常 用的一种比较系数法是把方程中的每一项在合适的区 间内展成Fourier三角级数，通过比较三角函数变量前的 系数，建立起一组线性代数方程。求解该方程组，即可 求得先前引入的待定常数。在此求解过程中，如何有效 Jc_．~Ty程中的每一项展成 Fourier三角级数是能否顺利 求解的关键。因此研究函数可能的各种 Fourier展式具 有重要的意义。 本文主要针对定义在一维区间[一2，2]上的 函数f(X)，研究其各种可能的 Fourier三角级数展 开形式，给出典型的数值算例。对各种可能的展 开形式进行分析比较。为具体应用 Fourier级数 展开式提供理论根据。 1 函数的各种Fonrier级数的展开形式 考察定义在区域[一l，1]上的任意可积函数 f( )。根据 Fourier级数理论 ，只要f(X)在[一l， 1]上可积，f( )总可以在形式上展成H 一 ■ ■ ，( )一下61；0+∑口 c0s(口 )+∑b sin( ) (1) 收稿 日期：2004一O7一l3 作者简介：刘杰民(1954一)，男．安徽阜阳人，教授 其中 ：丁1 J_厂‘ )d (2) 。n=丁1 J一厂( )c。s( )d (3) 6 =丁1 J．厂( )sin( )d (4) n ： (5) 我们也可以把函数，(X)展成下面的各种形式。 ，( )～∑。~cos(n )+∑6 sin(n ) (6) ) 粤+∑。 c。s(n )+∑6 sin(n ) (7) ，( )～∑。：cos(n )+∑6 sin( ) (8) 这 里 ． 。 ： (9) 口n —— 。广一 ， 可以证明，(1)cos(口 )和 sin(口 )；(2)cos(口 ) 和 sin(~tmX)；(3)1，COS(口 )和 sin(口 )(n．m = 1，2，⋯⋯)三种三角函数系也都是分别正交的。 。 =丁1 J — J 厂( )c。s(n )d (1o) 6 =丁1 J — J 厂( )sin(n )d (11) 式(1)是最常用的 Fourier级数展式 ，称为标 准 展 式， 简 记 为 SDF(Standard Developed Formula)，形如式(6) (8)所示的Fourier级数展 式分 别 称 为 非 标 准 展 式 (N —SDF：Non — Standard Developed Formula)、标 准 混 合 展 式 (SMDF：Standard Mixed Developed Formula)、和非 混合展式(N—SMDF：Non—Standard Mixed Developed Formula)。若f( )为对称(偶)函数，则 b 和b 必为零，若 ( )为奇函数，则 。。，。 和。 必为零。下面探讨四种 Fourier级数展式 (1)，(6) 维普资讯 http://www.cqvip.com 沈阳航空工业学院学报 第 21卷 (8)表达 ．厂( )的能力，或者说Fourier级数展式 (1)，(6) (8)替代 f( )时的特点和精度。 2 算例 本节考察几个典型的函数的 Fourier级数展式， 比较每种展式与相应函数的符合程度。展开区间都 定义在[一z，z]上。在数值计算时，假设 z=1。 (1)常数的 Fourier级数展开式 设 )= c (12) c为任意非零常数。式(12)是一种特殊的关于 的对称函数 ，式(1)，(6) (8)所示的展开式缩减 为式(1)和(6)，具体形式为 厂( )一 = c (13) f(x)．妻 ) ) 式(13)和(14)的图形示于图1。数值计算时，设 c= 1。比较式(12)和(13)易见，展式(13)精确地表达了该 特殊的函数。形如式(14)的Fourier级数展式可逼近 任意常数 c，不过在区间的端点，式(14)恒为零。 图 1 ( )=C(常数)的 Fourier级数展式 (2)偶函数的 Fourier级数展式 以式(15)所示的双曲余弦函数为例研究偶 函数的Fourier级数展式的特点。 f(x)=cosh(口。 ) (15) 因为式(15)为偶函数，所以式(1)，(6) (8)4种 展式缩减为式(1)和(6)，具体展式为 f(x)_sM(口_f)+妻 等 cos(口^ ) (16) 厂( )．∑n cos(a ) f(x，一妻 cos ， ⋯， 式(16)和(17)的图形示于图2。数值计算时，设 t = 1，Z=1，口 =t~t／l。由图2可见，式(16)和(17) 都可逼近函数(15)，不过，式(16)比式(17)有更 高的精度。 图 2 ( )=cosh(~rx／1)的 Fourier级数展式 (3)奇函数的 Fourier级数展式 考虑双曲正弦函数 ，( )：sinh(口 ) (18) 因为式(18)为奇函数，所以式(1)，(6) (8)的展 式缩减为式(1)和(6)，具体形式为 f(x，一妻 sin(口^ ， (19， 一 妻 n(a ) (20) 式(19)和(20)的图形示于图3，数值计算时，设 t = 1，Z=1，口。=trrll。