第二十四章《圆》教学建议

《圆》的分析西外余康友各位老师：大家好！今天我和各位老师交流第二十四章《圆》的教学内容。由于时间关系，我将从知识结构图和需要注意的基本图形及常用结论，这两个方面和大家交流。一、教材分析与知识结构图《圆》这章是在学过的一些圆的基础上，较为系统地研究圆的概念和性质，与圆有关的位置关系，与圆有关的计算这三部分内容。圆的概念和性质包括：圆的概念，圆的对称性，圆周角的有关结论。与圆有关的位置关系包括：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。与圆有关的计算包括：求弧长、扇形面积以及正多边形和圆的有关计算。关于圆的对称性，教材先利用圆的轴对称性得到垂径定理，再利用圆的中心对称和旋转不变性得到弧、弦、圆心角之间的关系定理。而以垂径定理为中心和解直角三角形甚至和圆周角的有关结论的综合应用，是教学的重点也是中考的常考点。关于圆周角的有关结论，除了在教学中强调定理外还要注意书上黑体字的教学，都要使学生熟练应用，因为这是中考的常考点。同时还要补充圆内接四边形的有关结论。关于直线与圆的位置关系，教材重点研究了直线和圆相切的情况，给出了切线的作法及判定定理和性质定理。再此基础上，介绍了三角形内切圆、内心等概念和切线长定理。圆的切线的判定定理和性质定理的题设和结论容易混淆，是本章教学的难点也是中考的常考点。关于切线长定理的基本图形和相关结论是中考的常考点。以上应该在教学中给予重视。在得到弧长、扇形面积的基础上，可结合展开图知识点，进一步求圆柱、圆锥的侧面积、全面积。在教学中应让学生熟练掌握相关的基本图形和基本结论。这几个本章知识或不同章节知识的结合点，都是中考的常考内容。知识结构图回顾广州近三年中考所涉及《圆》的考题。11年占17分、12年占15分、13年占17分。题型则主要以填空题和解答题为主：年份题号考点分值当年总分值2012年16题（填空）圆的面积+找规律3分15分22题（解答）作图、圆与直线位置关系、垂径定理12分2013年16题（填空）垂径定理+坐标系3分17分24题（解答）圆切线的判定、直角三角形、相似三角形14分二、基本图形及常用结论1、垂径定理定理内容为“垂直于弦的直径平分（这条）弦，并且平分（这条）弦所对的两条弧。”这个定理的学习过程中，应该突出“垂”和“径”两个字。“径”指直径或半径，甚至是过圆心的线段（弦心距）。“垂”指的是这条直径或半径，甚至是过圆心的线段与弦垂直。教学中应该让学生掌握这个定理的三个基本图形。BAOBEAOBEAO进一步引导学生将所得到的结论也逐个分解，就可以得到如下的五方面：①过圆心，②垂直于一条弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。而这五方面中，能够做到“知二推三”这样共得到10个命题，其中一个做为“垂径定理”，而其他九个则作为“垂径定理”的推论，其中“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”是书上给出的推论。在教学过程中，我们要落实垂径定理与其他知识点相结合作辅助线的教学，如以下四个图：不难发现，不论做几条辅助线，最后都构造出了由半径、圆心到弦的距离、弦长的一半所组成的直角三角形，便将问题转化为勾股方程或解直角三角形的问题。进一步也可以和相似三角形或四边形等知识相结合。以下四道例题是应用垂径定理或作辅助线的具体题目，教学中可选为例题使用。例1直接应用垂径定理+勾股定理如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC=5，CD=8，则AE=______.例2作辅助线应用垂径定理+解直角三角形如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=eq\r(6)，则⊙O的半径为（）A.eq\r(2)B.2eq\r(2)C.eq\f(eq\r(2),2)D.eq\f(eq\r(6),2)例3作辅助线应用垂径定理+解直角三角形如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,,则∠AED=.例4作辅助线应用垂径定理+解直角三角形ABCEOD如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．例4图例1图例2图例3图2、圆周角有关结论在这节中，可用几何画板辅助教学。先讲清圆周角概念，注意和圆心角概念的区分；再通过应用几何画板猜想并证明圆周角定理；再得到第一个推论：在同圆和等圆中，等弧所对的圆周角相等，反过来圆周角相等所对的弧也相等；圆内接四边形的教学中，尤其要补充讲解圆内接四边形的两个结论（对角互补、外角等于内对角），使学生在选择填空中会直接用结论，在证明题中会写出例题的证明格式；再得到另外一个重要推论：直径对直角，直角对直径。在教学中可根据学生的情况，逐步分层落实以下例题：例1垂径定理+圆周角：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧BC上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=°．例2垂径定理+圆周角+解直角三角形：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D．