竞赛讲座 28代数式的变形（整式与分式）

竞赛讲座28 竞赛讲座28 －代数式的变形（整式与分式） 在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.   1．  配方   在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.   例1          （1986年全国初中竞赛题）设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.   解mn=(a2+b2)(c2+d2)   =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd   =(ac+bd)2+(ad-bc)2   =(ac-bd)2+(ad+bc)2,   所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.   例2（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且   (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2   =(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.   求的值.   解  将条件化简成   2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0   ∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0   ∴x=y=z,∴原式=1.   2.因式分解   前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.   例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求   的值.   解  ∵a为x2-3x+1=0的根,   ∴ a2-3a+1=0,,且=1.   原式   说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.   3.换元   换元使复杂的问题变得简洁明了.   例4 设a+b+c=3m,求证:   (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.   证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c则   p+q+r=0.   P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0   ∴p3+q3+r3-3pqr=0   即  (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0   例5 (民主德国竞赛) 若,试比较A、B的大小.   解 设 则   .   ∵2x＞y     ∴2x-y＞0, 又y＞0,   可知 ∴A＞B.   4.设参   当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.   例6 若求x+y+z的值.   解  令   则有   x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,   ∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.   例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,   ,求a+b+c的值.   解  设 a+b+c=k   则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.   由条件知   即       ∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,   ∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.   ∵a2+b2+c2=1,   ∴k=a3+b3+c3-3abc   =(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc   =(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),   =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),   ∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),   ∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,   ∴k(-ab-bc-ac)=0.   若K=0, 就是a+b+c=0.   若-ab-bc-ac=0,   即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,   ∴(a+b+c)2=1,   ∴a+b+c=±1   综上知a+b+c=0或a+b+c=±1   5.“拆”、“并”和通分   下面重点介绍分式的变形：   （1） 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.   例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n，分数皆不可约.,   证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.   而           显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.   （2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.   例9 设n为正整数，求证：      ① ②    证明  令   通分，   比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.   ∴   令k=1,2,…,n得        (3)通分  通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.   例10(1986年冬令营赛前训练题)   已知   求证:.   证明         6.其他变形   例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______.   解   x2=x(x+1)-x      或  x2=x(x-1)+x      例12 （第3届美国中学生数学竞赛题）设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.   解  由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故   19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)      解得  x=3.  y=10.   ∴   d-b=y3-x5=757                             练习 七   1选择题   （1）（第34届美国数学竞赛题）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（ ）   （A）2         （B）3         （C）6            （D）7      （E）8   （3） 已知则的值是（ ）.   (A)1      (B)0     (C)-1    (D)3   （3）（第37届美国中学数学竞赛题）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（ ）.   （A）p%     (B)%       (C)%          (D)%  (E)%   2填空题   （1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________,  b+c+d+e=_______.   (2)若=_____.   (3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______   3若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.   4（1985年宁夏初中数学竞赛题）把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.   5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.   6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证      7已知a2+c2=2b2,求证   8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:   如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.   9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.       练习七   1.C.C.E   2.(1)-32,210    (2)   (3)2   3.略.   4.   5.    6.略,    7.略.   8.∵p2-4q-4(m+1)=0,   ∴4q=p2-4(m+1)=0,   ∴f(x)   =4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2   =4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x   =[2x2-px-(m+1)]2.   9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为   pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),   展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,   即(cp-bq)(dp-aq)=0.   于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).   均可得出ac=bd.