二次函数在闭区间最值

一元二次方程 根的分布情况（二次函数与x轴交点分布情况）归纳 二次函数在闭区间 上的最大、最小值问探讨 设 ，则二次函数在闭区间 上的最大、最小值有如下的分布情况： 即 图象 最大、最小值 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论： （1）若 ，则 ， ； （2）若 ，则 ， 当对称轴位于区间之间时，考虑最值时需考虑对称轴在区间的左边或右边，往往通过比较对称轴 与区间中点 的大小来判断。 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 轴越远，则对应的函数值越小。 二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代一种情况。 引例、求 在（1） ;（2） ;（3） 的最值。 例1、函数 在 上有最大值5和最小值2，求 的值。 解：对称轴 ，故函数 在区间 上单调。 （1）当 时，函数 在区间 上是增函数，故 ； （2）当 时，函数 在区间 上是减函数，故 例2、求函数 的最值。 解：对称轴 （1）当 时， ， ； （2）当 时， ， ； （3）当 时， ， ； （4）当 时， ， 。 例3、求函数 在区间 上的最值。 解：对称轴 （1）当 即 时， ， ； （2）当 即 时， ， 当 时， ，当 时， ； （3）当 即 时， ， 例4、讨论函数 的最小值。 解： ，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线 ， ，当 ， ， 时原函数的图象分别如下（1），（2），（3） 因此，（1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， 练习： 1、​ 函数 在区间 上的最大值是_________，最小值是_______。（ ） 2、​ 已知 ，求 的最值。 （ ） 3、​ 求函数 在 上的最大值 。 3、函数 在 最大值是3，最小值是2，则m的范围是 ( ) 4、​ 已知函数 ，满足 且方程 有两相等的实数根。 （1）​ 求 的表达式； （2）​ 若 ，求函数 在 的最小值。 ，对称轴 1​ 当 ，即 时， ; 2​ 当 ，即 时， 3​ 当 ，即 时， 4​ 当 ，即 时， 5、已知 ，且 ，求函数 的最值。 解：由已知有 ，于是函数 是定义在区间 上的二次函数，将 配方得： 二次函数 的对称轴方程是 顶点坐标为 ，图象开口向上 由 可得 ，显然其顶点横坐标在区间 的左侧或左端点上。 函数的最小值是 ，最大值是 。 6、已知二次函数 在区间 上的最大值为5，求实数a的值。 解：将二次函数配方得 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为 ，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间 上。 若 ，函数图象开口向下，如图4所示，当 时，函数取得最大值5 即 解得 故 7、如果函数 定义在区间 上，求 的最小值。 解：函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 （1）当 。当 时，函数取得最小值， 。 （2）当 ，即 。当 时，函数取得最小值， 。 （3）当 ，即 。当 时，函数取得最小值， 综上讨论， 8、设函数 的定义域为 ，对任意 ，求函数 的最小值 的解析式。 解：将二次函数配方得： 其对称轴方程为 ，顶点坐标为 ，图象开口向上 （1）当 ，即 。当 时，函数取得最小值， （2）当 ，即 。当 时，函数取得最小值， （3）当 ，即 。当 时，函数取得最小值， 综上讨论，得 9、已知 ，且当 时， 的最小值为4，求参数a的值。 解：将 代入S中，得 则S是x的二次函数，其定义域为 ，对称轴方程为 ，顶点坐标为 ，图象开口向上。 若 ，即 则当 时， 此时， ，或 若 ，即 则当 时， 此时， ，或 （因 舍去） 综上讨论，参变数a的取值为 ，或 ，或 10、已知 ，且当 时， 的最小值为1，求参变数a的值。 解：将 代入P中，得 则P是x的二次函数，其定义域为 ，对称轴方程为 ，顶点坐标为 ，图象开口向上。 若 ，即 则当 时， 此时， 若 ，即 则当 时， 此时， ，或 （因 舍去） 综上讨论，