第二十二讲特征值和特征向量典型题

特征值与特征向量典型题1、特征值与特征向量1・(95,八题，7分)设三阶实对称矩阵A的特征值为九=_i,九=九=1,对应于九231的特征向量为g=(0,1,1”，求A1【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个线性无关特征向量g,g,g后，由公式123A(g,g,g)=(九g,九g,九g)；可解出A=(Xg,九g,九g)(g,g,g)-i123112233112233123【详解】设对应于X=1的特征向量为g=(x,x,x)T，根据A为实对称矩阵的3123假设知gTg=0，即x+x=0，解得g=(1,0,0)T,g=(0,1,-1)T12323于是由A(g,g,g)=(Xg,Xg,Xg)123112233A二(X1g1,X2g2,X3g3)(g1,g2,g3)-1有■010-■010--1■100一-101101=00-1-10-110-1_0-10_(98，填4题，3分)设A为n阶矩阵，|A丰0，a*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值x，则(a*)2+e必有特征值(1A)2+1X【分析】本题从特征值、特征向量的定义Ax=Xx,x丰0进行推导即可【详解】设Ax=Xx(x丰0)，贝VA-1x=Xxn|A|A-1x=”x,(x丰0)即A*x=岁x从而(A*)2x=JX)2x[(A*)2+E]x=谭)2+1]x,x丰0可见(A*)2+E必有特征值(凶)2+1X(99,填4题,3分)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是仏0,：0【分析】因为r（A）=l,所以|Xe—A|=几-工a详解】因为X-1—1—1X—n—1—1—1X—1•••—1X—nX—1•••—1-1•••—1X—1X—n•••—1X—1|XE-A|=:九n-1ii=九一n—1九（九一n）九n-1故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重）n—1因此本题应填n,0,,0fA\4・（99,十题，8分）设矩阵a=a51—c—1b0c3—a，其行列式|A|=-1，乂A的伴随矩阵A*有一个特征值九，属于九的一个特征向量为a=（—1,—1,1）r，求a、b、c和九的Aa=—a是本题的关键0乂AA*=AE=—E于是AA*a=A九a=九Aa,即00000【分析】利用AA*=|A|E，把A*a=Xa转化为X【详解】根据题设有A*a=Xa，0由此可得九(—a+1+c)=10从(—5—b+3)=10九(—1+c—a)=—10解此方程组，得九=1,b=—3,a=c0乂由|A|=—1和a=c，有—1b0a—1c「-「「-「5b3—1=——11—c0—a110—a=XAa；也即九0故a=c=2,因此匕a=2,b=—3,c=2,九=105.（03，九题，l0分）设矩阵A="322"010_232，P=101223001，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵【分析】可先求出A*,P一1，进而确定B=P一1A*P及B+2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E与A*+2E相似求出其特征值与特征向量。_5-2-2__01-「-700_A*=-25-2,P-1=100B=P-1A*P二-25-4-2-25001-2-23详解1】经计算可得900HYPERLINK\l"bookmark2"\o"CurrentDocument"从而B+2E=-27-4HYPERLINK\l"bookmark4"\o"CurrentDocument"—2-2500九-74=（九—9）2（九一3）2九一5九—9|XE-（B+2E）=22故B+2E的特征值为九=九二9,九二3123当九=九=9时，解(9E-A)x=0，得线性无关的特征向量为12-110-1-2k1+k01201-201k耳+k耳=1122所以属于特征值九二九二9的所有特征向量为12，其中k,k是不全为零的任意常数12当九二3时，解(3E-A)x=0，得线性无关的特征向量为3所以属于特征值九二3的所有特征向量为k耳333，其中k为非零的任意常数3【详解2】设A的特征值为九，对应特征向量为「即An=xn由于|A|=7丰0，所以九鼻0；又因A*A=|A|E，故有A*q=q九AlB(P-rq)=P-iA*P(P-rq)=(P-rq),于是有九A(B+2E)P-iq=(+2)P-iq尢因此，凶+2为B+2E的特征值,九对应的特征向量为P-町由于Re-a=九-3-2-2-2九-3-2-2-2九一3=(九一1)2(九一7)故A的特征值为九二九二1,九二7123当—1时，对应的线性无关特征向量可取为12-110-101当九二7时，对应的一个特征向量为3由P-1=，得P-1q=11-10,P-1q2因此，B+2E的三个特征值分别为9,9,3对应于特征值9的全部特征向量为1-1k-1+k-11201kP-rq+kP-珥=1122，其中k,k是不全为零的任意常数；12，其中k为非零的任意常数3对应与特征值3的全部特征向量为kP-1q=k336.