弧长的公式、扇形面积公式及其应用

【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积   二. 教学要求 1、了解弧长计算及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。   三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。   ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2 R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式： ， 说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成 。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。   知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积 ，所以圆心角为1°的扇形面积是 ，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是 。 又因为扇形的弧长 ，扇形面积 ，所以又得到扇形面积的另一个计算公式： 。   知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，   当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 （        ）（结果用 表示） 分析：由图可知 由圆周角定理可知∠ABC＝ ∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。   圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积   知识点4、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的全面积 说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 （2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积 ，圆柱的全面积 知识小结： 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 图形 图形的形成过程   由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。 由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。 图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的特征 扇形 矩形 面积计算方法   【典型例题】 例1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积是（     ） A.        B.         C.         D. 分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为 ， 所以 故为：B.   例2. （2004·陕西）如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10厘米，tan∠BAC＝ ，求阴影部分的面积。 分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算。 解：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝10， tan∠BAC＝ ，而tan∠BAC＝ 设BC＝3k，AC＝4k，（k不为0，且为正数） 由勾股定理得 所以BC＝6，AC＝8， ，而 所以   例3. （2003.福州）如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（    ） 分析：连接OD，由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD＝ ， 因为正方形的边长为1，所以OE＝DE＝1，所以 ，设两部分阴影的面积中的一部分为M，另一部分为N，则 ，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P， 因为∠BOD＝∠DOC，所以 所以M＝P，所以 答案： 。   例4. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。 分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。 解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2 CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4 在△CDH中， 所以   例5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300 平方厘米 （1）求扇形的弧长。 （2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？ 分析：（1）由扇形面积公式 ，可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长公式 求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C＝2 r，底面圆半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得，所以 可求。 解：（1）设扇形的半径为R， 由 ，得 ，解得R＝30. 所以扇形的弧长 （厘米）。 （2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30，BC＝2r，底面圆周长C＝2 r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以 在Rt△ADC中，高AD＝ 所以轴截面面积 （平方厘米）。   【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、选择题 1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（     ） A. 4     B. 2   C. 47л     D. 2 л 2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（       ）     A.        B.       C.         D. 3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（    ）     A. 90°      B.    C.       D.180° 4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M， N．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（    ） A. 2倍    B. 3倍    C. 6倍       D. 9倍 5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（    ）     A.     B.     C.      D. 6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（    ） A. 2cm         B. 3cm            C. 4cm           D. 6cm 7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ） A. 30°          B. 60°             C. 90°            D. 120° 8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶2，则它们的高之比为（     ）     A. 2：1      B. 3：2          C. 2 ：       D. 5： 9. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（    ） A. S1＝S2    B. S1 > S2    C. S1 < S2   D. S1、S2的大小关系不确定   二、填空题 1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是          cm ，扇形的面积是          cm2. 2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是      . 3. 已知扇形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为        . 4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，则S1： S2＝      。 5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有        cm。 6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是 的三等分点，则阴影部分的面积是        。 7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为        。          三、 1. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC ，以A为圆心画弧 ，交AB于点D，交AC延长线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л取3）。 2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S1，另一个圆锥的侧面积是S2，如果圆锥和圆柱等底等高，求 ． 3. 圆锥的底面半径是R，母线长是3R，M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度． 【试题答案】 一、选择题 1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B   二、填空题 1、24         144 2、40° 3、19cm 4、3：4 5、3 6、2 7、2 －4   三、计算题 1、连接AE，则 ，所以 2、 3、连接展开图的两个端点MM'，即是最短长度。     利用等量关系得出∠MAM′＝120°，∠AMD＝30°，AD＝ ，