第03讲 韦达定理

第5章 韦达定理 第3讲 韦达定理 没有不能解决的问题. ——韦达 知识方法扫描 韦达定理，即一元二次方程的根与系数的关系，是方程理论的一个重要的内容。运用这个定理，我们可以不解方程，就可以确定根的符号、可以求出关于两根的对称式的值，可以构造以某两个数为根的一元二次方程等等 在运用韦达定理解题时，首先要注意运用判别式判断这个方程有没有实数根。必要时要将韦达定理与判别式综合运用。 要掌握将一个关于两根的对称式如x1n+x2n转化为两个基本对称式x1+x2与x1x2 的方法。 在求关于两根的非对称式的值时，除了运用根与系数的关系得关系外，还要注意运用根的定义来解题。 经典例题解析 例1（1999年全国初中数学竞赛试题）设实数s、t分别满足19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0, 并且st≠1。求 解 因为s≠0，所以，第一个等式可以变形为 又因为st≠1, 所以 ，t是一元二次方程x2+99x+19=0的两个不同的实根，于是，有 即st+1=-99s, t=19s. ∴ . 例2（浙江省第二届初中数学竞赛题）设方程x2+px+q=0的两实数根为a、b，且有I1=a+b, I2=a2+b2, …In=an+bn, 求当n≥3时，In+pIn-1+qIn-2的值。 分析 直接求解犹如“海底捞针”，若利用方程根的意义求解，不仅能以简驭繁，且有出奇制胜之妙，我们知道x=x0是方程ax2+bx+c=0的根 ，利用它显得思路清晰，运算简捷。 解 In+pIn-1+qIn-2 =(an+bn)+p(an-1+bn-1)+q(an-2+bn-2) (n≥3) =(an+pan-1+qan-2)+(bn+pbn-1+qbn-2) =(a2+pa+q) an-2 +(b2+pb+q)bn-2 =0+0=0. 例3（1995年第八届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题）已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根，且α＞β，不解方程利用根与系数的关系，求 的值 分析 待求式是已知一元二次方程根的非对称式，我们可以设法构造一个待求式相应的代数式一起参与运算，从而使问题迅速获得解决 解 设 ∵α、β是方程x2-7x+8=0的两根，且α＞β， ∴α+β=7，αβ=8，β-α=- ∴A+B= = +3[（β+α）2-2αβ]= ① A-B= = ② ①+②得：2A= ∴A= 故 例4 (2003年山东省初中数学竞赛试题)设方程20022x2-2003·2001x-1=0的较大根是r，方程2001x2-2002x+1=0的较小根是s，求r-s的值. 解 因20022-2003·2001-1=0，故1是方程20022x2-2003·2001x-1=0的根，由根与系数的关系知两根之积为负，所以1是方程20022x2-2003·2001x-1=0的较大根,r=1. 因2001x2-2002x+1=0, 故1也是方程2001x2-2002x+1=0的根，由根与系数的关系知两根之积为 ，所以 是方程的较小根s= . 故r-s=1- = . 例5 (2004年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求 的值. 解 甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x2+bx+c=0，于是有： ，故 　① 设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax2-bx+c=0.于是 -1+4= .　　② 由①，②知，△=b2-4ac=b2-4· ·( b)= b2≥0，与题设矛盾.故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax2+bx-c=0，则 -1+4= 　　③ 由①，③可知： 例6 (2003年全国初中数学竞赛预选赛黑龙江预赛试题)设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0,且1-ab2≠0，求 的值。 解 将a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0分别整理得 ，(b2)2-2b2-1=0，于是可以得到以 , b2( ≠b2)为两根的一元二次方程：x2-2x-1=0。所以 +b2=2, •b2=-1. 故 = =(2-1-2)2004=1 例7 (1993年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题)设方程x2+px+q=0的两根分别比方程x2+2qx+ p=0的两根大1，且方程x2+px+q=0的两根之差与方程x2+2qx+ p=0两根之差相等，求这两个方程的解。. 解 设方程x2+2qx+ p=0两根为α，β，则方程x2+px+q=0的两根为α+1, β+1, 由 韦达定理，得： ②×2+③, 得： 2αβ+α+β+2=0 ⑤ ①+④×2, 得： 2αβ+3（α+β）+2=0 ⑥ ⑤×3-⑥，得 αβ=-1 ⑥-⑤，得： α+β=0 故α=1，β=-1，α+1 =2，β+1=0。 ∴x2+2qx+ p=0的解为1，-1， x2+px+q=0的解为2，0 例8 （2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知实数a，b，c满足：a + b + c=2，abc=4. （1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求 的最小值. 解（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且 ， .于是b，c是一元二次方程 的两实根， ≥0， 即 ≥0， ≥0．所以a≥4． 又当a=4，b=c=-1时，满足题意. 故a，b，c中最大者的最小值为4. （2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负. ① 若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾. ② 若a，b，c为一正二负，设a>0，b<0，c<0，则 ， 由（1）知a≥4，故2a -2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立.故 的最小值为6. 同步训练 一．选择题 1．（2001年重庆市初中数学竞赛试题)设方程2x2+ax-2=0的两根之差的绝对值为 ，则a等于 (A) 3 (B) -5 (C) ±3 (D) ±5 2．（第七届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）若m、n是二次方程x2+1994x+7=0 的两根，那么，（m2+1993m+6）(n2+1995n+8) 等于 (A) 2000 (B) 1994 (C) 1986 (D) 7 3．（2000年江苏省初中数学竞赛试题）已知3m2 –2m-5=0, 5n2+2n-3=0, 其中m、n为实数，则|m- |= (A) 0 (B) (C) (D) 0或 4．（1997年黄冈市初中数学竞赛试题）若实数a,b,c满足a+b+c=0, abc=2，c>0, 则( ) （A） ab<0 （B） |a|+|b|≥2 （C）|a|+|b|≥4 （D）0<|a|+|b|≤1 5．（2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知实数 ，且满足 ， ，则 的值为（ ）. （A）23 （B） （C） （D） 二．填空题 6．(2004年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知实数x1，x2满足x12-6x1+2=0和x22-6x2+2=0，求 的值为______. 7．(2002年全国初中数学竞赛预选赛辽宁赛区试题)已知方程m2x2-(4m+3)x+4=0有两个不相等的实数根x1、x2，设S= ，则S的取值范围是______ 8．（1998年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题）若x2-2x+ 的两个根为α、β，它也是方程x +px2+q=0的两个根，则p= . 9．（1999年全国初中数学通讯赛试题）设a、b是整数，方程x2+ax+b=0有一个根是 , 则a+b= 10．（1996年四川省初中数学联赛题）若方程x2-3x+1=0的两根α、β也是方程x4-px2+q=0的根，则p+q= 。 三． 解答题 11．(2004年河北省初中数学创新与知识竞赛预赛试题)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0(a>0)。 (1)​ 证明这个方程的一个根比2大,另一个根比2小; (2)​ 若对于a=1,2,3,…2004,相应的一元二次方程的两个根分别为 , , …, ,.求 + + +…+ 的值. 12．（1995年昆明市初中数学竞赛试题）方程(1995x)2-1994×1996x-1=0的较大根为m, x2+1994x-1995=0较小根为n, 求m-n的值。 13．（1995年河南省初中数学竞赛试题）当n=1, 2, 3…, 1995时，关于x的一元二次方程n (n+1)x2-(2n+1)x+1=0的根为an, bn,试求： （1）|a1-b1|+|a2-b2|的值。 （2）|a1-b1|+|a2-b2|+…|a1995-b1995|的值。 14．（2000年湖北省初中数学竞赛试题）已知关于x的方程 4x2-8nx-3n=2 ① x2-(n+3)x-2n2+2=0 ② 问是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根？若存在，求出这样的n值，若不存在，请说明理由。 15．（1999年山东省初中数学竞赛试题）已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根。