几种特殊类型函数的积分

nullnull§3 几类初等函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.null假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.null熟知，在复数范围内m次多项式方程Q(x)=0 有m个根，且虚根成对出现. 于是，有理函数的分母在实数范围内的标准分解为：null有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为null特殊地：分解后为于是真分式的积分化为如下两种形式的积分：null这表明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：讨论积分null则记null这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.null真分式化为部分分式之和的待定系数法例1null例2null例3整理得null例4 求积分 解null例5 求积分 解null例6 求积分解null二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分三角有理式的定义：null（万能置换公式）化为了关于u的有理函数的积分.null例7 求积分解由万能置换公式nullnull万能代换固然有效，但有时很烦琐.事实上，我们有三种标准代换来计算积分null解令例8 求积分，则null另解可以不用置换公式.结论比较以上两种解法, 便知置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用置换.null例9 求积分解null三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分1.解决方法 令nullnull例11 求积分说明无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.null例12 求积分解先对分母进行有理化原式null例13 求积分解原式例14 求积分null例15 求积分解原式null一般地，另解：四、四、小结简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）null思考将分式分解成部分分式之和时应注意什么？null思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.null练习题nullnullnullnullnullnull