由图3可见，式(19)和(20) 都可逼近函数(15)，不过，式(20)比式(19)有更 高的精度。 图 3 f( l=sinh( ／Z)的 Fourier级数展式 (4)不连续非对称函数的 Fourier级数展式 考虑式(21)所示的不连续非对称函数f( )。 式(21)相应于式(1)，(6) (8)的展式分别为式 (22)一(25)。 ，( i c o≤：s (21) 一 ÷+妻 ca一 一 妻 cos ， 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 5期 刘杰 民等 ：函数的 Fourier级数展开 89 +妻 ) (23) f(x)一妻 coe ) +毒 (a- ， c ， ，( )一丁1 1 (a ) (25) 式(22)一(25)的图形示于图4，数值计算时， 设 C=1，f=1。由图4可见，式(22)一(25)都可 逼近函数(21)，在这几种展开式中，标准混合展式 (25)的精度最高，非标准混合展式(24)精度最 差 ，标准展式(22)和非标准展式 (23)的精度相 当。 ^ 图4 不连续非对称函数的 Fourier级数展式 应当指出，图l一4所示结果皆对应于级数的 前 l0项和，这样可以较清楚地看出各种展式之间 的差别，数值计算表明，随着求和项数增多，各种 展式之间的差别逐渐缩小 ，不过，由于篇幅所限， 本文没有展示这一过程。 3 结 论 本文探讨了函数 ． 厂( )的各种 Fourier级数展 式。有如下结论： (1)非零常数可由标准展式和非标准展式表 达。不过标准展式不是级数 ，因而没有实际意义。 非标准展式虽然不能在端点到达非零常数，然而 它可以在给定区间内无穷逼近该常数，在应用时 具有重要意义。 (2)均值非零的函数 ，可由标准展式 、非标准 展式、标准混合展式、非标准混合展式逼近。一般 而论，标准混合展式的精度最高 ，非标准混合展式 的精度最低。 (3)对于均值为零的函数，各种展式的精度 要具体分析。 参考文献： [1]徐之纶 ．弹性力学(第三版)．北京：高等教育出版社[M]．1990． 63 70 [2]Jiemin Liu．Toshiyuki Sawa and Hiroshi Toratani．A Two — dimensional Stress Analysis and Strength of Single— lap Adhesive Joints of Dissimilar Adherends Subjected to External Bending [J]Moments．J．Adhesion，1999．69．263 291 [3]Jiemin Liu and Toshiyuki Saws．Stress Analysis and Strength evaluation of Single— lap Band Adhesive Joints of Dissimilar Adherends Subjected to External Bending Moments，J．Adhesion Science and Technology．2000 14，67 — 92 [4]r．Ⅱ．托尔斯托夫著 ．龙季和译 ．富里哀级数 [M]．北京 ：高等 教育出版社，1957．19—24 Functions developed formula of fourier series LIU Jie—‘rain LIU Jin——tang (Dep．Of Aeronaut—astronautical Engineering，Shenyang Institute of Aeronautical Engineering，1 10034) Abstract：Variant developed formula of Fourier series about functions which are defined at field[一l，1]are probed into and typical examples of which are shown．It is found that formula of Fourier series with infinite ternm are equa1．However，the form ula with finite term s are difierent in precision．Therefore，when a function is developed into Fourier series，possible forms of developed formula and precision of them should be considered simultaneously for optimal selection． Keywords：Functions；Fourier series：precision 维普资讯 http://www.cqvip.com