工程力学第6单元 圆轴扭转

案例导入如图6-1所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否足够？机械工业出版社机械工业出版社第6圆轴扭转机械工业出版社机械工业出版社学习目标机械工业出版社机械工业出版社学习重点和难点机械工业出版社机械工业出版社6.1圆轴扭转的概念实例：火力发电厂中的汽轮机通过传动轴带动转动发电机。火力发电厂的汽轮机带动发电机的传动简图机械工业出版社机械工业出版社6.1圆轴扭转的概念工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。钻探机钻杆改锥拧螺母-力偶实例机械工业出版社机械工业出版社6.1圆轴扭转的概念工程实例的受力及变形分析工程上传递功率的轴，大多数为圆轴，这些传递功率的圆轴承受绕轴线转动的外力偶矩作用时，其横截面将产生绕轴线的相互转动，这种变形称为扭转变形。圆轴扭转的受力分析方向盘操纵杆机械工业出版社机械工业出版社6.1圆轴扭转的概念扭转变形的受力特点：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴线。变形特点：两外力偶作用面之间的各横截面都绕轴线产生相对转动。圆轴扭转的受力分析机械工业出版社机械工业出版社6.1圆轴扭转的概念概念：1.扭转角：杆件任意两截面间相对转动的角度称为扭转角，用符号φ表示。2.切应变：杆件表面的纵向直线也转了一个角度，变为螺旋线，称为切应变，用符号γ表示。机械工业出版社机械工业出版社6.2扭矩和扭矩图6.2.1外力偶矩的计算作用在轴上的外力偶矩，一般在工作过程中并不是已知的，常常是已知轴所传递的功率和轴的转速，再由下式求出外力偶矩，即： 式中：Me为轴上的外力偶矩，单位为N.m； P为轴传递的功率，单位为kW； n为轴的转速，单位为r/min。 机械工业出版社机械工业出版社6.2扭矩和扭矩图6.2.2圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩1.用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，用符号T表示。机械工业出版社机械工业出版社6.2扭矩和扭矩图2.扭矩正负号的按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向，大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正（图6-7a、b所示），反之为负（图6-7c、d所示）。机械工业出版社机械工业出版社6.2扭矩和扭矩图6.2.3扭矩图当轴上同时作用两个以上的外力偶矩时，为了形象地表示各截面扭矩的大小和正负，以便分析危险截面，常需画出扭矩随截面位置变化的图形，这种图形称为扭矩图。机械工业出版社机械工业出版社6.2扭矩和扭矩图案例6-1传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW，轴的转速n=300r/min。试作出该轴的扭矩图。分析：1）计算外力偶矩2）计算扭矩机械工业出版社机械工业出版社6.2扭矩和扭矩图3）作扭矩图机械工业出版社机械工业出版社6.2扭矩和扭矩图讨论1：对同一根轴来说，若把主动轮A和从动轮B的位置对调，Tmax=?。机械工业出版社机械工业出版社6.2扭矩和扭矩图讨论2扭矩图的简捷画法：机械工业出版社机械工业出版社6.3圆轴扭转时横截面上的应力6.3.1圆轴扭转时横截面上的切应力1.平面假设：圆轴的横截面变形后仍为平面，其形状和大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。圆轴变形试验机械工业出版社机械工业出版社6.3圆轴扭转时横截面上的应力按照平面假设，可得如下两点推论：（1）横截面上无正应力；（2）横截面上有切应力；（3）切应力方向与半径垂直；（4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。机械工业出版社机械工业出版社6.3圆轴扭转时横截面上的应力综上分析可得，圆轴在扭转时其横截面上各点的切应变与该点的到截面圆心的距离ρ成正比。机械工业出版社机械工业出版社6.3圆轴扭转时横截面上的应力2.扭转横截面切应力分布规律（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向相同。（2）圆心处为零，在圆周表面最大，在半径为ρ的同一圆周上的各点的切应力相等。圆轴横截面上切应力的分布规律如图所示。机械工业出版社机械工业出版社6.3圆轴扭转时横截面上的应力3.圆轴扭转的切应力（1）横截面上任一点的切应力 式中：T—为横截面上的扭矩； ρ—为所求点到圆心的距离； τρ—为该截面对圆心的极惯性矩机械工业出版社机械工业出版社6.3圆轴扭转时横截面上的应力当ρ=R时，圆截面上的切应力最大τmax（2）圆截面上的最大切应力 式中：T—为横截面上的扭矩； WP—为圆截面的抗扭截面模量，单位m3或mm3 机械工业出版社机械工业出版社6.3圆轴扭转时横截面上的应力6.3.2极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp1.圆形截面极惯性矩：抗扭截面系数： 机械工业出版社机械工业出版社6.3圆轴扭转时横截面上的应力2.空心圆截面极惯性矩：抗扭截面系数：机械工业出版社机械工业出版社6.3圆轴扭转时横截面上的应力案例6-2图6-13所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。设主传动轴所承受的最大外力偶矩为Me=1.5kN.m，轴的直径d=53mm，试求主传动轴的的最大切应力。机械工业出版社机械工业出版社6.3圆轴扭转时横截面上的应力案例6-3如图6-14所示圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN.m，MeB=36kN.m，MeC=14kN.m。试求该轴的最大切应力。