函数的对称性和周期性复习教桉

函数的对称性和周期性 函数的对称性和周期性 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 3.掌握常见的函数对称问题 二、建构知识网络 一、两个函数的图象对称性 1、​  与 关于 轴对称。 换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。 2、​  与 关于Y轴对称。 换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。 3、​  与 关于直线 对称。 换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。 4、​  与 关于直线 对称。 换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。 5、​  关于点 对称。 换种说法： 与 若满足 ，即它们关于点 对称。 6、​  与 关于直线 对称。 二、单个函数的对称性 性质1：函数 满足 时，函数 的图象关于直线 对称。 证明：在函数 上任取一点 ，则 ，点 关于直线 的对称点 ，当 时 故点 也在函数 图象上。 由于点 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线 对称。 （注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。） 性质2：函数 满足 时，函数 的图象关于点（ ， ）对称。 证明：在函数 上任取一点 ，则 ，点 关于点 （ ， ）的对称点（ ，c－y1），当 时， 即点（ ，c－y1）在函数 的图象上。 由于点 为函数 图象上的任意一点可知 函数 的图象关于点（ ， ）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。） 性质3：函数 的图象与 的图象关于直线 对称。 证明：在函数 上任取一点 ，则 ，点 关于直线 对称点（ ，y1）。 由于 故点（ ，y1）在函数 上。 由点 是函数 图象上任一点 因此 与 关于直线 对称。 三、周期性 1、一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。 推广：若 ，则 是周期函数， 是它的一个周期 2.若 是周期，则 也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数 ； 3、对于非零常数 ，若函数 满足 ，则函数 必有一个周期为 。 证明： ∴函数 的一个周期为 。 4、对于非零常数 ，函数 满足 ，则函数 的一个周期为 。 证明： 。 5、对于非零常数 ，函数 满足 ，则函数 的一个周期为 。 证明： 。 6、对于非零常数 ，函数 满足 或 则函数 的一个周期为 。 证明：先看第一个关系式 第二个式子与第一的证明方法相同 7、已知函数 的定义域为 ，且对任意正整数 都有 则函数的一个周期为 证明： （1） （2） 两式相加得： 四、对称性和周期性之间的联系 性质1：函数 满足 ， ，求证：函数 是周期函数。 证明：∵ 得 得 ∴ ∴ ∴函数 是周期函数，且 是一个周期。 性质2：函数 满足 和 时，函数 是周期函数。（函数 图象有两个对称中心（a， ）、（b， ）时，函数 是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期） 证明：由 得 得 ∴函数 是以 为周期的函数。 性质3：函数 有一个对称中心（a，c）和一个对称轴 （a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是 。 证明： 推论：若定义在 上的函数 的图象关于直线 和点 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期 证明：由已知 举例: 等. 性质4：若函数 对定义域内的任意 满足： ,则 为函数 的周期。（若 满足 则 的图象以 为图象的对称轴，应注意二者的区别) 证明： 性质5：已知函数 对任意实数 ,都有 ，则 是以 为周期的函数 证明： 五、典型例题 例1 （2005·福建理） 是定义在 上的以3为周期的奇函数，且 ，则方程 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解： 是 上的奇函数，则 ，由 得 ， ∴ ∴ =1，2，3，4，5时， 这是答案中的五个解。 但是 又 知 而 知 也成立， 可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。 例3 已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ） (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 解：因为 是定义在 上的奇函数 所以 ，又 ，故函数， 的周期为4 所以 ，选B 例4．已知奇函数 满足 的值为 。 解： 例5 已知 是以2为周期的偶函数，且当 时， . 求 在 上的解析式。 解法1： 从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 ∵ , 则 ∴ , ∵ ，是偶函数 ∴ 解法2： （从图象入手也可解决，且较直观） 如图： , .∵是偶函数 ∴ 时 又周期为2， 时 ∴ 例6 的定义域是 ，且 ,若 求 f(2008)的值。 解： 周期为8， 例7 函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 _______________。 解：由 得 ，所以 ，则 例8 若函数 在 上是奇函数，且在 上是增函数，且 . ①求 的周期； ②证明 的图象关于点 中心对称;关于直线 轴对称, ; ③讨论 在 上的单调性； 解: ①由已知 ，故周期 . ②设 是图象上任意一点,则 ,且 关于点 对称的点为 .P关于直线 对称的点为 ∵ ,∴点 在图象上,图象关于点 对称. 又 是奇函数, ∴ ∴点 在图象上,图象关于直线 对称. ③设 ，则 ， ∵ 在 上递增, ∴ ……(*) 又 ∴ , . 所以： ， 在 上是减函数. 例9 已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 是奇函数.又知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值 . （1）证明： ； （2）求 的解析式； （3）求 在 上的解析式. 