25矩阵的秩

nullnull上课 手机 关了吗？null复 习矩阵的初等行、列变换；矩阵等价；初等矩阵定理1A=(aij)m×n(A≌形D)初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵 定理2 对A作初等行(列)变换,相当于用相应的初等矩阵左(右)乘A. 推论 对任一矩阵A,存在可逆阵P,Q,使PAQ= 定理3 n阶可逆矩阵A的等价标准形D=Ennull若用一系列初等行变换将A化为单位矩阵E, 则对E施以同样的行变换即得A-1若用一系列初等行变换将A化为单位矩阵E, 则对B施以同样的行变换即得A-1BA-1＝P1P2…Pknull任选Am×n的k行k列所得k阶行列式(k≤min(m,n)) 例有二阶子式 三阶子式 若矩阵A中至少有一个r阶子式不为零, 而所有的r＋1阶子式皆为零, 则称r为矩阵A的秩,记为r(A)＝r. 即：矩阵A的秩等于A中不为零的子式的最高阶数. 2.6 矩阵的秩 一、矩阵秩的定义1. k阶子式:2.矩阵的秩(1)定义所有高于r＋1阶的子式必为零!上例：r(A)＝2null ① 0≤r(Am×n)≤min{m, n}② r(A)= r(AT)， r(kA)= r(A) (k≠0)(2)性质： ③ A存在r阶子式不为0 r(A)≥rr(A)≤r④ An×n可逆r(A)＝ n二、用初等变换定理 矩阵经过初等变换，其秩不变.r(A)=m, 称A为行满秩矩阵; 规定：r(O)＝0r(A)=n, 称A为列满秩矩阵.统称为满秩矩阵求矩阵的秩(证明:P66)——用定义，繁!null行阶梯形矩阵非零行的行数 r行阶梯形矩阵：自上而下各行中，第一个非零元左边零的个数逐行增加；零行在最下面. 例:简化行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵，非零行的第一个非零元均为1，其所在列的其它元素均为0.null例1 求下列矩阵的秩解∴r(A)＝3(1)(2)∴r(B)＝2(2)(1)null例2(01考研)设矩阵 , 且秩(A)＝3,－3则k＝＝(k＋3)(k－1)3＝0∵ k＝1时，r(A)＝1∴k＝－3解null证：设A可逆，则 即对B作s次初等行变换可得AB∴ r(AB)＝r(B) 三、几个常见结论(1) 0≤r(Am×n)≤min{m, n}(3)①r(A)＋r(B)－n≤r(Am×nBn×s)≤min{r(A) , r(B)}A=P1P2…Ps (Pi为初等矩阵)∴AB=P1P2…PsB(证明见P68)(4) r(A＋B)≤ r(A)＋r(B)(5)联合用于证明一些有关矩阵秩的等式②null例3 设A为n阶幂等矩阵(A2＝A)，证明：证：由A2＝A得∴r(A)＋r(E－A)≤n 又r(A)＋r(E－A)≥r(A＋E－A)＝r(E)＝n∴ r(A)＋r(E－A)＝ n r(A)＋r(E－A)＝nA(E－A)＝Onull设A为n(n≥2)阶方阵, 则证:1)r(A)＝n时， ，A可逆，且 可逆2)r(A)=n－1时,A不可逆,而r(A)=n－1,另一方面,r(A)=n－1∴A存在n－1阶子式不为0综上,有3) r(A) < n－1时， A的所有n－1阶子式均为0,(6)null作业： P78：15 (1),(3) ; 16; 17.预习: “3.1”null下课