机械工业出版社机械工业出版社6.4圆轴扭转的强度计算6.4.1圆轴的扭转破坏试验与极限应力圆轴受扭时，由于材料不同，将发生两种形式的失效：屈服和断裂。对于塑性材料的扭转失效是屈服破坏，故取屈服应力作为极限应力，即τº=τs。对于脆性材料的扭转失效是断裂破坏，则取强度极限τb作为极限应力，即τº=τb。 塑性材料脆性材料机械工业出版社机械工业出版社6.4圆轴扭转的强度计算2.许用切应力强度计算时，为确保安全，材料的强度要有一定的储备。一般把极限应力除以大于1的安去系数n，所得结果称为许用切应力，用[τ]表示。机械工业出版社机械工业出版社6.4圆轴扭转的强度计算各种材料的许用应力可从有关手册中查得。在常温静载下，材料的扭转许用切应力与拉伸许用正应力之间有如下关系：对于塑性材料：[τ]=(0.5~0.75)[σ]对于脆性材料:[τ]=[σ] 塑性材料脆性材料机械工业出版社机械工业出版社6.4圆轴扭转的强度计算6.4.2圆轴扭转的强度条件为了保证圆轴在扭转变形中不会因强度不足发生破坏，应使圆轴横截面上的最大切应力不超过材料的许用应力，即： 机械工业出版社机械工业出版社6.4圆轴扭转的强度计算结论：对于等直圆轴，最大工作应力τmax发生在最大扭矩Tmax所在横截面（危险截面）边缘点处；对于阶梯轴，由于各段的WP不同，τmax不一定发生在Tmax所在的截面上，必须综合考虑WP和Tmax两个因素来确定。机械工业出版社机械工业出版社6.4圆轴扭转的强度计算案例6-4如图6-13所示汽车发动机将功率通过主传动轴AB传递给后桥，驱动车轮行驶。主传动轴采用45钢制成，轴径d=53mm、[τ]=60MPa，当主传动轴承受的最大外力偶矩为Me=1.5kN.m时。试求（1）校核主传动轴的强度；（2）在扭转强度相同的情况下，用空心轴代替实心轴，空心轴外径D=90mm时的内径值；（3）确定空心轴与实心轴的重量比。机械工业出版社机械工业出版社6.5圆轴扭转的刚度计算6.5.1扭转角的计算圆轴的扭转变形程度：是用两个横截面绕轴线的相对扭转角来度量的 备注：当两个截面间的T或IP有变化时，需分段计算扭转角，然后求其代数和以求得全轴的扭转角。 机械工业出版社机械工业出版社6.5圆轴扭转的刚度计算案例6-5如图6-15a所示圆轴承受外力偶矩作用。已知：Me1=0.8kN.m，Me2=2.3kN.m，Me3=1.5kN.m，AB段直径d1=40mm，BC段直径d2=70mm，材料的切变模量G=80GPa。试计算φAB和φBC。机械工业出版社机械工业出版社6.5圆轴扭转的刚度计算6.5.2圆轴扭转的刚度计算圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度许用扭转角[θ]，即 式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ]—单位长度许用扭转角;单位rad/m机械工业出版社机械工业出版社6.5圆轴扭转的刚度计算工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m，考虑单位换算，则得 式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角，单位°/m [θ]—单位长度许用扭转角，单位°/m 机械工业出版社机械工业出版社6.5圆轴扭转的刚度计算式中[θ]的数值，可根据轴的工作条件和机器的精度要求，可以从有关手册中查得。（1）一般情况下，精密传动轴[θ]=0.25°~0.5°/m；（2）对于一般传动轴：[θ]=2°~4°/m。机械工业出版社机械工业出版社6.5圆轴扭转的刚度计算案例6-6如图6-13所示，汽车发动机将动力通过主传动轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。主传动轴采用45钢制成，轴径d=53mm，许用扭转角[θ]=1.5°/m，材料的许用切应力[τ]=80MPa，当主传动轴承受的最大外力偶矩Me=1.5kN.m，试校核该轴的刚度。机械工业出版社机械工业出版社综合案例分析如图6-16所示镗孔装置，在刀杆端部装有两把镗刀，已知切削功率P=8kW，刀杆转速n=60r/min，刀杆直径d=70mm，材料的[σ]=60MPa，[θ]=0.5°/m，G=80GPa，试校核刀杆的扭转强度和刚度。机械工业出版社机械工业出版社课堂练习习6-1扭转切应力与扭矩方向是否一致？判定如图所示的切应力分布图，哪些是正确的？哪些是错误的？ 扭转时横截面上切应力分布图机械工业出版社机械工业出版社课堂练习习6-2试作图6-18所示各杆的扭矩图，并指出各杆指定截面的扭矩机械工业出版社机械工业出版社课堂练习习6-3如图6-19所示，一传动轴作匀速转动，轴上装有五个轮子，主动轮2的输入功率为65kW，从动轮1、3、4、5依次输出功率20kW、12kW、25kW和8kW，轴的转速n=200r/min。试（1）作该轴的扭矩图；（2）通过调整轴上轮子的位置，指出最合理的布置方式。机械工业出版社机械工业出版社课堂练习习6-5实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器联接在一起，如图6-20所示。已知轴的转速n=100r/min，传递的功率P=7.5kW，[τ]=20MPa。试选择实心轴的直径d1和内外径比值为0.5的空心轴外径D2。机械工业出版社机械工业出版社课堂练习习6-6如图6-21所示的某带轮传动轴，已知P=14kW，n=300r/min，轴材料的许用切应力[τ]=40MPa、[θ]=0.6º/m，切变模量G=80GPa。试根据强度和刚度条件计算两种截面的直径：（1）实心圆截面直径；（2）空心圆截面的内径d1和外径d2(d1/d2=3/4)机械工业出版社机械工业出版社课堂练习习6-7阶梯轴AB如图6-22所示，AC段直径d1=40mm，CB段直径d2=70mm，B端输入功率PB=35kW，A端输出功率PA=15kW，轴匀速转动，转速n=200r/minG=80GPa，[τ]=60MPa，[θ]=2º/m。试校核轴的强度和刚度。机械工业出版社机械工业出版社Copyright机械工业出版社