微积分论文数学微积分论文

教 育 战 线 166 INTELLIGENCE······ ·················· 解微积分题常用的数学思想方法 长春师范学院数学学院 赵红发 运城市平陆县康平中学部 赵冬梅 摘 要：主要阐述了解微积分题常用的两种思想方法：函数思想和变换思想，并 通过例题进行了详细诠释。 关键词：微积分题 函数的思想 变换的思想 微积分的习题首先能够使学习者熟练和巩固所学习的知 识，其二，能够提高学习者的独立分析问题和解决问题的能力。 另外微积分的有的习题往往是有关理论知识的必不可少的补 充，不做活不做好这些习题就会对理解掌握有关理论知识形 成某种缺陷。大部分学习微积分的人都感觉微积分的习题比 较难做，做有的题根本没有思路。希望本文对学习微积分者 能够起到抛砖引玉的作用。 一、利用函数思想解决微积分题 微积分主要研究对象为函数，微积分的大部分习题都 要涉及到函数，用函数思想来处理微积分的习题是自然的 事情 . 所谓的的函数思想就是处理问题时引入适当的函数， 将所讨论的问题转化为函数问题并加以解决的一种思想防方 法 .下面具体诠释函数的思想在处理微积分题方面的应用 . 1 数列问题采用函数的思想来处理 数列和函数相比，前者离散，后者连续，利用函数的思 想方法，将数列问题转化为相应的函数问题，是求数列问题 的一种有效的方法 . 例 1 求数列{ }n n 的极限 . 解 设 ( ) x xxf = ，则 ( )[ ] xxxf ln1ln = ，因 0lnlim =+∞→ xxx ， 故 1lim 0 ==+∞→ exxx ，再由归结原则得 1lim =∞→ nn n 2 有的不等式的证明也可利用函数的思想来处理，我们 可通过函数的单调性、凸凹性和最值等来证明不等式 . 例 2 证明不等式 ( )1,213 ><− xx x ． 证明 设 ( ) ( )1,132 >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= x x xxf ( )xf 在 [ )+∞,1 上可导，且 0221 >−=′ −− xxf 故当 1>x 时，有 ( ) ( ) 01 => fxf ，即 ( )1,213 ><− xxx . 3 在研究方程问题时，特别是证明方程的根的存在性问 题时，我们可利用函数的思想方法来处理，往往可以化难为易， 化繁为简，达到解决问题的目的 . 例 3 证明方程 0123 311 =−+ xx 至少有一正实根 . 证明 令 ( ) 123 311 −+= xxxf ， ( )xf 在 [ ]2,0 上连续，( ) ( ) 0122,120 >>−= ff ， 由介值性定理得，至少存在一 ( )2,0∈ξ ，使 ( ) 0=ξf ， 即此方程至少有一正实根 二、利用变换的思想求解微积分题 变换的思想是指研究和解答数学问题时，将复杂、困难 的问题通过适当的变换，转化为简单容易的问题，从而达到 解决问题目的的一种数学思想方法。下面具体诠释变换的思 想在处理微积分题方面的应用 . 1 通过变换的思想求解极限问题 例 4 求极限 x e x x 1lim 0 − → . 解 令 ( )1ln,1 +==− txtex ， 0,0 →→ tx ; x e x x 1lim 0 − → = ( )1lnlim0 +→ t t t = ( ) 11ln 1lim 10 =+→ tt t 2 通过变换的思想求解积分问题 例 5 求不定积分 ( )dxxx∫ + ln21 1 ． 解　令 dxxduxu 2,ln21 =+= ； ( )dxxx∫ + ln21 1 ＝ cxcuduu ++=+=∫ ln21ln21ln21121 ． 在求解微积分题方面，还有许多的数学思想方法，如极 限思想、导数思想等 . 文中仅列最常用的两种思想方法，希 望能够起到抛砖引玉的作用 . 参考文献 [1] 明清河 . 数学分析的思想与方法 [M]. 山东大学出版 社 ,2004. [2] 吴赣昌 .微积分 [M]. 中国人民大学出版社 ,2009. [3] 任亲谋 . 数学分析习题解析 [M]. 陕西师范大学出版 社 ,2004. [4] 龚德恩 . 经济数学基础 ( 微积分 )[M]. 四川人民出 版社 ,2005. 作者简介： 赵红发 (1969-), 山西省平陆人 , 长春师范学院数学学院 讲师 ,硕士 ,从事应用数学研究 。 赵冬梅（1972-）山西省平陆人，山西省运城市平陆县康 平中学小学部教师，从事数学教育研究。