(06,(21)题,9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素和均为3,向量a二(-1,2,-1)t，r«二(0,-1,1)t是线性方程组Ax=0的两个解求A的特征值与特征向量求正交矩阵Q和对角矩阵A,使QtAQ小分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵A未给定，故必须利用行和相等与实对称矩阵的已知条件求解【详解】(I)因为a,a是齐次方程组Ax=0的两个解，即12Aa=0a,Aa=0a122所以0是A的一个特征值，a,a是对应的两个特征向量，又a,a线性无关，故1212特征值0的代数重数至少是2已知A各行元素之和均为3,取a二(111)t，则Aa二3a，说明3是A的另一个特333征值，a是对应的特征向量，且特征值3的代数重数至少为13因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方阵，k,k为不全为零的任意12k为任意非零实数)3故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为ka+ka1122实数)；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为ka33，卩3=a3（II）令P1=a1，P2=a2_需叮（-2,o,2）T11T叫=£叮(丄,0,丄）T<2<2"1話卩1=亡命V耳=\1\卩=444"卩」取正交矩阵Q和对角矩阵A则",","是A的标准正交的特征向量，_1~1621121忑1忑1羽」QtAQ=QtAQ二Ar11r2—1211.(97,七(2)题)，6分)已知匚=1是矩阵A=5a3—1—1b—22、相似矩阵与相似对角化的一个特征向量，(I)试确定参数a,b及特征向量:所对应的特征值(II)问A能否相似于对角阵？说明理由【分析】本题试一道有关特征值，特征向量以及能否相似与对角阵的问题,A能否相似与对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量【详解】(I)由题设，有A—九匚，即0r2—121r11r115a31=九1—1b—2—10—1解得a=—3,b=0,九=-1r2—121(II)由A=5a3，知—1b—22—1—2=尢也即05+a—3=尢A0—1+b+2=—尢0九-21—2|XE—A=—5九+3—3=(九+1)310九+2可见九=-1为A的三重根，但秩r(-E-A)=2，从而九=-1对应的线性无关特征向量只有3—r(-E-A)=l个，故A不可对角化2．(00，十一题，8分)某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。6记成向量新、老非熟练工经过及实践至年终考核有-成为熟练工，设第n年一月份统5计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x和y，nn1)求(xn+1的关系式并写成矩阵形成：2)yn+1，x'x'n+1=AnIy丿n+1Iy丿n验证耳=f4［耳1U丿2册式A的两个线性无关的特征向量’并求出相应的特征值；(1\3)当'x112时，求rx1n+1vy1丿1vy丿n+1<2丿分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步根据题意建立递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第三步相当于求矩阵的n次幕，可利用对角化得到详解】（1）由题意，得TOC\o"1-5"\h\z_52.1、x=x+(—x+y)n+16n56nn3(1)y=x+y)n+156nn（2）因为行列式|（q）二/、r921(V、rx1105rx1n+1=nIyn+1丿13vyn丿nV105丿92x=x+yn+i10n5n即13即y=x+yn+110n5n可见可见耳,耳线性无关12又An=（4Kn遨耳为A得特征向量，且相应的特征值九二11U丿111An=2L1-21〔2丿为A的特征向量’且相应的特征值入2=13）因为n+1=A=A2n-1=Anvyn+1vyn-1(x11=AnVX丿(1121v2丿因此只要计算An即可令P=们J)=(4v1-111丿P-1则由p-1AP=〔九\nf4-1、1f4-1、1P-1=[件丿J1>(2)n丿J1丿-1于是An=P4+(2)n4-(2)n1-(2)n因此1)8-3(—)"22+3(])n2丿1+(2)nfxn+1Iyn+1丿(01,十题，8分)已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关'且满足A3x=3Ax-2A2x记P=(x,Ax,A2x)，求2阶矩阵B,使A=PBP-1；计算行列式|A+E|【分析】第一问实际上是求A的相似矩阵，但这里x,Ax,A2x不一定是特征向量,所以这并不是通常的相似对角化问题，但仍可采用相似对角化的思想，即将A=PBP-1改写成AP=PB，从而确定出B；在第二问中，根据第一问中确定的B,由A与B相似，可知A＋E与B＋E也相似，而相似矩阵有相同的行列式，于是根据|A+E=|B+E|可求出所需要的行列式。