求证：这两个方程的另两个根（除公共根外）是方程x2+a3x+a1a2=0的根。 同步训练题参考答案 1. C 因为 ，即a2=9.解得a=±3. 2. C ∵m、n是二次方程x2+1994x+7=0的两个根，∴m2+1994m+7=0, n2+1994n+7=0，并且有mn=7, m+n=-1994. 于是，(m2+1993m+6) (n2+1995n+8)=(m2+1994m+7-m-1) (n2+1994n+7+n+1 ) =- (m+1) (n+1) =- (mn+m+n+1)=1986, 3. D ∵n≠0，∴ 若m≠ ∴m+ ， m· ∴|m |= , 4. B 由a+b+c=0, abc=2，知a,b,c三数中有一个正数，两个负数。因c>0,故a,b均为负数。由a+b=-c ab= 可知 a,b 是方程 x2+cx+ =0 的二根。其判别式⊿=c2-4· ≥0, 于是c3≥8,c≥2. |a|+|b|=|a+b|=|-c|=c≥2. 5. B 由题设 a、b是关于x的方程 的两个根，整理此方程，得 。∵ ，∴ ， .故a、b均为负数. 因此 6． 2或16 如果x1=x2，那么 =2；如果x1≠x2，那么x1，x2是一元二次方程 t2-6t+2=0的两根，x1+x2=6， x1x2=2。于是 = = =16 7．S≥ 且S≠ ⊿=(4m+3)2-4m2·4≥0, m≥ - 且m≠0。x1+x2= ， x1x2= S= = = = m+ , 于是S≥ 且S≠ . 8． 由题设知：α4+pα+q=0 ①, β4+pβ2+q=0 ②, ①-②, 得：（α4-β4）+p (α2-β2)=0, (α2-β2) (α2+β2+p)=0。∵α≠β，∴α2+β2+p=0, p=-[(α+β)2-2αβ]= 9． -3 ∵ ， ∴2+ 。 由根与系数的关系得： ，∴a=-4, b=1，故a+b=-3。 10．8 ∵α、β是方程x4-px2+q=0的根，故有 ① 由于x2-3x+1=0的判别式△=（-3）2-4=5＞0,∴α≠βα2≠β2, 解方程组①得： 。又由韦达定理，得：α+β=3， αβ=1。∴p=α2β2= (α+β)2-2αβ=7, q= (αβ)2=1,∴p+q=8. 11. (1)设方程的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=2, x1x2=-a2-a, (x1-2)(x2-2)= x1x2-2(x1+x2)+4=-a2-a=-a(a+1). 因a>0, 故(x1-2)(x2-2)<0, 即方程的一个根比2大,另一个根比2小. (2)对于a=1,2,3,…,2004,相应的一元二次方程分别为 x2-2x-1×2=0, x2-2x-2×3=0, x2-2x-3×4=0, …, x2-2x-2004×2005=0. 故 =2, = -1×2; =2, = -2×3; =2, = -3×4; …, =2, =-2004×2005. + + +…+ = + + +…+ = = = . 12．∵方程（1995x）2-1994×1996x-1=0的系数和19952-1994×1996-1=0，∴x1=1是方程的一个根，由韦达定理得另一个根x2= , 故m=1. 又∵方程x2+1994x-1995=0可化为（x+1995）(x-1)=0, ∴方程的两个根为x=1和x=-1995，故n=-1995, ∴m-n=1996. 13．∵△=（2n+1）2-4n (n+1)=1＞0，∴an, bn是方程的两个不相等的实数根。 由韦达定理，得：an+bn= , an·bn= 。 ∴|an-bn|= = (1)|a1-b1|+|a2-b2|= 。 (2)|a1-b1|+|a2-b2|+…+|a1995-b1995| = + =1- 14．∵△1=（-8n）2-4×4×(-3n-2)=(8n+3)2+23＞0，∴方程①有两个不相等的实数根。设方程①的两根为α、β，则α+β=2n, αβ= , ∴(α-β)2=4n2+3n+2, 方程②的两个根：x1=2n+2, x2=1-n,。 若 x1为整数，则4n2+3n+2=2n+2, ∴n1=0, n2=- , 当n=0时，x1=2; n=- 4n2+3n+2=1-n, ∴n3=n4=- , 当n=- 时，x2= , ∴n=0, 第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根。 15．设方程x2+a1x+a2a3=0的两根为α、β，方程x2+a2x+a1a3=0的两根为α、γ，其中α为两方程的公共根，则 α2+a1α+a2a3=0, ① α2+a2α+a1a3=0 ② ①-②, 得(a1-a2) α+a3(a2-a1)=0, 因为两个方程只有一个公共根，所以a1≠a2, 解得a=a3.由根与系数关系，得 a3+β=-a1, a3β=a2a3, a3γ=a1a3, 所以β=a2,γ=a1, a1+a2+a3=0. 因为β2+a3β+a1a2=a22+a3a2+a1a2=a2(a1+a2+a3)=0, γ2+a3γ+a1a2=a12+a3a1+a1a2=a1(a1+a2+a3)=0, 所以β、γ是方程x2+a3x+a1a2=0的两根.