谈数学概念的特点

试论数学概念的教学 谈数学概念的特点、教学原则与方法 郑步春 一 数学概念的特点 .1。数学概念的意义 我们知道，概念是思维的基本形式之一，反映客观事物的一般的、本质的特征。人们对客观事物的认识一般是通过感觉、知觉形成观念（表象），这是感性认识阶段。再经过分析、比较、抽象、概括等一系列思维活动，把所感觉到的事物的共同特点抽象出来，从而认识事物的本质属性，形成概念，这是理性认识阶段。理性认识在实践的基础上不断深化，概念相应地也就进一步获得发展。 数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。有些数学概念是直接反映客观事物的。例如，自然数、点、线、面、体等。然而，大多数数学概念是在一些数学概念的基础上，经过多次的抽象概括过程才形成和发展的。例如，无理数、复数的概念，就是分别是在有理数系和实数系的基础上产生的；而关系、映射、群、环、域等概念的产生与发展的过程就更复杂了。 2．数学概念的特点 其一，数学概念具有抽象性与具体性。这是因为数学概念代表了一类事物的本质属性，决定了它的抽象性，已远远脱离具体现实，且抽象程度越高距离现实越远。但是不管它如何抽象，高层次的抽象又总是以低层次的事物为具体的。也就是低抽象度的概念是高抽象度概念的具体模型。例如，数字是抽象字母的具体模型，而字母又是抽象函数的具体模型。并且数学概念始终是数学命题、数学推理的基础成分，它必然落实到具体的数、式、形之中。 其二，数学概念具有相对性与发展性。在某一科学体系或特定研究领域内，数学概念的意义始终是一致的。例如，在小学里的数，始终是指正有理数；在初中里的直线，始终是指平面直线。然而数、形等概念本身处于不断发展之中。例如，自然数→有理数→实数→复数；直线上的点→平面上的点→空间中的点→n维空间中的点；锐角→任意角→空间角等。 其三，数学概念具有可感性与约定性。例如，三角形“△”，平行“∥”，微分“ ”，积分“ ”，它们除了特定的定义外，还有相应特定的名词与符号，具有名词、定义、符号“三位一体”的可感性，这不仅使学生在生活背景中准确地感知到实体模型，同时又明了地反映了概念的内涵；再比如，圆锥曲线，三角函数、实数等可感知它们的外延构成；这是其他科学所无法比拟的。然而，对于复数，二次函数，指数、对数函数，不为零的数的零次幂等概念则具有约定性。 其四，数学概念具有生成性与系列性。通过概念的约定方法缩小概念的外延；或者通过概念的概括方法，扩大概念的外延，来生成一系具有从属关系的概念。例如，矩形是有一内角为直角的平行四边形；又如，不考虑诸数系中元素的具体含义，只考虑其运算性质，可概括成群，环、域等概念，都表明了概念的生成性。相应地这类具有从属关系的概念可组成一个概念系列。 其五，数学概念具有相称性与简明性。具有同一关系的概念的外延必须是相同的。例如，无限不循环小数，叫无理数，而以无限小数是无理数就是错误的。概念的表述是简明的，一般不借助对立关系，即不用否定的形式或未知的概念，例如，不是有理数的数，叫无理数（否定形式）；对初中生来说，在复数a+bi中，虚部为零的数叫实数（应用了未知概念）。 其六，数学概念具有陈述性与程序性。多数数学概念表现为一种算法操作程序，又表现为一种对象，由于应用数学概念解决具体问题的不同，有时将某个概念当做有操作步骤的过程，有时又把它作为一个固定的个体，成为思考或操作的对象，例如，三角函数sinα，可看成y与r之比的运算，也可当作比值等等。 3 。数学概念的学习 学习数学概念的关键是数学概念的形成与数学概念的同化，学习数学概念的过程可以说是一种再创造过程，学生从对数学知识的提炼和组织——通过对低层次活动本身的分析，把低层次的概念变为高层次的常识，再经过提炼和组织而形成更高层次的概念如此循环往复；其过程可简述为： 观察实例→归纳实例的共同点→揭示概念的本质属性→找出新概念与原认知结构中的知识联系→形成新概念→纳入概念体系。 