对于本题而言，第二问还有另外一种解法：由A3x+2A2x-3Ax=0有(A3+2A2-3A)x=0，即A[(A-E)(A+3E)x=]，0由于x,Ax,A2x线性无关，所以(A-E)(A+3E)炉，0因此，A有一个特征值为0,同理A有特征值一3和1,从而|A+E=-4【详解】(1)方法一因为Ax=AxA(Ax)=A2xA(A2x)=A3x=3Ax-2A2x于是综合上述三式有A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax一2A2x)000=(x,Ax,A2x)10301-2000也即A=PBP-1，其中B=10301-2方法二：AAb2b，则有ap=pb得23CC23上式可写成即AP=P0003=PB1-2(Ax,A2x,A3x)=(x,Ax,A2x)A1b1c1AA23bb23cc23Ax=ax+bAx+cA2x,111A2x=ax+bAx+cA2x,22A3x=ax+bAx+cA2x,33将A3x=3Ax-2A2x代入③式得3Ax-2A2x=ax+bAx+cA2x333由于x,Ax,A2x线性无关,故由①式可得A=c=0,b=1;111由②式可得A=C2■=0,b=1；由④式可得a=0,b=0,c=-222333000故B=10301-2方法三：将A3x=3Ax-2A2x改与成A(A2x一Ax)=-3(A2x一Ax)故九=-3为A得特征值，A2x-Ax为属于一3得特征向量；1同理可得九=1也是A得特征值，A2x-3Ax为对应于特征值1得特征向量;2九=0也是A的特征值，A2x+2Ax-3x为对应于特征值0的特征向量3-00-3「-00-3「令Q=(x,Ax,A2x)-132=P-132111111「00-3-1「00-3于是Q-1AQ--132P-1AP-132111111「00-3_-1「00-3-=-132B-132111111但另一方面，Q为特征向量组成的矩阵，所以Q-1AQ为由对应的特征值组成的对「-300_角方阵：Q-1AQ=010000所以「00-3「-3001100-3-1「000B--132010|1-132ll-10311100111101-1由(1)知，A与B相似，故A+E与B+E也相似，于是有100|A+E=|B+E=113=-401-1(02,十题，8分)设A,B为同阶方阵如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立【分析】对于本题，主要考查两个同阶矩阵相似的定义以及相似的必要条件而非充分条件；两实对称方阵相似的充要条件第一问实际上是一种循环证明，但在证明中可能弄不清应是由谁证谁，在第二问中，虽特征多项式相等，但并不相似，事实上，二阶方阵当a为二重特征时,只有两个标准型：[0[01、a丿，而前者只与它自己相似，所以其他都与a[01、a丿相似，故必与相似【详解】（1）若A，B相似，则存在可逆矩阵P，使得P—1BP=B，故(2)令a=|九E—B\=pE—P-1Ap=|P-1(九E—A)P|=|P-1||九E—A||p=|XE—A|"11],°1丿|XE—A|=|XE—B\=(九—1)2但A，B不相似，否则，存在可逆矩阵P，使B=P—1AP=P—1P=E，矛盾（3）由A,B均为实对称矩阵知，A,B均相似于对角阵，若A,B的特征多项式相等，记特征多项式的根为九,,九，则有1nAn一1九2•••,Bn「九■1九2•■•九n九n「九-1=Q-1BQ；P-1AP=1即存在可逆矩阵P，Q，使于是(PQ-1)-1A(PQ-1)二B九n故A，B为相似矩阵（04,21题，9分）设矩阵a=—11—3—3的特征方程有一个二重根，求a的5值,并讨论A是否可相似对角化【分析】先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对角化即可【详解】A的特征多项式为九-1—23九-22-九0Re—a|=1九一43=1九—43—1—a九—5—1—a九—51—10100=（九一2）1九—43=（九一2）1九—43—1—a九—5—1—a九—5=(九—2)(九2-8九+18+3a)当九二2是特征方程的二重根，则有4—16+18+3a=0,解得a=—2「1—23_当a=—2时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A=1—23的秩为1—12—3故九二2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化若九二2不是特征方程的二重根，则九2—8九+18+3a为完全平方，从而18+3a=16,解得a=—3当T时，A的特征值为2,2,4,矩阵4.—A=31—103的秩为2,故九二4—1对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化3、二次型的标准型1•(96，九题，8分)已知一次型f(x,x,x)=5x2+5x2+ex2—2xx+6xx—6xx的秩123123121323为2求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；指出方程f(x,x,x)二1示何种二次曲面123【分析】本题考查二次型矩阵,属常规题型。在解答之前,需认真审题,抓住字眼,这是解题的关键【详解】(1)此二次型对应矩阵为5-13-15-33-3c因秩（A）=2，故|A=0，由此解得c=3,容易验证，此时A的秩的确为2又由九E-A=九-51-31九-53-33九一c=九（九一4）（九—9）所求特征值为九=0,九=4,九=9123（2）由特征值可知f（x,x,x）=1表示椭圆柱面1232．