y=f（g（x））与y=g（f（x））的图象关于直线y=x对称吗

2006年第 1期 中学研究 31 Y=f(g( ))与 Y=g(f( )) 的 图 象 关 于 直 线 Y= 对 称 吗 江苏省暨阳高级中学 (215(~0) 刘 飚 江节省射阳县教育局教研室 (224300) 王克亮 辅导课上，有位学生问我：“如何证明 _y= g( ))与 y=g( ))的图象大于直线 y= 对 称?”我一愣，因为我从未见过这个结论．当我问他为 什么会想到这个问题时，他拿出_r一本~2oo4年全国各 省市高考全真试题汇编》(天星教育研究中心、天星教 育网、新疆青少，十出版社联合出版)，找到了2004年浙 江省高考数学试题的第 12题： 若 )，g( )足定义在实数集R上的两个函数， 且方程 一厂(g( ))=0有实数解，则g(．厂(X))不可能 足( )．A． 0+ 一(1／5)；B． + +(1／5)；C． 0一 (1／5)；D． 0+(1／5)．(编者注：参见本刊200o,年第9 期．) 学牛翻到书中提供的解答：方程 g(X))一 =0 有实数解，即 y= 与y= g( ))的图象有交点．而 y=I厂(g( ))与y=g(I厂( ))的图象关于直线y= 对称，若 = g( ))有实数解，则 =g( ． 厂( ))也有 实数解．绎判断，由 + +(1／5)> 知_y= + + (1／5)在 y= 的上方，两者无公共点，故选 曰． 学生说，对该解答他不明白“而 y= g( ))与y =g( ))的图象关于直线 y= 对称”这个结论是 怎么来的? 经过思考我从以下三点找到这一结论的错误： l、从函数存在性的角度．题中四个选择支中所给 m的y：g(厂( ))的解析式都足二次函数，它们的图 象都有对称轴 ；一b／2a．假设y=．厂(g( ))与y= g(厂( ))的图象关于直线 y= 对 称，那 么 y= g( ))的图象一定关于直线y=b／2a对称，则存在 ，使 g( ))有两个不同函数值，与函数定义矛盾． 2、从反函数的角度．即使 ． 厂( )与 g( )都是一一 对应。也不能保证该结论成立． 事实上，此时 )与g( )都有反函数，则由y = _厂(g( ))得g( )=广 (1y)，从而 =g (广 (y))． 故 y；I厂(g( ))的反函数足y=g (广’( ))，即Y= I厂(g( ))与y=g (广 ( ))的图象父于直线y= 对 称．但 y=g(．厂( ))与_y=g (厂 ( ))不是一 事， 它们的图象不一定重合． 3、从实例的角度．设 )= ，g( )=一 ．则 ． g( ))： 。，g( ． ))=一 ，显然这两个复合函 数的图象并不关于直线 = 对称． 学生认同我的解释，但他不解：为何这样做的答 案又是正确的呢?于是我运用特殊化的思想向他说明： 该题 不妨 设 )和 g( )完 全相 同，这 时 y = ．厂(g( ))与y=g(I厂( ))也完全相同，原题就变成： “若 )是定义在实数集 R上的函数，日+方程 一 ． ． X))=0有实数解，则 ． ． ))不口J以是 A，B，C， ，J中的哪一个?”只须考察哪一个选择支与 相等后 没有实数解，此即书上提供为何正确之原因． 学生恍然大悟，但欣喜之余，他仍对答案中的结 沧耿耿于怀，问：y=I厂(g( ))与y=g(．厂( ))这两个 函数的图象是否可以父于直线 y= 对称? 对此，我只给出如下两个充分条件： 条件1、当，’( )与g( )互为反函数时． 若I厂( )=g ( )，g( )；厂 ( )，则I厂(g( )) = ，g( ))= ，显然结论成立． 条件2、当厂( )与g( )都为自反函数，即 )= ， ( )且 g( )=g‘ ( )时． 证明：没(m，n)是 y= g( ))图象上任一点， 则 n= g(m))，故 g(m)=广 (n)，进而 m = g (厂 (n))，由条件知 m =g(．厂(n))，故点(n，m) 在 y=g( ))的图象上；反之亦然．故结论成立． 学生紧追不放，又提出一个问题：y= g( )) 与y：g( ))这两个函数之间还有别的联系吗? 经探讨，我给出如下答案． 结论：如果y=I厂(g( ))与y=g(I厂( ))这两个 函数的图象中有一个与直线 y= 有公共点，则另一 个也必定与直线 y= 有公共点． 证明：没(tn，tn)是函数 y= g( ))的图象与直 线y= 的公共点，即 =I厂(g(￡0))．没 1=g(￡n)， 则 g(I厂( 1))=g(I厂(g(to)))=g(t0)= 1．故( l， J) 即(g(t。)，g(t0))是y=g(_厂( ))的图象与盲线 y= 的公共点．由对称性知本结论成立． 该结论还可叙述为：若y=厂(g( ))与y=gt厂( )) 两者中有一存在不动点，则另一也存在不动点． 事实上，前述高考题的命制就是基于这一原理． 参考文献： [1]孙加明．对一道新颖高考选择题的剖析．巾学教研 (数学)，2004(10)． 维普资讯 http://www.cqvip.com