考点透析24 高考数学解题错误成因分析与应对策略

24 高考数学解题错误成因分析与应对策略 考点透析24 高考数学解题非智力因素失误的成因分析与应对策略 高考是人生一件大事，在高考中取得数学科目的高分是莘莘学子梦寐以求的事，为此不少的学生做出十几年艰苦奋斗，但是在历年的高考中还是有些数学得很好的同学考出不满意的成绩，不能很好地展现个人的才华，造成人生第一次，第大憾事。是什么原因造成这些考生的终生遗憾，这是本课研究的主题，怎样有效地避免类似的悲剧在高考中重演则是本课要达到的目标。 一．数学解题错误的特征 解题错误是数学过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也考生学习水平、身体与心理状况有关。数学解题错误既有个性又有共性，据统计数学错误有一定的规律性。 1．1 主观盲动性：数学解题是主体感受并处理数学信息的创造性的思维过程。部分考生末切题意，加之高考求胜心切，凭个人的经验盲目做题，以至于出现主观认识错误和限入主观思维定势，造成的主观盲动性错误和解题思维障碍。 1．2 漏洞隐蔽性：数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯有着决定性的作用。个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生是很难发现的，考生本人还处我感觉很好。这是思维跳跃度大和平时解题不写过程的考生的共同特点。（是聪明人犯的愚蠢的错误） 1．3 错误可避性：解题错误是在数学解题过程中形成的，是数学认识过程中的正常现象。因此高考数学解题中的错误也是可以避免的。所谓“吃一堑长一智”，就是说我们要增强数学解题过程中的错误警戒意识，养成严谨的数学思维习惯，并构建数学解题过程中常见性错误的“错题库” 1．4 形式多样性：数学解题错误形式多样性是由数学知识的广泛性和个体思维的不确定性决定的。一般来说考生有解题错误有知识性错误、逻辑性错误、心理性错误、策略性的错误。 二．数学解题失误的形式 2.1基本概念数学特征不明 1.曲线 与曲线 的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 2.若 方程 表示的曲线可以是 直线、圆、椭圆、双曲线 2.2 策略性错误 策略性错误是指解题思路阻塞或一种策略产生错误导向，或指一种策略明显增加了过程的难度和复杂性，由于时间的限制，问题最终得不到解决。主要有：①方法不当，②不能正确转化问题或运用模式。（消除策略性错误的应对策略是：后期复习注意归类，对基础题中档题形成模式化解法） 3．过圆∴ 外一点M（4，-1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 析： ，错误的思路是先找切点而后再直线方程，造成了很大的计算量。 4．对正整数n,设抛物线y2=2(2n+1)x,过点P(2n,0)作直线交抛物线于 两点，则数列 的前n和= 。 2.3阅读理解失误 【错误形式1】忽视隐含条件，导致结果错误。 5. 设 是方程 的两个实根，则 的最小值是 析：误了A，应注意∴ 思路分析 本例只有一个正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得： 有的学生一看到 ，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根 ，∴ 当 时， 的最小值是8； 当 时， 的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 6. 已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。 错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+ )2+ ， ∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。 分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 事实上，由于(x+2)2+ =1 (x+2)2=1－ ≤1 －3≤x≤－1， 从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1, ]。 注意有界性：偶次方x2≥0，三角数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。 7.已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 、 ，若点 在椭圆 上，且满足 ，求实数 的取值范围． 8.在函数y=x3－8x的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 析：（忽视了倾角的定义与斜率之间的关系，即导数限制条件是： ） 9.在极坐标系中，从极点O作圆 的弦ON，则ON的中点的轨迹方程是 析： ，错误原因是写成了直角坐标系内的方程 10．直线 与圆 没有公共点，则实数 取值范围是（ ） A． B． C． D． 析：应选A，忽视了 ，错误地选取了C。 11．设O（0，0）A（1，0），B（0，1）P是线段AB上的一个动点， 若 则实数 取值范围是（ ）A． B． C． D． 析：忽视了点P在线段AB上应满条件 ，错选了D，应选B 12．已知{（x,y）|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ则直线(m+3)x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形的面积是 析：只重平行，忽视重合，忘舍了m=4 【错误形式2】忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。 13．已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。 