高9-4

第八章 1 一、多元复合函数求导的链式法则 ))(),(( ttfz yj= 定理. 若函数 ,)(,)( 可导在点 ttvtu yj == ),( vufz = 处偏导连续, ),( vu在点 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d × ¶ ¶ +× ¶ ¶ = 则复合函数 且有链式法则 u v tz ( 全导数 ) §8.4多元复合函数的求导法则 第八章 2 = t z d d )()()( 321 tftftf wyj ¢×¢+¢×¢+¢×¢= u中间变量是多元函数的情形. ),(,),(,),( yxvyxuvufz yj === = ¶ ¶ x z 1211 yj ¢¢+¢¢= ff 2221 yj ¢¢+¢¢= ff= ¶ ¶ y z t u u z d d × ¶ ¶ t v v z d d × ¶ ¶ + t w w z d d × ¶ ¶ + x u u z ¶ ¶ × ¶ ¶ x v v z ¶ ¶ × ¶ ¶ + y u u z ¶ ¶ × ¶ ¶ y v v z ¶ ¶ × ¶ ¶ + 全导数全导数 u v w tz u v x z y u中间变量多于两个的情形. ,),,( wvufz = )(,)(,)( twtvtu wyj === 第八章 3 u中间变量是一元函数的情形.),(,)( yxuufz j== = ¶ ¶ x z = ¶ ¶ y z ud zd y u ¶ ¶ × x u ¶ ¶ × ud zd u x z y u又 ),(,),( yxvvxfz y== x z ¶ ¶ 121 y ¢¢+¢= ff y z ¶ ¶ 22y ¢¢= f x f ¶ ¶ = x v v f ¶ ¶ × ¶ ¶ + y v v f ¶ ¶ × ¶ ¶ = x v x fz = y 第八章 4 例 1 设 tuvz sin+= ，而 teu = ， tv cos= ， 求全导数 dt dz . 解 t z d d tev= ttte t cos)sin(cos +-= t u u z d d × ¶ ¶ = t v v z d d × ¶ ¶ + t z ¶ ¶ + tusin- tcos+ u t tz v 第八章 5 解 y vu uv cos2 2 ×= yvu u sin2 2 ×+ .,sin,cos)ln(2 2 yx zzyxvyxuvuz ¢¢=== ，求，、例 y u cos2 ×= y v sin1 ×+ =¢xz xvxu vzuz ¢¢+¢¢ u v x z y =¢yz yvyu vzuz ¢¢+¢¢ x 3 = yy cottan2 +-= 第八章 6 例3. ,sin,),,( 2 222 yxzezyxfu zyx === ++ y u x u ¶ ¶ ¶ ¶ ,求 解: x u ¶ ¶ 222 2 zyxex ++= yxyxeyxx 2422 sin22 )sin21(2 +++= y u ¶ ¶ 222 2 zyxey ++= yxyxeyyxy 2422 sin4 )cossin(2 +++= x f ¶ ¶ = x z z f ¶ ¶ × ¶ ¶ + 222 2 zyxez +++ y f ¶ ¶ = y z z f ¶ ¶ × ¶ ¶ + 222 2 zyxez +++ yx sin2× yx cos2× x z x y fu = y 第八章 7 .,,),,(,4 xyxxx zzzyxuuxyz ¢¢¢¢¢=+= 求、例 j 解 =¢xz xuy ¢+ =¢¢xxz xxu ¢¢ =¢¢xyz xyu ¢¢+1 .,),( 2 5 2 yx zzxyx yz ¢¢+= 求、例 j 解 =¢xz )(2 2 2 xyy x y j ¢+- =¢yz )(xyxx y j ¢+ 第八章 8 解(1) 令 ,xyzxyxt ++= = ¶ ¶ x u x t dt du ¶ ¶ × ×¢= )(tf 例6. 