高考数学填空题的分析研究

2009年6月1日 理科考试研究 ·数学版 高考数学填空题的分析研究 历年来高考就把填空题当作创新改革题 型的“试验田”，特别是江苏省2008年把选择题 删去了，前头只有 14个填空题．近年来出题更 灵活，更注意对能力的考查．但是，填空题同选 择题一样，不要解题过程，解题应突出转化思 想，力争“小题小做”或“小题巧做”．下面仅就 2008年高考出现的填空题的解决方法加以分 析研究． 一 、直接求解法 所给的问题比较简单或 比较熟悉时。可直 接运用课本中的定义、性质、定理、公式等，进 行推理、演算而得到正确答案． 例1 (重庆卷)已知a3‘=芸(日>0)，则 log；n — — - 分析 这是已知指数幂求对数的问题，可 以直接利用指数幂的性质． 由n；=百4，得口=(亏4 _z3=( )3．再根 由n =百，得口=(亏 2=(专)．再根 据对数的定义，即可得到 l呜 n 3· 二、等价转化法 如果所给的问题较为复杂或较为陌生时，可 通过等价转化为另一种较容易理解的语言，或通 过适当变形转化为容易求解的形式，再求解． 例 2 (山东卷)已知 f(3 )=4Mog23+ 233，则f(2)十-厂(4)+⋯ +f(2 )的值等于 梁克强 所以，(2)+f(4)+⋯+厂(2。) =4 X(1+2+⋯+8)+233×8=2o08． 三、特例求解法 如果所给的问题比较抽象，或具有一般性 时，可通过具体化和特殊化而获得解决． 例3 (福建卷)设P是一个数集，且至少 含有两个数，若对任意a、b E P，都有a+b、a — b、ab、芋 E P(除数b≠0)，则称P是一个数 c， 域．例如有理数集 Q是一个数域，数集F={a +6√2 I口，b∈Q}也是数域．有下列命题：① 整数集是数域；②若有理数集Q M，则数集 M 必为数域；③ 数域必为无限集；④ 存在无限 多个数域．其中正确命题的序号是— — ． 分析 “数域”是本题新给定的概念，可以 ，’ ． 举特例来解决．①举特殊号不是整数，故詈对 J U 整数集不满足．②若数集为Q的诸元索与 组 成数集M，但1+丌 M．排除①②，而③与④ 显然成立．故填③④． 四、数形结合法 由于填空题不必写出过程，因而画出辅助 图象、方程的曲线或借助于表格分析，能使抽 象问题具体化，复杂问题简单化． 例 4 (上海卷)设函数 厂( )是定义在 R 上的奇函数，若当 E(0，+CO)时，厂( )： lgz，则 满足 ．厂(z)> 0的 的取值 范围是 曼 3 要洲2 需 条件 图 嚣 中的 转t化 2”· ， 由厂(3 )=4zlog23+233 logz3 二 ： 233， 足f( )>0的z的 得L厂( )=4 logax+233， 取值范围是( 一 1，0) y J 1 ／／ ／ ／ _1 。 x 图 1 理科考试研究 ·数学版 2009年 6月 1 r=l U (1，+oo)． 例5 (江苏卷)如图2，在平面直角坐标 系=a：ry中，设三角形ABC的顶点分别为A(O。 a)，B(b，O)，C(c，0)；点P(O，p)为线段AO上 的一点(异于端点)，这里 a，b，c，户为非零常 数．设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、 F．某同学已正确求得直线OE的方程：(÷一 ÷) +(丢一 ) =0．请你完成直线oF的 方程：( )z+ 1一丢) =0． ， J F 0 C 圈 2 分析 这是一个新颖的填空题，由OF与 OE的对等性，可猜想填÷一亡．事实上，由截 距式可得直线AB：詈+ =1，直线cP：互 +芳=1，两式相减得(÷一丢) +( 一丢) = 0．显然直线AB与CP的交点F满足此方程， 又原点 0也满足此方程，故为所求直线 OF的 方程． 五、合理构造法 恰当地构造函数、方程、数列、复数及图形 和有关命题，使问题转化． 例 6 (福建卷)若三棱锥的三个侧面两两 垂直，且侧棱长均为√3，则其外接球的表面积 是 — — ， 分析 要求球的表面积，需知球的半径． 如果采用直解法，要经过比较复杂的计算．合 理构造则能化繁为简：把所给的三棱锥补成以 侧棱为棱的正方体，这时正方体与三棱锥有共 同的外接球，外接球的直径 2R与正方体的对 角线长相等．得2R= (43)=3，R=妄．所 以球的表面积为47 2：97r． 点评 对于共点三条棱两两垂直的三棱 锥，可以此三条棱为棱补成长方体，从而把线 面关系纳人长方体中解决，成功地把复杂转化 为简单． 六、以题攻题法 由于填空题不需要写出过程，故可挖掘课 本例习题潜在的功能及常用结论，可以采用以 题攻题的策略，直接得出结果．如：(1)例 6利 用长方体的外接球直径恰好等于其对角线长． (2)若f(z)存在反函数，则有结论：，(口)=b 等价于 厂 (6)=a． 例 7 (湖南卷)设函数 Y=f(z)存在反 函数 Y=f-1(z)，且函数y=z一，(z)的图 象过点(1，2)，则函数 Y=fI1( )～X的图象 一 定过点 分析 由函数Y= —f(z)的图象过点 (1，2)，得2=1一厂(1)，从而 (1)=一1，这就 等价 于 ， (一1)： 1．则 对 于函数 Y = ，一 ( )一X，当 =一1时，Y=f一 (一1)一 (一1)=1+1=2． 所以 Y=f_1( )一 的图象过点(一1， 2)． 七、开放题解法 填空题中的开放题有：结论开放题，条件 开放题，综合开放题 ，答案往往不唯一．解题时 要注意思想方法的运用． 例 8 (全国卷 U)平面内的一个四边形 为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边 分别平行．类似的，写出空间中的一个四棱柱 为平行六面体的两个充要条件 ：充要条件 ① — — ，充要条件 ② — — ．(写出你认为正确 的两个充要条件)． 分析 这是一道结论开放题，结论可有多 种答案．运用类比的思想方法，类比于平行四 边形的充要条件即可得到．下面只列举四个： ①两组相对侧面分别平行；②一组相对侧面平 行且全等；③ 对角线交于一点；④底面是平行 四边形． 【作者单位：(431800)湖北省京山一中】