“单调有界数列必收敛”的应用综述

2005年 4月 第 21卷第2期 皖 西 学 院 学 报 Journal of West Anhui University Apr．，2005 Vo1．21 N0．2 “单调 有界数列必收敛”的应用综述 蒋林智 (皖西学院 数理 系，安徽 六安 237012) 摘 要：此文对“单调有界数列必收敛”两个条件单调，有界的证明方法加以归纳，并就两个条件的关系及一类特殊情况加以 讨论，得出结论。 关键词：单调；有界 中图分类号：O151．22 文献标识码：A 文章编号：1009—9735(2005)02—0025—04 研究数列极限问题，通常分两部走。第一，考察所给数列是否有极限(极限的存在性问题)；第二，若数列的 极限存在，则考察如何计算极限(极限值的计算问题)。这是讨论极限问题的两个基本方面。在实际应用中，第 一 个问题的解决是讨论极限问题的关键。 1 关于利用“单调有界定理”证明时，单调性与有界性证明的先后顺序问题 从判定定理内容叙述，即单调有界数列必收敛。我们通常会在应用定理的过程中，主观地认为应先证明数 列的单调性，再证明其有界性，其实不然，在证明过程中应根据问题的特征来决定证明的先后顺序，通常分为以 下三种情况 ： 1．1 当有界性与单调性的证明不相关时 ，其证明不分先后顺序 ； 1．2 当有界性与单调性的证明相关时，即单独证明单调性比较困难，而利用有界性结论能顺利地确定其单调 性 ： 1．3 当有界性与单调性的证明相关时，即单独证明有界性比较困难，而利用单调性结论能顺利确定其有界性。 具体事例如下： (1)有界性与单调性的证明不相关时 证明：极限 Lim 存在并求值。 (2)有界性与单调性的证明相关时，即单调性的证明依赖于有界性 一 ，_———==== 试证明数列 ，√2 ，√2√2 ，⋯⋯极限存在。 证明：al= ，。2= ，⋯，n =~厂 ，⋯显然n1<2，若n 一1<2则 an< 丽 =2，故 {口 }有上界。显然 口 >0，又因口2 =2a 一1，故 a 一a 一1>0(口2 ～a 一1a =2a 一1一an-1a = an-1(2～a )>0) 即 口2 一ana 一1>0，亦即 a 一a 一1>0( =2，3，⋯⋯){a }递增有上界。 (3)有界性与单调性的证明相关时，即有界性的证明依 赖于单调性 证明：数例xo>0，z +1： 萼÷ (。三三=0)极限存在并求出此极限。 " 1- a 证：如果极限存在，则 A ：A_ ，则 A ： ； 11- 收稿日期 ：2004—09—02 作者简介 ：蒋林智(1977一)，皖西学院数理系助教。 25 维普资讯 http://www.cqvip.com 设 5<口，并已证明 2 <口；N／z, >1，亦即 +1> 。 3C,= 十 口 我们可以得到， 2 +。= 3(筹 ) = ( ) 设Z= 2 ，则 )=3·( ) ( )> ≠⋯>n>0) 于是 2 +1= ( )< (口)=。 因此 {X }单调有界 类似地可以证明：当 5>n时，数列单调递减并收敛于同一极限， 当 ；=n时，极限显然存在。 2 数列单调性证明方法的归纳总结 递增、递减数列统称为单调数列。应用单调数列中收敛定理，必须判断数列的单调性，数列 的单调性在级 数收敛、发散的判断中也常常用到。 数列的单调性的证明方法常用的主要有以下几种 ： 1．1 不等式法 证明数列单调性时利用一些 已知不等式。在运用不等式法的过程中要熟练掌握一些常用不等式，不等式 与递推公式相结合得出自己的结论 。 2．2 差比法 在证明数列单调性时常可用差值法，即考察 n +1一n 的正负 ，从而得出数列是递增还是递减 ，而当确定 n +1一n 的正负比较 困难时 ，如果 n >0，我们考虑把 n +1一n 0(或 n +l—n 0)变成为 1(或 1)即用 比值法。在运用此法时注意思维的发散。 a ” 例、设口>0，{ }定义为 。>0， +1=吉( + )(口=1，2，⋯⋯) 求 Lira3C, 2．3 项差法 若已知数列 {3C, }有界，那么可以通过 3C, +2—3C, +1与 3C, +1—3C, 的符号的一致性即可说明 {3C, }的单调性。 至于 {3C, }究竟是单调增还是单调减是无关紧要的，这样做往往可以避免直接证明不等式 3C, + 3C, 或3C, +1 3C, 所带来的困难 ，通常有两种形式 ： (1)3C, +1—3C, = 厂(3C, )一厂(3C, 一1)； (2) +1一 = 厂( )一 。 例：设 1>0， +1= ( =1，2，⋯)，求 L 一 im 解：显然 3C, +1<3利用数学归纳方法易证 3C, >0，故 0< 3C, < 3( =2，3，⋯) 一 '． 2 一 '． 2 OP{ ”}有界。又因为 ”+·一 ” 争 所以 ”+z— ”+· { 褊 而 2+3c, >0，故 3C, +2—3C, +1与 3C, +1—3C, 符号相同 因此 {3C, }为单调数列(下略) 2．4 函数 法 函数法适合于以下两种递推关系： "+1 一 " 2 + 3C," (1)由一元可微函数给出3C, =厂(3C, 一1)，当厂>0及3C,1<3C,2时，{3C, }数列单调递增；当厂 0时除3C,1 = 1，非单调(此种情况后面给予讨化)。 (2)厂( )=3C, 则可通过厂的导数的符号考察单调性，如果厂(3C,)可导(3C,为大于1的实数)，当厂 0时， 数列 {3C, }单调增加；当厂 0时，数列 {3C, }单调减少。 例：设 口， 。