设 f具有二阶连续偏导数, ;,),()2( ;,,,)()1( 2 zx wzyxzyxfw uuuzyxxyxfu zyx ¶¶ ¶ ++= ++= 求 求 x z tu y )1( yzy ++ = ¶ ¶ y u y t dt du ¶ ¶ × ×¢= )(tf )( xzx + = ¶ ¶ z u z t dt du ¶ ¶ × ×¢= )(tf xy 第八章 9 (2) 令 ,, zyxvzyxu =++= ),( vufw =则 记 ,),(1 u vuff ¶ ¶ =¢ ,),( 2 12 vu vuff ¶¶ ¶ =¢¢ = ¶ ¶ x w x v v f x u u f ¶ ¶ × ¶ ¶ + ¶ ¶ × ¶ ¶ 21 fyzf ¢+¢= = ¶¶ ¶ zx w2 )( 21 fyzfz ¢+¢ ¶ ¶ z fyzfy z f ¶ ¢¶ +¢+ ¶ ¢¶ = 22 1 x z uf y v x z u 2 1 f f ¢ ¢ y v = ¶ ¢¶ z f1 z v v f z u u f ¶ ¶ × ¶ ¢¶ + ¶ ¶ × ¶ ¢¶ 11 1211 fxyf ¢¢+¢¢= 第八章 10 = ¶ ¢¶ z f2 z v v f z u u f ¶ ¶ × ¶ ¢¶ + ¶ ¶ × ¶ ¢¶ 22 2221 fxyf ¢¢+¢¢= = ¶¶ ¶ zx w2 1211 fxyf ¢¢+¢¢ 2fy ¢+ )( 2221 fxyfyz ¢¢+¢¢+ .)( 222 2 1211 fyfzxyfzxyf ¢+¢¢+¢¢++¢¢= 第八章 11 二、全微分形式不变性 ,),( vufz =对 不论 u , v 是自变量还是因变量, vvufuvufz vu d),(d),(d += .),,,(.1 dufxyzxyxfu 可微，求= 解 将三个中间变量按顺序编号为1,2,3，则 dz z udy y udx x udu ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = dxfyzfyf )( 321 ¢+¢+¢= dyfxzfx )( 32 ¢+¢+ dzfxy 3¢+ 第八章 12 .),(.2 yx zyzxfx yxfxyz ×+×+= 可微，求设 解 )(, uxfxyz x yu +== 则令 =xz xufxufy ])([)( ¢++ ++= )(ufy ×¢ )(ufx )( 2x y - )(ufy += )(uf x y ¢- =yz yufxx ])([ ¢+ x ufxx 1)(¢+= )(ufx ¢+= =×+×\ yx zyzx )(2 uxfxy + .xyz += 第八章 13 .,)1(.3 2 yx yx zzxz ¢¢+= + ，求设 解设 vuzyxvxu =+=+= 则,,12 = ¶ ¶ x z x v v z dx du u z ¶ ¶ × ¶ ¶ +× ¶ ¶ uuxvu vv ln21 +×= - ))1ln( 1 )(2()1( 22 2 ++ + + += + x x yxxx yx = ¶ ¶ y z y v v z ¶ ¶ × ¶ ¶ )1ln()1( 22 ++= + xx yx 第八章 14 .41)2,( ,1),(.4 2 2 2 2 2222 = ¶ ¶ + ¶ ¶ =+- =¢¢+¢¢= y z x zyxxyyxf ffvufz vvuu 上满足在验证 有二阶连续偏导数，且设 证 xyvyxu 2,22 =-=令 xu v u f f f ¢ ¢ yv=¶ ¶ x z ufx ¢×2 vfy ¢×+ 2 = ¶ ¶ y z ufy ¢×- 2 vfx ¢×+ 2 = ¶ ¶ 2 2 x z x fxf uu ¶ ¢¶ ×+¢ 22 x fy v ¶ ¢¶ ×+ 2 第八章 15 ×+¢= xf u 22 +¢¢× uufx2( )2 vufy ¢¢× (2 ×+ y +¢¢× uvfx2 )2 vvfy ¢¢× uuu fxf ¢¢×+¢ 242偏导数 二阶连续 vufxy ¢¢×+ 8 vvfy ¢¢×+ 24 = ¶ ¶ 2 2 y z uuu fyf ¢¢×+¢- 242 vufxy ¢¢×- 8 vvfx ¢¢×+ 24 1,1 22 =+=¢¢+¢¢ yxff vvuu又 = ¶ ¶ + ¶ ¶ \ 2 2 2 2 y z x z uufyx ¢¢+ )4 22（ vvfyx ¢¢++ )(4 22 4=