面积法巧求线段比和面积比

沼口 救学教攀 年第 期 面积法巧求线段比和面积比 华中师范大学教育信息技术研究中心 彭拿成 一,一八 一一一一 《数学教学》 年第 期刊登了文【】, 该 文称“应用杠杆平衡原理解几何连比题 , 虽然看 起来有点繁 , 然而此法却富有规律 , 若用纯几何 方法求解 , 则不仅要做辅助线 , 而且还要通过三 角形的相似 , 经过 比例变形即运算才能求得结 果” 文【运用物理原理来求解数学间题给我们 提供了一种新思路 其实 , 用面积法来求线段比 问题也是非常简单的 首先我们引入面积法的 一个基本定理 共边定理 若直线 和 尸 相交于点 武汉选拔赛试题 如图 , 在 △ 中, 是 的中点 , 、 是 的三等分点 , 、 分 别交 于 、 两点 , 则毋了 · · · · · · · · , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⋯⋯ · 解 设 △ , 则 △ 。召 几 几 几 ,工‘ 一一 醚︸︸一︸如图 , 有四种情形 , 则有 几尸 几 刀 尸材 几注刀 △ 八了 , , 即 入了 , 答案选 ,上一曰人一月自一翻一口」 ,, 一月任。月任 证明 在直线 上取一点 , 使得 , 则 △尸 与 △ 共高 , 即有 耘尸注习 几尸材 亏二石又百 瓦而万 丽 ’ 从本质上讲 , 共边定理是“等底等高的三角 形面积相等”这一性质的推论 , 看起来很简单 , 但 它的用途相当广泛 , 详见文 、 下面笔者就 用面积法来解决文【 中所举 例 , 请读者对比一 下 , 看看哪种方法更简单 例 年全国初中数学联赛 杯 图 例 年第 届“五羊杯 , 初三竞赛试 题 如图 , 尸 尸 , , 则 · · · · · · · · · ⋯⋯ 图 解 设几 二 , 则 △ 尸 二 几月刀 。 几 尸 几月 几 尸 二 几 年第 期 获学救学 ︸一自“一自 一一一一 即 △ 尸 几 尸 几 , 答案选 例 年陕西省太原市初中数学竞赛 试题 如图 , 已知 为 △ 的外接圆 , 过点 的切线交 的延长线于点 若 , 梅 , 求 几乃 几 刀 。 △ 尸。 △ 刀 。 △注 。 △ 尸 筋 ‘ 赤 · 俞 · 亩 一 , 而 一 而 ’ 忍 △召 几召 耘 关于此线段比 , 张景中院士作了很精辟的论 述 , 参见文【」的《五 一箭三雕 》 在《中学数学杂志 初中 》 年第 期 刊 登了文 ’ 文 ’与文【所用方法相同 , 都是利 用杠杆平衡原理来解几何问题 , 不同的是 , 文 ’ 求解的是面积比 下面笔者就用面积法来解决 文 ’中所举 例 例 根据 年山东省初中数学竞赛题 改编 如图 , 已知 是 △ 的中线 , 是 ⋯上的一点 , 且 妥 , 交 于点一 一 ’ ‘ ” ’ 一 ’ 一 ‘ 一 一 ’ ‘ ”, 求 △ 几 解 由切割线定理可知 所以 二 月任 一一 ‘几一曰 几 。沌尸 几 则 长于 廿乃 几 。注 几 · , 梅 几刀注尸 几 。 尸 二 长 石 万石 万 ’ 几 ’ 几 一 八 图 △注 一 二 一△。 在文【的同一期 年第 期 中, 还有 一道求线段 比的题 目 《数学间题与解答》栏目 的 题 如图 , 四边形 的两对角线交 于点 , 两组对边分别交于 、 , 过 作 的 平行线交 、 于点 、 , 求证 戊似 伙 例 年全国数学奥林匹克初三训练 题 , 根据 年第八届江苏省初中数学竞赛题 改编 如图 , 过 △ 的顶点 的两条直线分 边上的中线 所成的比 , 则这两条直线分 边所成的几 几 。 ‘ △。 为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⋯⋯ 图 此题的关键就在于证明 件口么《 原证 ,几曰 一一 一臼 一一 月‘一自 一一 一︸ 一一 法是用塞瓦定理和梅涅劳斯定理来证明 , 而这两 个定理都是中学数学教学不要求掌握的 其实 用面积法证明更简单 , 如下 几 刀 几注 。 几 几 解 几刀注万 耘 图 几刀注 △ 沌 △刀 △口 。 △ 万 几日万 。 即几刀 。 △刀 万 几日衬 朋 获学救学 年第 期 立足课本 学好平面向量课例 四川省广元师范学校 杨 忠 在数学教学中, 我们应该立足课本 , 学好课 例 学好课例不应该局限于能够理解、 会做 , 而 是应该深入地开发和利用例题中那些原本就存 在的宝贵资源 这里就全 日制普通高级中学课本 人教版 中‘平面向量”的一个例题为例 , 与同学们共同学 习和探讨 【课例】如图 , 蒯 、 耐不共线 , 弃 二 庙 。 , 用蒯 、 旅表示亦 、 一 今 而不共线 , 如果丽 舒 , 那么 一 尸 问题转化后的结论与例题结论实际上是同 一间题的不同表现形式 , 本质是一致的 但不难 看出 式与 式分别与定比分点坐标的一般 公式与中点坐标公式是如此的相似 , 可谓美妙绝 伦 由它不但可以推导出定比分点坐标公式 , 而 且可以求解一些几何问题 共点问题 例 四面体对棱中点的连线相交于一点且 互相平分 证明 如图 , 、 分别是四面体 一 对棱 、 的中点 , 是 的中点 , 几 、 几 是其余二组对棱中点连线的中点 连结 、 , 由结论 得 崩 而 ·、、曰 一一 图 结论为 亦 一 丽 旅 解答略 该例题揭示了具有共同起点且终点共线的 三向量之间的关系 线性关系 如果将已知条件 中的亦 屈 。 转化为庙 舒 任 , 那么该例题的结论将怎样 显然 , 同法 可得如下结论 旅 、 而不共线 , 如果庙 亦 , 伴 一 , 那么介 二 司 夯 · · · · · · · · · ⋯⋯ 该结论仍然揭示了具有共同起点且终点共 线的三向量之间的关系 当 是 尸中点时 , 又 得如下结论 答案选 参考文献 【 于志洪 应用力学原理 , 数学教学 张景中 平面几何新路 巧求几何连比 四川教育出版 又因为 是 △ 的中线 , 由结论 又 得 菇 一 委对 劝、 一 、一 ’ 一 而庙 一 委庙 , 所以 一今 叫 , , 生 , 代 , 、 于 、 ’ 社 张景中 新概念几何 中国少年儿童出 版社 钱金龙 应用杠杆原理巧求面积比值 中 学数学杂志 初中