基尼系数

基尼系数的一种简便计算方法——协方差公式 相关知识：基尼系数(GiniCoefficient)是意大利经济学家基尼于1922年提出的，定量测定收入分配差异程度，国际上用来综合考察居民内部收入分配差异状况的一个重要分析指标。其经济含义是：在全部居民收入中，用于进行不平均分配的那部分收入占总收入的百分比。基尼系数最大为“１”，最小等于“０”。前者表示居民之间的收入分配绝对不平均，即１００％的收入被一个单位的人全部占有了；而后者则表示居民之间的收入分配绝对平均，即人与人之间收入完全平等，没有任何差异。但这两种情况只是在理论上的绝对化形式，在实际生活中一般不会出现。因此，基尼系数的实际数值只能介于０～１之间。 　　目前，国际上用来分析和反映居民收入分配差距的方法和指标很多。基尼系数由于给出了反映居民之间贫富差异程度的数量界线，可以较客观、直观地反映和监测居民之间的贫富差距，预报、预警和防止居民之间出现贫富两极分化，因此得到世界各国的广泛认同和普遍采用。 联合国有关组织规定： 若低于0.2表示收入绝对平均； 0.2-0.3表示比较平均； 0.3-0.4表示相对合理； 0.4-0.5表示收入差距较大； 0.6以上表示收入差距悬殊。 目前，我国共计算三种基尼系数，即： 农村居民基尼系数， 城镇居民基尼系数， 全国居民基尼系数。 基尼系数0.4的国际警戒标准在我国基本适用。 专家建议：在单独衡量农村居民内部或城镇居民内部的收入分配差距时，可以将各自的基尼系数警戒线定为0.4；而在衡量全国居民之间的收入分配差距时，可以将警戒线上限定为0.5，实际工作中按0.45操作。 今天新闻看到：中国贫富差距继续拉大。联合国开发计划署认为，中国目前的基尼系数为0.45，占总人口20%的最贫困人口占收入和消费的份额只有4.7%，而占人口20%的最富裕人口占收入和消费的份额高达50%。中国社会的贫富差距已经突破了合理的限度。 内容提要：基尼系数是测度收入不平等的重要指标，而基尼系数常用的计算方法均比较繁琐。本文给出并证明了一种较简捷的计算方法，即基尼系数的协方差公式，该方法可以直接利用Excel等软件进行计算。利用该公式，本文对2003年和2004年中国居民收入分布的基尼系数进行了测算。 中图分类号：D390 基尼系数是测度财产、产品、市场、教育等资源分配均衡与否的常用指标之一，特别在判断收入分配不平等的问题上，基尼系数更是一个非常重要的指标。但在具体测度不平等时，基尼系数的计算是一个比较棘手的工作。由于结合洛伦茨(Lorenz)曲线定义基尼系数非常直观，计算基尼系数的常用方法之一就是计算图1中有关图形的面积。图1中的正方形边长为单位1，横轴OP和纵轴OL分别表示按收入高低排序后的人口累计百分比和对应的收入累计百分比，对角线OC表示绝对平均线，折线OPC表示绝对不平均线，洛伦茨折线与对角线OC及折线OPC所围成的面积分别记为A和B，那么基尼系数就表示为A与三角形OPC面积的比，即G=A/S△OPC=2A=1-2B。从计算B的角度看，大体上可分为离散方法和连续方法两种，前者即计算洛伦茨折线下一系列小梯形（含小三角形）的面积之和，后者即用一个函数f(p)来拟合洛伦茨曲线，然后计算积分 。虽然洛伦茨曲线是分析收入不平等的常用方法之一，但借助洛伦茨曲线计算基尼系数是比较繁琐的。 计算基尼系数的另一个常用公式为G= ，其中xi为第i个人的收入，n为人数，μ为平均收入。该公式的含义也很明确，它测度了任意两个人相比较而言的平均相对收入差距。当收入为分组数据时，公式变为： G= ，其中pi、ni和k分别表示第i组人数所占的比重、第i组的人数及组数。从理论上看，对任意收入分配均可以利用该公式计算基尼系数，但如果人数n较大，计算将非常繁琐。当然我们可以通过编程解决基尼系数计算繁琐的问题，但本文主要介绍一种比较简洁的计算方法，利用包括Excel在内的所有软件均可以直接计算。 二、基尼系数的协方差公式 统计中常用的统计量一般都能利用Excel等软件直接计算，比如方差、标准差、协方差和相关系数等，因此若能利用协方差计算基尼系数无疑带来很大方便。 （一）未分组离散数据的基尼系数协方差公式 设n个人的收入分别为x1、x2、…、xn，且x1≤x2≤…≤xn，μ为平均收入，则 G= = = 而 因此G= ，此即为未分组（原始）离散数据的基尼系数协方差公式。由于协方差在Excel中可以直接计算，因此可以大大减少计算量。譬如五个人的收入分别为(500,800,1000,1800,3000)，则可以计算出协方差cov(xi,i)=1180，μ=1400，n=5，因此基尼系数为G=2×1180/（5×1400）=0.3371。 （二）连续型数据的基尼系数协方差公式 若收入分布为连续型的，设收入分布的密度函数为f(x)，平均收入为μ，则洛伦茨曲线的横坐标为 ，纵坐标为 。根据变量替换可得： ，由于 ，因而有 = 。因为 ，因此基尼系数G为G= 。应该说连续型的公式与离散型的公式本质上是一致的，因为G= = ，这里的i/n就相当于分布函数F(x)。 