（98，十题，6分）已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4，可以经xy=Pnz©过正交变换化为椭圆柱面方程耳2+4g2=4，求a,b的值和正交矩阵P分析】本题表示曲面的二次型是相似的，他们对应的矩阵也是相似的，相似矩阵由相同的特征多项式，由此可解出a和b，进而可求出特征值对应的特征向量，将他们单位化后，这些相互正交的单位向量构成矩阵P,本题a,b也可以根「1b「「000_详解】由题设知，矩阵A=ba1与B=010111004据两个等式|A|=相似，于是有B,1+a+1=0+1+4求得九-1-b-1九00-b九一a-1=0九-10-1-1九-100九-4內E-A=|九E-B\即解得a=3,b=1此时，A=113111，特征值为九=0,九12=1,九=43解（0E—A）X=0,得属于特征值九=0的特征向量为a=（1,0,-1）T11解（E—A）x=0,得属于特征值九=1的特征向量为a=（1,-1,1）t22解(4E—A)x=0,得属于特征值九二4的特征向量为a二(1,2,1)t32将a,a,a单位化得123a11—(件2,0,—2a3=—1=2117611，即为所求的正交矩阵3.(02'填4题'3分)已知实一次型f(x,x,x)—a(x2+x2+x2)+4xx+4xx+4xx123123121323经正交变换x=Py可化标准型f—6y2，贝Ua-21分析】把题设中二次型经正交变换化为标准型，因为前后二次型所对应矩阵既是合同的又是相似的，根据这两个矩阵相似，可知到特征值相同，特征多项式相同，从而可确定待求的参数详解1】二次型f(x,x,x)—a(x2+x2+x2)+4xx+4xx+4xx123123121323TOC\o"1-5"\h\za22所对应矩阵为A-2a222a标准型f—6y2所对应矩阵为B-1根据题设知A，B为相似矩阵，所以A，B的特征值相同，可见A的三个特征值为6,0,0九-a-2-2—[九-(a+4)][九一(a-2)]2而|XE-A|—-2九一a-2-2-2九一a'可a+4—6,a—2—0,■故a—2【详解2】由A,B为相似矩阵知，对应特征多项式相同，即X-a-2-2X—600-2X-a-2=0X0-2-2X-a00X于是有即[X-(a+4)][X-(a-2)]2=X3-6九2九3-3aX2+3(a2-4)X-(a+4)(a-2)2=X3-6X2比较同次幕的系数知a=2(05,20题，9分)已知一次型f(x,x,x)=(1-a)x2+(1-a)x2+2x2+2(1+a)xx的12312312秩为2求a的值；求正交变换x=Qy，把f(x,x,x)化成标准型；123求方程f(x,x,x)=0的解123【分析】(I)根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；(II)是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需的标准型；(III)利用第二步的结果，通过标准型求解即可详解】1—a1+a二次型矩阵A=1+a1-a0000，由二次型的秩为2知2|A|=1+a1—a0=2，得a=000=X(X—2)2=0X-2X-1-1(II)由|XE-A|=-1X-100知矩阵A的特征值是2，2，0对X=2，由(2E-A)x=0，_1-10-j-10_-110T000000000得特征向量a=(1,1,0)t,a=(0,0,1)t12「-1-10-j10_对九二0，由(0E-A)x=0，-1-10T00100-2000得特征向量a=(1,-1,0)t3由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有令Q=(丫1丫1丫1)=(1忑101)1120，那么，经正交变换x=Qy有(1X0＞，丫2=(0'0'1)T'丫1冷(I0)Tf(x,x,x)=2y2+2y212312(III)方程f(x,x,x)=x2+x2+2x2+2xx=(x+x)2+2x2=012312312123所以方程的解是k(1,-1,0)t即|X1+X=0I2x=034、正定矩阵1.(99,十^一题，6分)设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mXn实矩阵，bt为B的转置矩阵，试证：BtAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n分析】本题的证法很多，例如，利用秩的定义和性质可证必要性；充分行的证明可用特征值法【详解】必要性•设BtAB为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n维列向量x丰0，有xT(BtAB)x>0，即(Bx)tBA(Bx)>0，于是，Bx丰0，因此，Bx二0只有零解，故有r(B)=n充分性•因(btab)t=BtAtb=btAb，故BtAb为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的实n维列向量x鼻0，有xt(BtA)B=x(Bx(>A，故BtAB为正定矩阵111140002.(01，选4题，3分)设a=1111,B=0000，则A与B11117000011110000(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似(D)不合同且不相似【答】应选(A)【分析】本题通过实对称矩阵相似与合同的充要条件，运用计算便知：A有特征值4,0,0,0；B有特征值4,0,0,0.可见aB，而且A与B的秩都是1,正惯指数也都是1,所0以A与B合同【详解】因为A是实对称矩阵，且其特征值为：九=4,九=九=九=0，故存在正1234交矩阵Q，使得40000000000Q-1AQ=QtAQ=00可见，A与B既合同又相似