例如，在初中阶段函数概念的学习，一般是通过实例：①以40公里/时行驶汽车的路程与时间的变化；②以给出某水库蓄水量与水深的变化；③某天的气温曲线描述气温与时间的关系等。可通过对实例的观察分析，发现各自存在几个变量，并发现每个实例中两个变量的关系，都是一个变量能唯一地确定另一变量，从而揭示它们的共同本质属性。然后再通过正反实例，概括出函数定义，在此基础上学习函数的表示法，并通过具体习题练习，以加深对函数概念的理解，从而建立起新的认知结构。由此可见，学生学习数学概念的过程首先是建立在经验基础上的一个主动建构的过程；其次是充满了观察，实验、猜想验证与交流等丰富多彩的数学活动。 二、数学概念的教学原则 1．数学概念的教学地位 恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系。”现代的一些学者认为“数学的学习过程，就是不断地建立各种数学概念的过程。” 数学是由概念与命题组成的逻辑体系。可以说数学概念是数学的细胞、数学的砖瓦，离开数学概念，数学大厦是根本无法建设的。为此，加强数学概念的教学，是学好数学的关键，是提高教学质量的一个重要环节。现行中学数学课程指出：数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。这就是说，数学概念的教学要有学生乐于接触的，有价值的，有生活学习背景的题材，应成为学生终身学习愿望激发的重要环节。 数学概念教学的基本要求是：揭示概念的内涵与外延，使学生深刻理解概念，牢固掌握概念，灵活运用概念，即达到理解、巩固、系统、会用的目的。 2．概念教学中存在的主要问题 当前数学概念教学主要存在不重视、不会教、分不清主次、要求不当四方面的不良倾向。 有的老师不能真正认识到加强概念教学的重要性，他们对概念的讲解往往是蜻蜓点水，一带而过，而将精力化费在定理、法则的推导与应用上，不知道这完全是本末倒置，事倍功半的做法。 有的老师对概念教学只着重于揭示概念的描述（定义），而不去揭示概念的科学内涵，不交待“三位一体”，这种不会教，既缺乏对数学概念知识本身的科学了解，又缺乏对概念教学应有的技能。 有的老师对概念教学分不清主次，平均使用力量，眉毛胡子一把抓，讲解吃力，效果不好，以致学生乏味。 还有的老师对概念教学要求不当，对所有的概念均要求学生理解、记忆、比较。 对此，曾有位数学大师说过，“要我准确回答什么是等式，什么是方程？什么是坐标系等等，也确有一定困难。”对一些次要概念，在不影响学习的情况下可适当“弱化”，适当淡化次要概念是现代教学的一种趋势。 3 。数学概念的一般教学原则 重视概念的引入​——现实性原则 中学数学概念无论如何抽象，实际都有它的具体内容和现实原型。在教学中，既应注意从学生的生活经验出发（如负数、数轴、对称、切线概念等），也应该注意从解决数学内部的运算问题出发（如负数、无理数、复数概念等）来引入概念。这样，从学生熟知的语言和事例中提供感性材料，引导他们抽象出相应的数学概念，才能使学生较好地掌握概念的实质。 揭示概念的内涵和外延​——科学性原则 为准确、深刻地理解概念，教者在提供感性认识的基础上，必须作出辩证分析，用不同方法揭示不同概念的本质。例如，对“种十类差”定义的概念，应揭示其种概念与类差，使学生认识被定义的概念，既有它的种概念的一般属性，又有它自己独有的特性，同时要讲清概念中的每一字、词的真实含义，这样，把握了概念的外延和内涵，也就能进一步掌握了概念的本质。 讲清概念的来龙去脉​——系统性原则 数学概念是随着数学知识的发展而不断发展着的，学习数学概念也要在数学知识体系中不断加深认识。从数学概念之间的关系中来学习概念，可深化对所学概念的认识。 例如，因式——公因式——因式分解——化简分式——分式运算——解分式方程；一次函数​——二次函数——有理分式函数​——指数函数——对数函数——三角函数——反三角函数等概念之间都有其内在的联系。