例如，若某个收入分布服从[a,b]的均匀分布(a>0)，那么μ=(a+b)/2，方差σ2=(b-a)2/12，F(x)=(b-x)/(b-a)，因此依据基尼系数协方差公式得：G= = 。 （三）分组数据的协方差公式 设总体被分成了k组，第i组的人均收入和人口份额分别为xi和pi，且x1≤x2≤…≤xk，μ为总人均收入，则 G= = 因为 ，代入上式可得： G= = 又因为 所以 ，因而有 G= 此即为分组数据的协方差公式。需要注意的是，此时不能简单地将基尼系数写成标准的协方差公式，即不能写成G= 。 三、基尼系数协方差公式的应用 由于基尼系数在收入不平等测度中运用得最多，因此本部分我们先着重说明利用协方差公式计算居民收入分布的基尼系数。就我国居民收入而言，数据资料分为城镇居民和农村居民两部分。从公布的形式看，城镇居民收入为七等分数据，农村居民收入为20等分数据，因而我们可以利用分组数据的协方差公式计算基尼系数。2003年和2004年的城镇居民收入如表1所示，其中各组的人口份额依据该组的户数比重和户均人口计算得到。对2003年而言，利用Excel可以计算出 =1268.449， =-89.9451，μ=8291.178，根据协方差公式可得：G=0.3166。同理，我们计算的2004年城镇居民收入分布的基尼系数为0.3239。对我国农村居民收入而言，2003年和2004年收入分布的有关资料见表2。其中为简洁起见，表2中没有列出累计的人口份额，同样根据协方差公式计算两年基尼系数分别为0.3722和0.3586。要说明的是，本文计算的收入分布基尼系数是分组数据的组间基尼系数，其数值要小于依据原始数据计算的基尼系数，且一般分组越少，两者的差距越大。对比国家统计局公布的居民收入分布基尼系数，2003年和2004年城镇分别为0.31、0.33，农村分别为0.368、0.3692，应该说我们计算的基尼系数与之是非常接近的。 表1中国城镇居民的七等分收入数据 最低户 低户 中下户 中户 中上户 高户 最高户 2003年 人均收入 2590.17 3970.03 5377.25 7278.75 9763.37 13123.08 21837.32 人口份额(%) 11.27 10.87 20.74 20.08 19.02 9.15 8.87 累计人口份额 11.27 22.14 42.88 62.96 81.98 91.13 100.00 2004年 人均收入 2862.39 4429.05 6024.10 8166.54 11050.89 14970.91 25377.17 人口份额(%) 11.26 10.85 20.77 20.03 19.03 9.18 8.88 累计人口份额 11.26 22.11 42.88 62.91 81.94 91.12 100 资料来源：2004年和2005年《中国统计年鉴》。 表2中国农村居民的20等分收入数据 2003年 人均收入 -776.6 149.6 256.5 353.5 454.3 553.2 705 902 1103.5 1249.9 人口份额 0.48 0.19 0.35 0.6 0.91 1.37 3.81 5.47 6.2 3.27 人均收入 1397.9 1600.9 1847.6 2242 2738.8 3232.9 3735.1 4232.9 4737.3 7790.3 人口份额 6.87 6.78 9.86 13.81 10.56 7.64 5.42 3.8 2.78 9.84 2004年 人均收入 -732.8 146.2 254.1 352.9 453.7 554.1 706.9 900.7 1106.1 1250.3 人口份额 0.37 0.13 0.22 0.34 0.62 1 2.86 4.2 4.56 2.77 人均收入 1400.7 1600.5 1848.8 2241.5 2739.5 3236.6 3737.8 4237.4 4743.2 7762.6 人口份额 5.64 6.14 9.25 14.11 11.83 8.47 6.61 4.77 3.56 12.53 资料来源：2004年和2005年《中国农村住户调查统计年鉴》整理计算，其中人口份额根据各组的户数比重和户均人口计算得到。 当然，我们不仅可以方便地计算收入分配的基尼系数，对其他资源的分布不均等程度也可以很方便计算出基尼系数。譬如，对我国各地区15岁及15岁以上文盲半文盲占该年龄段人口比重的分布进行分析，根据《中国统计年鉴》公布的31个省级地区的数据，利用分组数据协方差公式，我们可以很容易计算出它的基尼系数，其中1998年和2004年的基尼系数分别为0.2003和0.2184。联系到这两个年份各地区文盲半文盲比重的排序几乎没有发生变化，从而表明我国各地区的教育不平等进一步加大。 四、简短小结 计算基尼系数的公式有很多，所有离散形式的均为恒等式，因此理论上不存在公式的好坏之分。但在实际分析中，不同公式存在烦琐与简洁之分。从本文的分析结果看，利用基尼系数的协方差公式可以大大简化计算量，尤其是可以使用Excel这种大众软件进行计算，这无疑给广大的研究人员提供了一个可以轻松驾驭的方法。