庞加莱猜想可能被证明了

光明日报/ 2004年/ 02月/ 20日/ 庞加莱猜想可能被证明了 刘钝 � � 法国人庞加莱( Henri Poincar�)被称为�最后一位数学全才 , 在他留下的巨大科学遗产中,有 一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题,这就是困扰了数学家整整一个世纪的�庞加莱猜想 。 庞加莱是在 1904年发的一组论文中提出这一猜想的: �单连通的三维闭流形同胚于三维球 面。 它后来被推广为: �任何与 n维球面同伦的 n维闭流形必定同胚于n维球面。 我们不妨借助二 维的例子做一个粗浅的比喻: 一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面,而一个吹涨的气球 则可以视为二维球面,二者之间的点存在着一一对应的关系,同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球 上相邻的点,反之亦然。有趣的是,这一猜想的高维推论已于上个世纪 60年代和 80年代分别得到 解决,唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里, 向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。 代数拓扑是当今数学最具活力的领域之一,对�庞加莱猜想 的证明及其带来的后果将会加深 数学家对流形性质的认识,甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响,而这一猜想的陈述又 是那样的简洁和明朗,因此设在波士顿的克莱数学研究所于 2000年将它列为�七大千年难题 之 一,并悬赏 100万美金奖励这一猜想的证明者。也正因为如此, 当美国媒体和互联网上关于这一猜 想可能已被证明的消息传播开来之时, 在整个数学界引起的轰动就可想而知了。 对此猜想作出重要贡献的是一位来自俄罗斯的中年数学家格里高利!佩雷尔曼 ( Grigory Perelman)。他是圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所的研究员, 在过去 10年中一直致力于微分几何 与代数拓扑的研究。2002年 11月,佩雷尔曼通过互联网公布了一个研究, 声称证明了由美国 数学家瑟斯顿( William P. T hurston)在 25 年前提出的有关三维流形的�几何化猜想 , 而� 庞加莱 猜想 正是后者的一个特例。由于每隔数年就会冒出一个新的�证明 随后又被推翻,因此数学界对 此类报告一向是非常谨慎的。四个月后佩雷尔曼又在网上公布了第二份报告, 介绍了证明的更多 细节。同时他也通过电子邮件与该领域的少数专家进行交流。 2003年 4月, 应华裔数学家田刚的邀请,佩雷尔曼在麻省理工学院作了三场演讲, 结果大获成 功。他似乎对所有问题和质疑都有准备 ∀ ∀ ∀ 或者流利地应答, 或者指出其属枝节末流。听过演讲 的专业人士认为他的工作是极富创造性的, �即使证明有误,他也发展了一些工具和思想,足以导致 对#几何化猜想∃ 的精致处理,其中有极为振奋人心的东西 ,克莱研究所所长卡尔森( Jim Carlson) 如是说。 数天后的 4月 15日,%纽约时报&首次以�俄国人报告,著名的数学问题解决了 为题向公众披 露了这一消息。同日有影响的数学网站 MathWorld刊出的头条文章为�庞加莱猜想被证明了,这 一回是真的 。佩雷尔曼很快成了一个新闻人物, 但他对此很不适应。两周后当他应邀在纽约大学 柯朗研究所演讲时, 报告厅里挤满了记者和慕名而来的非专业听众。佩雷尔曼演讲的热情大打折 扣,他拒绝回答记者提出的�有何应用 的问题, 并大声制止为他拍照的企图。对包括%自然&、%科 学&这样声名显赫的杂志的电信采访他也不屑一顾。后来人们干脆找不到他了,连他在圣彼得堡的 同事们都不知道他在哪里和在做什么。2003 年年底在加州召开了两个以他的工作为主题的研讨 会,他也没有到会。 佩雷尔曼不但生性腼腆, 而且特立独行。大约 10年前访问美国时, 他的工作就曾引起人们的 注意并因此得到在美国大学工作的机会,但是同他的许多有才华和机会的同胞相反,他很快返回俄 国,过着几乎是隐士般的生活。�他需要的是数学,而不是奖赏、资金和职位 ,这是今年 1月刚出版 的%自然&杂志( Nature 427)上一篇关于他的文章所用的提示语。 佩雷尔曼的证明目前正由几位有资格的专家进行严格的审查。田刚已经审读完第二篇报告的 大部分,到目前为止还没有发现什么漏洞,他希望在今年夏天完成其余的部分。数学家们的系统审 查则可能延续到 2005年,到那时我们才能知道�庞加莱猜想 是否已经被证明了, 以及佩雷尔曼是 否会得到�千年大奖 。