考研数学线性代数

2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料 Yacyin@Nanjing 第 1 页 考研数学 线性代数 经典范例 25题 主讲 清华大学李永乐副教授 地点 东南大学健雄院致知堂 时间 2002年 1月 1日上午 8 00 12 30 整理 Yac Yin 1 已知 A 0 1 1 1 0 1 1 1 0        " " # # % # " 求 ( ) 12A − ________ 解答 ( ) 12A − ( )( ) 11 2 1 n n n −− − 解法一 kA nk A 原式 11 2 A− 11 2 n A−    1 1 2 n A     解法二 原式 1 2A 1 2n A A ( ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 n − " " # # % # " ( ) 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 n −− − " " # # % # " ( ) ( )11 1n n−− − 特殊解法 A 1 2 nλ λ λ" 1 n i i λ = ∏ 2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料 Yacyin@Nanjing 第 2 页 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E     −    " " # # % # " 如 ( )r A 1时 E Aλ − 1 1 n n n ii i aλ λ − = −∑ 2 已知 A为四阶矩阵 且 ( )*2A 64 求 A ________ 解答 A 1 4 − 解法一 ( )*kA 1 *nk A− *A 1nA − ( )*2A 3 *2 A 4 *8 A 348 A 64 解法二 ( )*2A 32A ( )342 A 348 A 64 3 已知 A B A B 示 A B 两矩阵为相似矩阵 下同 且均为四阶矩阵 *B 的特 征值为 1 1 2 4 求 TA A ________ 解答 TA A 32 解法 原式 TA A 4 TA A 5A 5B A 1 2 nλ λ λ" 1 n i i λ = ∏ *B 1 2 3 4λ λ λ λ ( )1 1 2 4× − × × 8 *B 1nB − 3B *B 8 4 已知 *A 10 5 1 8 4 1 7 4 1 −  − −  − −  求 A ________ 解答 A 0 1 1 1 3 2 4 5 0 −  − −  − −  解法 *AA *A A A E 2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料 Yacyin@Nanjing 第 3 页 *A A A *AA A E 1A− *A A ( ) 1*A − A A A= ( ) 1*A A − 用初等行变换求逆 行乘数 交换行 相加减 现简述求解过程如下 10 5 1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 7 4 1 0 0 1 −  − −  − −  10 5 1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 −  ⇒ − −  −  1 0 0 0 1 1 8 4 1 0 1 0 10 5 1 1 0 0 −  ⇒ − −  −  1 0 0 0 1 1 0 4 1 0 7 8 0 5 1 1 10 10 −  ⇒ − − −  − −  1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 3 2 0 0 1 4 5 0 −  ⇒ − −  − −  1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 3 2 0 0 1 4 5 0 −  ⇒ − −  − −  5 已知 A B 两个矩阵均为 N 阶矩阵 且 ( )2A B+ E 其中 A 为对称矩阵且可逆 求 ( ) ( )11 1 TTA B E B A E−− −+ − ________ 解答 ( ) ( )11 1 TTA B E B A E−− −+ − ( )( )B A B A+ − 注意 此题做到 ( )( )B A B A+ − 这一步即可 不必再画蛇添足 解法 原式 ( ) ( )11 1 1 TT TA B A A B A E−− − − + −   ( ) ( ) ( )11 1 T TTA B A A B E−− −  + −     ( ) ( )1 1B A A A B E− −+ − ( )2A B+ E ( )A B+ ( ) 1A B −+ 原式 ( )( )B A B A+ − 矩阵的求逆与转置的异同表 求逆 转置 ( ) 11A −− A ( )TTA A 相同 ( ) 1AB − 1 1B A− − ( )TAB T TB A 2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料 Yacyin@Nanjing 第 4 页 ( ) 1kA − 11 A k − ( )TkA TkA 不同 ( )TA B+ T TA B+ 特别 ( )1 TA− ( ) 1TA − 6 已知 A B *A 均为 n阶非零矩阵 且 AB 0 则 ( )r B ________ 解答 ( )r B 1 解法一 与齐次线性方程组挂钩 B的列向量是 Ax 0的解 ( )1 2, , , nA β β β"" ( )1 2, , , nA A Aβ β β"" ( )0,0, ,0"" 0 解法二 运用公式 ( ) ( )r A r B n+ ≤ B 0 AB 0 A 0 *A 0 即 11 12 1 21 22 2 1 2 j j i i ij A A A A A A A A A         " " # # % # " 0 0ijA∃ ≠ ,且 n-1阶不为零 ( )r A n-1 ( ) ( )r A r B n+ ≤ ( ) 1r B ≤ B为 n阶非零矩阵 ( ) 1r B ≥ ( ) 1r B ≡ 7 已知 A为 4 3阶矩阵 且非零 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9       且 AB 0 则 Ax 0的通解是________ 解答 ( ) ( )1 2k k+ 其中 中为任意两个 B的列向量 解法 ( ) ( ) 3r A r B+ ≤ 又 ( ) 2r B = 2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料 Yacyin@Nanjing 第 5 页 ( ) 1r A ≤ 又 A为非零矩阵 ( ) 1r A = A的解为 3 1 2 个 Ax 0的通解是 ( ) ( )1 2k k+ 其中 中为任意两个 B的列向量 8 A 2 1 3 1 0 1 2 0        且 1* 11 2 12 2 A BA AB E − −   = +      求 B ________ 解答 B 6 6 0 0 12 9 3 1.5 3 1.5 1.5 2.25 6 3 3 1.5 −  −  − − − −  解法 ( ) 1 1* 3 1* *1 1 8 8 2 2 AA A A A − − −      = = =                A 2 1*1 4 2 A A −   =      1* 11 2 12 2 A BA AB E − −   = +      12 6ABA AB E−⇒ = + 1 12 6BA B A− −⇒ = + 2 6B BA E⇒ = + 2 6B BA E⇒ − = ( )2 6B E A E⇒ − = ( ) 16 2B E A −⇒ = − ( ) 1 6 6 0 0 12 9 3 1.5 6 2 3 1.5 1.5 2.25 6 3 3 1.5 B E A − −  − = − =  − − − −  总结 二阶矩阵的转置矩阵的简易公式 不适用于本题 且仅限于二阶矩阵 *a b d b c d c a −   =   −    9 已知 A为 m n阶矩阵 ( )r A n= B为 n s阶矩阵 证明 ( ) ( )r AB r B= 注意 此题的结论可以当作定理记下来 分析 构造下面两个辅助方程组 0ABx = ( )S r AB= 2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料 Yacyin@Nanjing 第 6 页 0Bx = ( )S r B= 要证明 ( ) ( )r AB r B= 则只要证明上面两个方程同解即可 如 0 0 0B AB Aα α= ⇒ = ⋅ = 则 式的解亦是 式的解 证明 ( )r A n= 满秩 ⇔ A的列向量线性无关 ⇔如果 1 1 2 2 0n nk k kα α α+ + + =" 则必有 1 20, 0, , 0nk k k= = =" ⇔方程 0Ax = 只有零解 0ABy = 由 ( )r A n= 和方程 0Ax = 只有零解可得 0By = 方程 0By = 的解亦是方程 0ABy = 的解 派生一题 已知 0TA Aα = 且 0Aα = 求证 0 0T T TA Aα α α= ⋅ = 提示 ( ) ( ) 0TA Aα α =