若∠CDB=30°，⊙O的半径为，则弦CD的长是（）ODCABA．B．3C．D．9例3圆周角推论+圆内接四边形重要结论（或作辅助线用圆周角定理及推论）如图，四边形ABCD四个顶点都在圆O上，AB是圆直径，若∠BAC=20°，则∠D=。3、切线的判定和性质切线的判定定理：经过半径的外端点，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。切线的判定和性质的基本图形是一个，可以利用下面两个图形加强对定理的理解。基本图形辨析图形做切线题时，做辅助线的常用思路在判定切线时，常用的思路有：作半径，证垂直；（已知切线与圆有公共点）作垂直，证半径。（未知切线与圆有公共点）在使用切线时，常用的思路有：作半径，用垂直。例1切线判定（作半径，证垂直）如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F.（1）求证AB是圆O的切线.例2切线性质、判定综合应用（作半径，用垂直；作垂直，证半径。）如图，⊿ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切.4、切线长定理定理内容是：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。在教学中应逐步加深切线长定理的基本图形的认识在教学中既要落实计算又要落实证明，见例题：例1考查切线长基本图形+弧长计算如图,PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠AOB所对弧的长度为（）A．6лB．5лC．3лD．2л例2考查切线长基本图形+切线性质的证明如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF，（1）求证：OD∥BE；（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．【解答】（1）证明：连接OE，∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，∴OD∥BE（2）OF=CD，理由：连接OC，∵BC、CE是⊙O的切线，∴∠OCB=∠OCE∵AM∥BN，∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°由（1）得∠ADO=∠EDO，∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，∴OF=CD．当有三条切线时，会产生两种情况：见以下基本图形情况1：△ABC的周长=2AE的长情况2：△ABC的内切圆设AE=AG=x，BE=BF=y，CF=CG=z，可组成方程组：x+y=ABz+y=BCx+z=AC2(x+y+z)=AB+BC+AC情况2变式：当△ABC为Rt△ABC时还可得到结论：内接圆的半径5、正多边形和圆该节课名词概念较多，通过基本图形记忆多边形中心、中心角概念，凸显正多边形的边、正多边形的半径以及正多边形的边心距三者的位置关系和数量关系。6、圆柱圆锥的侧面展开图在讲圆柱圆锥侧面展开图时，要使学生熟记以下基本图形和基本结论，教师可动手操作并配用几何画板辅助教学。①圆柱侧面展开图是矩形②圆锥侧面展开图是扇形例1直接应用结论：已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于A．11B．10C．9D．8例2落实S、R、r、h、n知二求三的要求：一个圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为120o的扇形，则圆锥的侧面积是，则圆锥的底圆半径是cm，则圆锥的高是cm．【二、圆易错点】1．注意考虑点的位置（在解决点与圆的问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等）例１．点到⊙上的最近距离为，最远距离为，则⊙的半径为　　　　．例２．是⊙的一条弦，，点A是⊙上的一点（不与B、C重合），则的度数为．2．注意考虑弦的位置（解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类．）例3．在半径为的圆中，有两条平行的弦，分别长和，则这两条平行弦的距离是　　．例4．是⊙的直径，、是⊙的两条弦，且，，则的度数为．3．注意公共点的个数（在涉及直线与圆的位置关系时，应注意有公共点和有唯一公共点的区别．）例5．⊙的半径为，点在直线上，且，则⊙和直线的位置关系为．4．注意两圆相切中的分类（在解决两圆相切的问题时，应注意对内切、外切以及两圆大小进行分类）例6．已知⊙O1和⊙O2相切，两圆的圆心距为9cm，⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径为（）．A．B．C．或D．或例7．⊙O1和⊙O2相内切，圆心距为，其一个圆的半径为，则另一圆的半径为　　．此外，在《圆》这一章中，还有相交弦定理、割线定理、切割线定理等重要结论，虽然现有教材已经进行了删减，但在完成图形的相似一章教学后，对学有余力的学校可以适当的加以补充。