解：∵ 是以 为周期的周期函数，且在 上是奇函数，∴ ，∴ . ②当 时，由题意可设 ， 由 得 ，∴ ， ∴ . ③∵ 是奇函数，∴ ， 又知 在 上是一次函数，∴可设 而 ， ∴ ，∴当 时， ， 从而 时， ，故 时， . ∴当 时，有 ，∴ . 当 时， ， ∴ ∴ . 函 数 对 称 性 的 探 究 1、​ 函数自身的对称性探究 定理1 函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是 即 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论 函数的图像关于y轴对称的充要条件是 定理2 函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是 推论 函数的图像关于原点O对称的充要条件是 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 ②若函数的图像同时关于直线成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 ③若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 以下给出③的证明，①②的证明留给读者。 因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称。 所以 代得： 又因为函数的图像关于直线成轴对称。 所以代入（*）得： 得 代入（**）得： 是周期函数，且是其一个周期。 2、​ 不同函数对称性的探究 定理4 函数 的图像关于点成中心对称。 证明：设点图像上任一点，则。点关于点的对称点为，此点坐标满足，显然点在的图像上。 同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。 推论 函数与的图像关于原点成中心对称。 定理5 函数与的图像关于直线成轴对称。 证明：设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图像上。 同理可证：图像上关于直线对称的点也在图像上。 推论 函数与的图像关于直线y轴对称。 定理6 ①函数与的图像关于直线成轴对称。 ②函数与的图像关于直线成轴对称。 现证定理6中的② 设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以 代入 之中得。所以点在函数的图像上。 同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故定理6中的②成立。 推论 函数的图像与的图像关于直线成轴对称。 3、​ 函数对称性应用举例 例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ） A. 是偶函数，也是周期函数 B. 是偶函数，但不是周期函数 C. 是奇函数，也是周期函数 D. 是奇函数，但不是周期函数 解：因为为偶函数，所以。所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。 例2 设定义域为R的函数 、 都有反函数，并且 和 的函数图像关于直线对称，若，那么（ ） A. 2002 B. 2003 C. 2004 D. 2005 解：因为的函数图像关于直线对称，所以的反函数是，而的反函数是，所以，所以有，故，应选（C）。 例3 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________ 解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴； 又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以 例4 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_____________ 解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以 反客为主 妙在其中 例1 对任意 ，函数 的值总大于零，求x的取值范围. 分析：关于x的二次函数 的值总大于零，即 的最小值大于零，而 的最小值是 吗？这要由x的范围确定，而x的范围正是我们所要求的，真是“山重水复疑无路”啊！考虑到在函数 中x是自变量，是“主”，a是待定常数，是“客”，若将“主、客”角色逆转，“反客为主”，把 看作 ，则将“柳暗花明又一村”了. 解 设 ，则函数 在[-1，1]内的值恒为正. 当 时， ，不合题意；∴ ，此时 为一次函数，要使其值在[-1，1]内恒为正，只需使 ∴ 或 . 例2 a为何值时，方程 有解？ 解1 设 ，则方程化为： ，且 ，因此问题转化为：a为何值时，方程 在[-1，1]内有解. 设 ，则 （1） ， Δ= ， （2） 恒成立， ， ， ， 综①②所述，得 . 评：此题是求关于x的方程有解时a应满足的条件，x是自变量，是“主”，a是待定常数，是“客”，若将x、a的“主、客”关系逆转为 ，则a的取值范围即为 的值域.从而使解题过程得到优化. 解2 将已知方程变形为 ，要此方程有解，a应在 的值域内取值，令 ，则 ，且 ，∴ . 例3 已知x、y满足不等式组 求 的最大值和最小值. 解 如图1，阴影部分（含边界）即为不等式组所表示的区域. 因此，问题转化为：求当点在阴影（含边界）内位置发生变化时，其 坐标（x,y）所确定的二元函数 的最值. 因 为x、y为自变量，z为因变量，是函数.若把处于函数地位的z看作 常数，将二元函数 看作直线 ，则可知道以上直线系表示的直线过A（1，0）时，纵截距 最大，从而 . 同理, 当直线过点B（3，-2）时， . 例4 求下列函数的值域： ① （ ）; ② . 解 ① ，∵ ，∴ ，∴ . ② .显然有 ， ∴Δ≥ 或 . 例5 、 不在直线 上，且l交直线P1P2于点P，求点P分有向线段 的比λ. 解 要求点P分有向线段 的比λ，通常是利用直线P1P2与l相交这个“主动（主）”，再求出点P的坐标，从而求出 这个“被动（客）”.在这里，这种做法几乎是行不通的.若变“被动（客）”为“主动（主）”，先将λ看成是已知的（“主”），得到 后，再利用直线P1P2与l相交（“客”），即点P也在l上，则得 ，从而 . ∵点 不在直线l上， ∴ ， ∴ . 以上各题的解法巧妙地将“主、客”逆转，化难为易，曲经通幽，正是：“反客为主”，妙在其中.