概率密度函数

null第五节第五节 第二章 二、概率密度函数的性质一 、概率密度函数的概念连续性随机变量三、连续型随机变量的分布函数null离散型随机变量的可能值可以一一列举出来，但另一类随机变量它们的可能取值不止有限个或可列个，其取值是充满某一个区间，即不能用分布列表示X 的取值及其概率。因此通过所谓概率密度来描述这类随机变量的统计规律性。本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其导数，还要用到指数函数及图形特点等知识。一、概率密度函数的概念定义1、定义1、对于随机变量X，若存在非负函数使对任意实数则称X为连续型随机变量，为X的概率密度函数，简称密度函数或密度.都有的概率分布规律就得到了全面描述.所以若已知密度函数，该连续型随机变量二、 概率 密度函数的性质这两条性质是判定一个函数是否为某随机变量X的密度函数的充要条件。性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； (2) 归一性(1) 非负性二、 概率 密度函数的性质密度函数的几何意义即X落在上的概率上曲线之下的曲边梯形的面积。（4）若在点x 处连续，则有这表示X落在小区间[x,x+Δx]上的概率近似地等于若不计高阶无穷小，有：密度函数的几何意义null若的进一步理解:对的连续点，则：是如果把概率理解为质量， 这一点的值，恰好是X 落在的概率与区间长度之比的极限.这里，相当于线密度.区间不是概率.所起的作用与理论中所起的作用相类似.在连续型随机变量理论中在离散型随机变量null（5） 对任意实数a，则称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.可见，由P(A )=0, 不能推出由P(B )=1, 不能推出 B = S这是因为null的高度反映了概率集中在该点附近的程度.要注意的是:密度函数并不是的概率.但是这个高度越大，则X取附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．null 对连续型随机变量X, 有例1例1某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度求 1、常数 k .2、 该晶体管不能工作150 h 的概率。3、一台仪器中装有4只此种晶体管，至少有1只失效的概率。工作150h后，解 1、3、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” 由于由于相互独立，则所求的概率为三、连续性随机变量的分布函数三、连续性随机变量的分布函数 对于连续性随机变量X，存在密度函数使对任意实数则称F(x) 为连续型随机变量X的分布函数，都有分布规律就得到了全面描述。由于连续型随机变量的分布确定.所以若已知密度函数，该连续型随机变量的概率函数唯一被它的密度函数所连续性随机变量分布函数的性质连续性随机变量分布函数的性质null则有面积为1(3)例1例1试说明设有函数不满足性质(1)，故可见F(x)也不能是随机变量的分布函数.能否是某个随机变量的分布函数.解： 注意到函数在上下降，不能是分布函数.不满足性质(2)，例2例2解例3 已知例3 已知求 A、 B.解例4设随机变量 X 的密度函数为求解：对 x < 0，对对即例4例5求 F(x).设例5=01F(x)解null也可求出即对连续型随机变量，若已知，我们通过求导例6例6设X是连续性随机变量，其分布密度为（1）确定常数A的值;（2） 求 F(x)；解null作业作业P14 1 12 13