高等数学（一）微积分

基础会计学的学习与考试 高等数学（一）微积分 —导数及其应用的解题技巧 关于导数的知识重点，我们基本不用看大纲就能明白是什么，可以为六个字：定义、求导、应用.这些既是重点又是难点，还是必考点，而且分值很高. 导数是在极限的思想上定义的，我们完全可以把导数看作是求极限.导数定义的两个表示方式也是经常出题的地方，例如08年10月填空题第9题：设 ，则： .关于此类题目，有一种小技巧，但仅限于填空题和选择题，即知道 存在，求 ，其中a,b为非零常数，我们可以将表达式 中的f去掉，即 ，然后把 写在后面，结果就是 ，对这道题我们也可以这样做， 去掉f得 ，加上 ，结果就是2 =2，这个方法没有什么科学依据，是从规律中总结出来的，在考试的过程中可以节约时间，提高速度. 求导的过程应该是一种幸运和无奈的结合，幸运的是不管被求导函数有多么复杂，我们总可以找到合适它的的求导公式.无奈的是不管你有多么熟练，都必须按部就班，没有什么技巧可言，关键是对基本函数求导法则的掌握是否熟练和对复合函数的理解是否透彻.历年考试中，求导的题目一般都会有三个大题：一个是简单函数的求导，一个是复合函数的求导，一个是高阶（通常为二阶）求导.这三道题其实是一个题型，考查的相同，而复合函数求导的题目比较难，因为它综合了多个基本求导公式，如07年4月考试中计算题21题：设 ，x≠－1，求 .解这道题需要的公式有： ， =- ， ， .熟记基本求导公式和灵活运用，才能正确做对求导的题目. 导数在微积分中应用广泛，考试时出题灵活所以难度也较大.总结下来，会有8个考点，分别是：经济学上的简单应用，微分中值定理，洛比达法则，函数单调性的判定，极值及其求法，最值及其求法，凹凸性和拐点，曲线的渐近线.这8个考点都是以导数为工具向不同方向发展的，其中在经济学中的应用和曲线的渐近线是熟记公式即可完成的，其他几个有一些需要注意的地方. 在做微分中值定理的题目时，首先要看题目中的条件是否满足定理的条件，不满足的话就要想办法构造新的函数即铺助函数来满足中值定理的条件，从而达到解题的目的，历年考试中，考查微分中值定理的一般是证明题，例如07年10月证明题25题： 证明：方程 在区间 上不可能有两个不同根.解此类题一般要构造铺助函数，此题则还要结合反证法明. 证明：假设原方程在 上有两个不同的根 （反证法的第一步：做出一个和题目上的结构相反的假设）. 令 （构造铺助函数，并使其满定微分中值定理，这里选用罗尔定理） 在 上满足罗尔定理，则有 使得 . 而 ，在（0，1）上， ，矛盾. 故方程 在 上不可能有两个不同的根. 关于洛比达法则有一点需要注意，就是它的适用范围.洛比达法则只能用在 或 ，而且被求极限的表达式为 和 型的或者能构造为 和 型的，洛比达法则好用，但是不可乱用，它实用却不万能，而且有的情况是不用洛比达法则更简便.例如08年1月计算题16题，用了洛比达法则可以解出，但是过程较复杂，此题用等价无穷小量替换就显得简单多了. 函数单调性判断，极值的求法最值问题凹凸性和拐点属于一类题，都是一阶导数，结合二阶导数就能完成的，这里有个细节就是区间问题，是最值的点不一定是极值点，即一阶导数不一定为零，因为在闭区间的两端导数可能不存在，但恰恰最值出现在区间的两个端点处.在做题的时候要注意到这一点.另外就是在求凹凸性和拐点时，令二阶导数为零，解得的自变量x的值可能不在所给区间上，此时就要很据题意来判定，不可轻意将解得的x的值作为答案. 导数及其应用的题在历年考试中都是分值大户，一般都会有40分，它和积分基本上占据了整张试卷，所以宏观把握高等数学（一）的重点就是求导数和积分