> 0，并且 +l=! ( =0 ，1，2，⋯)求 L 一 ira 3C, 十 口 一∞ 26 维普资讯 http://www.cqvip.com 解：由于数列 {z }是 由复杂的递推关系定义的，要找出 z 与 的关系式是比较困难的，这里我们直接从 递推关系人手，为此考察相应的函数。 f(z)= z(z +3口)／(3x +口)(z三三三0)由于 f (z)=3(z 一口) ／(3z +a2)三三三0 因此 f(z)是增函数，故 {z }为递增数列。 2．5 数学归纳法 对于命题 P(n)，如果能够揭示出 P(k+1)于 P(k)之间关系，就可以考虑用数学归纳法加以证明 小结 ：在证明数列单调性时，我们通常先考虑差 比法，再考虑项差法 ，最后考虑用不等式和数学归纳法 ，在 证明题时并不局限于某种方法 ，有时一题可以用上述几种方法来解答。 3 数列有界性的归纳总结 数列有界性是数列收敛的必要条件 ，无界数列必发散。故在利用“单调有界数列必收敛”的判定定理时 ，证 明数列有界是必不可少的一个方面。 如果数列递增，则证明其有上界；如果数列递减，则证明其有下界；如果只知数列单调，而不知其具体的增 减趋势，则必须证明其有上、下界。 证明有界性的方法通常有以下几种方法 ： 3．1 利用单调性及数列极限的定义证明有界性 掌握数列极限的定义，在证明过程中借助于已知数列的极限，利用数列极限的定义及数列的增减性。 例：设 {口 }单调增加，{b }单调减少，且 Lira(口 一b )=0。 证明 Lira口 与 Lira b 存在 3．2 不等式法 在证明数列有界性时也常常用已知不等式(如均值不等式)来确定数列有界性。 例：设口。>0，口 +1= 1(口 +÷)证明：{口 }收敛(用均值不等式可解)。 3．3 数 列通项 变换 法 对数列通项通过裂项法 ，放缩法等一系列变换来证明有界性 3．4 数学归纳法 例：{z }由下列各式给出z = ，z =v厂 (T1=2，3⋯)，证明数列 {z }极限存在 (4)数列本身不单调 ，但 {z2 }，{z2 +1}分别单调有界的问题 在数列的收敛与发散中常常用于子数列的敛散性来讨论，也就是用部分数列的性质来讨论整体数列的性 质。数列收敛的充要条件是 {z： }与 {z： + }收敛到同一极限，在函数法判断数列增减性的第一种递握关系 中，即z( +1)=，(z )，当厂 0且z1≠1时非单调，通常分别考虑 {z2 }与{z2 +1}是否满足单调有界原理 条件，从而判断数列是否收敛： 一 ⋯ ． 2 例：设0 2时 z = 1不稳定。 下面讨论 > 2的情况。 考察情况 z +2=g(22 +1)=g (22 ) (2) 其中g由(1)给定。方程(2)的平衡点除 Z =1以外还有 zf和 z 满足 z =zf eⅢ_Z-’， = zf e ‘ 一 - (3) 由(3)不难得到 z 十zf=2 (4) 于是 Zf，z 是方程： We ‘卜” =2一W (5) 的两个根。若记函数 h(W)= We (卜”’ (6) 则曲线 W=h(W)和直线 W=2一W 有三个交点，其横坐标是 zf，z 。 当a=11时， = lna=2．398，用数值方法可以算出 zf=0．3427，z = 1．6573 (7) Z ，Z 是方程(2)的稳定平衡点的条件为 Ig ’(z)I。：z ． · ， I<1 (8) 经过较精密的计算得到，当2< <2．5265时，上述条件成立。 这个结果

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明 ，在条件(8)下方程(1)给出的数列 z 是二倍周期稳定的，即子列 f z2 }，f z2 +1}当 k一 ∞ 时 ，分别趋向于 zf，z “单调有界数列必收敛”这一极限存在定理是判定极限存在最重要、便捷的方法之一。实质上我们可以看 到：递增有上界的数列，其极限是它的上确界，递减有下界有数列，其极限是它的下确界。 参考文献 ： [1]姜启源．数学模型[M]．北京：高等教育出版社．2001． [2]翟连林 ，姚正安．数学分析方法论[M]．北京 ：北京农业大学出版社 ．1997． [3]林源渠，李正元．数学分析习题集[M]．北京：北京大学数学系，1995． [4]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1999 [5]陈文灯．2001年考研 (一)数 学习题集[M]．北京 ：知识产权出版社 ，2001． [6]吴宝科 ．2000年研究生入学考试教程[M]．北京 ：北京大学出版社 ，2000． The Summary of the Application of “M onotonous Boundary Numbered Lines Necessarily Converge” Jiang Linzhi (Department of Mathematics and Physics，West Anhui University Lu’口，2 Anhui 237012) Abstract：The esSay is a summary concerning how tO demonstrate the two prerequisites monotone and bounds in “mono tonous and boundary number line necessarily converge．” Key words：monotonous；boundary 28 维普资讯 http://www.cqvip.com