错解 (a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +4≥2ab+ +4≥4 +4=8, ∴(a+ )2+(b+ )2的最小值是8. 分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b= ,第二次等号成立的条件是ab= ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。 事实上，原式= a2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4=[(a+b)2－2ab]+[( + )2－ ]+4 = (1－2ab)(1+ )+4， 由ab≤( )2= 得：1－2ab≥1－ = , 且 ≥16，1+ ≥17， ∴原式≥ ×17+4= (当且仅当a=b= 时，等号成立)， ∴(a + )2 + (b + )2的最小值是。 14．曲线 ，与直线 有两个公共点，则实数k取值范围是（ ） A. B. C. D. 析：错选C，错因化一元二次方程求解，忽视了函数 的特点，解题策略不当，应注意数形结合，用直线和圆珠笔的位置关系求解。 【错误形式3】重视一般性，忘记特殊性 15.求过点 的直线，使它与抛物线 仅有一个交点。 错误解法 设所求的过点 的直线为 ，则它与抛物线的交点为 ，消去 得 整理得 直线与抛物线仅有一个交点， 解得 所求直线为 错误分析 此处解法共有三处错误： 第一，设所求直线为 时，没有考虑 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。 第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。 第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。 正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 轴，因为过点 ，所以 即 轴，它正好与抛物线 相切。 ②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行 轴，它正好与抛物线 只有一个交点。 ③一般地，设所求的过点 的直线为 ,则 ， 令 解得k = ,∴ 所求直线为 综上，满足条件的直线为： 16．已知函数 的定义域为R，则实数 取值范围是（ ） A． B． C． D． 析：应选C，错误原因是只把分母看成二次函数研究，而忽视了 情况。 【错误形式4】以偏概全，错将特殊当一般 17．设等比数列 的全 项和为 .若 ，求数列的公比 . 错误解法 ， 。 错误分析 在错解中，由 ， 时，应有 。 在等比数列中， 是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比 的情况，再在 的情况下，对式子进行整理变形。 正确解法 若 ，则有 但 ，即得 与题设矛盾，故 . 又依题意 ,即 因为 ，所以 所以 解得 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分而痛失2分。 【错误形式5】忽视分类讨论，或分类不全 18．已知数列 的前 项和 ，求 错误解法 错误分析 显然，当 时， 。 错误原因：没有注意公式 成立的条件是。 因此在运用 时，必须检验 时的情形。即： 。 19．实数 为何值时，圆 与抛物线 有两个公共点。 错误解法 将圆 与抛物线 联立，消去 ， 得 ① 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 ， 解之得 错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当 时，圆与抛物线有两个公共点。 要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。 当方程①有一正根、一负根时，得 解之，得 因此，当 或 时，圆 与抛物线 有两个公共点。 思考题：实数 为何值时，圆 与抛物线 ， (1)​ 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。 【错误形式6】空间图形读图平面化 20．一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图为边长为2的正三角形，俯视图是正方形则其体积= 析：误将斜高当侧棱 【错误形式7】类比推理中，推理方向的盲目性 21．如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则 （射影定理）类似有命题：三棱锥A-BCD中AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，则有 【错误形式8】归纳推理中，推理方向的盲目性 22．将正偶数按右表排列，则2006在第 行，第 列。 【错误形式9】限域求值，等号取舍不当 23．不共线的向量 ， 则 的取值范围是 24．设函数 ，求函数的值域。 25．对 ，函数 不存在极值的充要条件是 0≤ ≤21 或 或 或 【错误形式10】转移法使用不熟练 26．设 ，且 当 ，求函数 的解析式。 2.4心理过度紧张 数学解题除需扎实的数学知识、基本技能和较强数学思维能力之外，还需要有良好的心理素质和强健的身体，否则使知识技能掌握的不错，也可能因为心理障碍而产生错误，甚至一筹莫展。（消除心理紧张的策略是，先选两道简单容易确保正确的题做一下，当心理上感觉有了成就感后再顺序做题。） 27．已知直线 与圆 相离，则三条边长分别为 、 、 的三角形可以是 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 不存在 28．若 则函数 的单调递减区间是 上述分析只是错误解题的一般性问题：后期应考期间，应做的是怎样才能有效地避免非智力因素失分，对照考点检查常见知识和公式、定理是否记住。大题的解题格式是掌握，并适当猜测大题（6题）可能考查形式，适当休息，劳逸结合，消除恐惧心理，高考文科数学并不难，保持良好心态，心态好自信高考就一定能考得好。