明确概念的系统性，有利于加深对有关概念的理解，也便于学生记忆。 注意概念之间的对比——比较性原则 有些概念是成对出现的，两个概念同属于一个种概念且呈矛盾状态（如正数与负数，乘方与开方等）；有些概念是由概念的逆反关系派生出来的（如指数与对数，导数与原函数的概念等）；有些概念是由某一概念通过逐步推广引申而得到的（如任意角三角函数由锐角三角函数推广而来）等等。注意对相近、对立、衍生概念之间的比较，特别是通过反例来纠正学生在理解概念中的错误，有利于学生准确理解概念。 加强概念的运用——应用性原则 中学数学的运算、推理、证明等都是以有关概念为依据的，在教学中，应加强概念的运算、推理、证明中的应用。有时围绕着一个概念要配备多种练习题，让学生从多角度，多层次上去进行应用。先巩固性应用，后综合性应用，在应用中达到切实掌握数学概念的目的。 三、数学概念的教学方法 1．认识概念的重要性，切实加强概念教学 数学概念是数学学习的基础，它在解决计算、证明、作图等具体问题中无时无刻不用到数学概念。例如，不理解二次根式的概念，则化简二次根式 就无法进行；不了解直角三角形、斜边、斜边上的高、边在直线上的射影、等比中项等概念，则论证“直角三角形中，斜边上的高是两直角边在在斜边上的射影的比例中项”等也将很为困难。 2．重视问题的情境，提供概念的现实原型 通常教学中对概念的叙述较为抽象，展现的现实材料也较为单一，教者只有通过大量生动背景材料的展示，才易于学生分析、比较、抽象、概括，明确其本质属性。有些概念是在原有概念基础上引出的，如平角、周角、椭圆、双曲线等，教者应善于通过演示教具或多媒体呈现的图形变化，使其产生直观、形象的效果，利于学生观察。而有些概念，如对数、反函数的概念，则教者应善于从概念的逻辑关系中，从指数运算引入对数运算，从函数概念引出反函数概念。 3 。通过变式变形、正反实例，揭示概念的科学内涵 概念教学中，运用变式变形极为重要。例如，对方程的概念，应通过各种变式，使学生认识含有未知数与等式这两个关键特征。三角形的高，应通过锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的不同形状的三角形来认识。同时既要通过正例来揭示，又要通过反例排除非本质特征的干扰，加之交待的名称、符号、表示方法和概念间的关系等，只有这样，才能使学生明确概念的科学内涵。 4。抓住主要概念，选择讲解重点 概念有主次，应抓住主要概念讲解。例如，在学习成比例、比例外项、比例内项、比例中项等概念时，应抓住成比例的概念。又如，函数概念有常量、变量、函数关系、定义域、值域、对应法则等概念，但应抓住“函数关系”、“定义域”这二个主要概念。 同时，应注意选择讲解重点。例如，在学习“三线八角”时，应选择同位角的概念为讲解重点；在学习三角函数与反三角函数时，应选择正弦与反正弦函数的概念为讲解的重点。 5．针对不同定义，采用不同教法 例如，对于等式、极限等描述性定义法，应尽可能多举实例，让学生通过实例进行抽象概括，上升为概念，同时再从实践中寻找应用；对圆、球、坐标系等发生式定义法，应通过演示或描述，交待清楚形成过程；对于 、 等约定式定义法，应指出其必要性与合理性；对平行四边形、正棱柱等“种十类差”定义法，应揭示清楚种、类关系及其类差等等。 6．激发学习兴趣，重在培养数学能力 由于数学概念在数学知识学习之先，学生认识不到学习的目的性、重要性，加之数学概念本身较为抽象、枯燥，学生又往往缺乏学习的热情。教者应结合生产生活实例，通过以史、以情、以言、以疑、以变、以美等手段，努力激发学习数学概念的积极性。同时，学习概念更应立足于提高学生数学意识与数学能力，为此，结合实例分析学生不善于运用概念解题，以致造成运算不准、推理不严、画图不明的原因所在，从而达到提高学习数学概念的积极性，努力提高数学能力的目的。 （郑步春 盐城市教育科学研究院 ）